1 La cinématique : Elle permet d'étudier les mouvements dune particule mobile, par rapport à un repère de référence, en fonction du temps indépendamment.

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1 1 La cinématique : Elle permet d'étudier les mouvements dune particule mobile, par rapport à un repère de référence, en fonction du temps indépendamment des causes qui les produisent. Elle a pour but de préciser les trajectoires et les lois horaires. Pour étudier le mouvement dune particule M, on doit repérer la position de cette particule : dans le temps et dans lespace. On suppose que lespace est de dimension au plus 3 et que le temps est absolu indépendant du lieu. En mécanique classique, et au cours de cet élément du module, on considère que tout système physique est réduit à un point matériel (particule M) coïncidant avec son centre de gravité et contenant sa masse m. Nous admettons que sa vitesse v est négligeable devant la célérité de la lumière c.

2 2 Repère d espace Pour repérer la position dune particule, il est nécessaire de définir un repère despace : A un solide, lié à ce repère despace, on fixe une origine O et une base ( i, j, k ) : Le trièdre (O, i, j, k ) est le repère despace. Repère de temps Pour étudier le mouvement dune particule, on a aussi besoin dun repère de temps : On définie un repère de temps par une origine et une unité à laide dune horloge. Référentiel Le repère despace et le repère de temps définissent un REFERENTIEL. Un référentiel est donc un « objet » par rapport auquel on étudie le mouvement. Tout mouvement est relatif au référentiel utilisé.

3 3 - La trajectoire d'une particule mobile est l'ensemble des positions occupées par ce point au cours du mouvement. - Exemple. Considérons le mouvement d'une valve sur la jante d'une roue de vélo lorsque celle-ci roule, sans glisser, sur une route horizontale. La situation est schématisée ci-dessous: La trajectoire de la valve est représentée: en vert par rapport à laxe de la roue (référentiel lié à laxe de la roue) en rouge par rapport à R (référentiel terrestre). La trajectoire dépend donc du repère, on dit que la trajectoire est relative. - La position dune particule M est sa trace dans un repère au cours du temps. POSITION ET TRAJECTOIRE POSITION ET TRAJECTOIRE R(oxyz) o

4 4 Position du point matériel La position du point matériel peut être définie au cours du temps en fonction du vecteur position et on peut aussi repérer ce point en utilisant les différents systèmes de coordonnées. Ce point M parcourt la trajectoire C et à chaque instant sa position est repérée par : ses coordonnées (x, y, z) : OM = x i + y j+ z k ou son rayon vecteur : OM = /OM/ u = r(t) u R (OXYZ) référentiel u vecteur unitaire X Y Z O M r u y x z

5 5 La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [ t, t+ Δt ] est égale au déplacement par unité de temps, soit : Soit une particule M mobile sur une trajectoire définie par rapport à un référentiel R (OXYZ). A chaque instant t, la position de M est repérée par OM : R R O X Y M(t) M 0 (t 0 ) M(t+ Δt ) Z

6 6 Rappels mathématiques: Dérivée d'une fonction On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points ( x, f(x) ) et (x+h, f(x+h)). Sa pente est : Lorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f en x. La pente de cette tangente est appelée « dérivée de f en x » En cinématique, la variable est généralement le temps. soit :

7 7 Pour obtenir la vitesse à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de la vitesse moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt]. On a la vitesse moyenne : Soit : V(M) =

8 8 En chaque point de la courbe: le vecteur vitesse est tangent à la courbe; elle indique la direction du déplacement; le sens du vecteur vitesse indique le sens du mouvement du mobile; la norme du vecteur vitesse indique la longueur parcourue par unité de temps. On a donc : O X Y M(t) M 0 (t 0 ) M(t+ Δt ) Z R(oxyz) Trajectoire de M par rapport à R V(M)/R vecteur vitesse tangent à la trajectoire est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire On a : donc :

9 9 VECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEE VECTEUR ACCELERATION INSTANTANNEE L'accélération moyenne sur l'intervalle de temps [ t, t+ Δt ] est égale à la variation de vitesse par unité de temps, c'est-à-dire : Pour obtenir l'accélération à l'instant t, on fait tendre Δt vers zéro dans l'expression de l'accélération moyenne sur l'intervalle [t, t+Δt] :

10 10 DIFFERENTS REFERENTIELS I- REPERE CARTESIEN - Coordonnées cartésiennes: Dans un repère orthonormé d'axes ox, oy, oz et de base orthonormée. La position du point M au cours du temps est définie par le vecteur position. X R (OXYZ) repère Y Z O M y x z x, y, z sont les coordonnées du point M, Le module de OM est

11 11 II- REPERE CYLINDRIQUES En coordonnées cylindriques, la position du point M est repérée par (t), (t), et z(t), telles que : ( t ) = rayon polaire, tel que ( t )=(0x,0m): l'angle polaire z( t ) = /mM/ : la cote z | Om | : O m

12 12 - Relation entre (,,z) et (x, y, z) : - Le vecteur vitesse : - Le vecteur accélération s'écrit : - Le vecteur position s'écrit : Et puisque : e = cos i + sin j, donc : Avec vecteur unitaire tel que forme une base orthonormée directe. On a : avec : x = cos où y = sin où Arctang z

13 13 REMARQUES : Et daprès la figure suivante : e = cos i + sin j e = - sin i + cos j k = k - De même pour laccélération, on obtient : On peut écrire : i j e e On a: Et la vitesse de M sécrit dans la base : -Exprimer la vitesse et laccélération dans( i, j, k )

14 14 REPERE SPHERIQUE En coordonnées sphériques la position du point M est repérée par : | OM | où Le rayon vecteur r( t ) = r l'angle ( t ) = ( k, 0M ) où langle ( t ) = ( i, 0m ) où On a défini ces domaines de définition pour Que le point M décrit lespace une et une seule fois. m Le point m est la projection orthogonale de M sur le plan horizontal (ox,oy).

15 15 La position de M est donnée par : Avec : -Base du repère sphérique Pour former une base du repère sphérique, on définit un vecteur unitaire e qui est : perpendiculaire à e r, dans le plan ( k, e r ), dans le sens de et un vecteur unitaire, tel que: m M z O z O m x Dans le plan (Om,k)

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17 17 DERIVEE DU VECTEUR : e r DERIVEE DU VECTEUR : e r A partir du repère sphérique, on peut définir les repères suivants: R ( i, j, k ) R 1 ( u, v, k ) R 2 ( e r, e, e ) muni de la base sphérique fixe / ( i, u ) = et u v = k On remarque que : Déterminer : = ? = ? m z O M z O m x Dans le plan (Om,k) u v = x y k

18 18 car e r est « lié » à R 2 = ? M z O m x u = ? Puisque, on a : donc :

19 19 RELATION ENTRE ( e r, e, e ) et ( i, j, k ) erer e e r ٨ e =+ u v k + ( e r k ) ( e r u ) ( e r v ) cos erer = + u k sin Et puisque, on a : u = cos i + sin j donc : e r = sin cos i + sin sin j + cos k Dans la base ( u, v, k ), e r peut sécrire : Soit : e = cos cos i + cos sin j - sin k De la même façon, on obtient : Et la relation :, nous donne : e = - sin i + cos j Expression du rayon vecteur OM Dans R 2 : OM = /OM/ e r = r e r Dans R 1 : Dans R : r cos OM = + u k r sin OM = rsin cos i +rsin sin j +r cos k ou bien, on peut remarquer :

20 20 VITESSE ET ACCELERATION DE M VITESSE ET ACCELERATION DE M On a : et on a démontré que : Et laccélération de M par rapport à R : Et puisque : OM = r e r, donc :

21 21 COORDONNÉES POLAIRES DE M COORDONNÉES POLAIRES DE M En coordonnées polaires, la position de M est repérée par : - le rayon vecteur OM de module (t) et - l'angle polaire (t). (t) et (t) peuvent varier en fonction du temps : x = cos ety = sin, On définit les vecteurs unitaires ( e e ) dans la base ( i, j ) par : e e n M x y O ( j ) ( i ) Soit une particule M mobile dans le plan Oxy du repère R(Oxyz), et (e, e ) une base orthonormée. On a : OM = r e r

22 22 Dans la base des coordonnées polaires le vecteur position s'écrit : VITESSE ET ACCELERATION Remarques : Dans le cas où dépend du temps, les accélérations radiale et orthoradiale sont différentes de celles normale et orthonormale. Dans le cas où est une constante (mouvement circulaire), on aura : e = et e = - n

23 23 REPERE DE FRENET A chaque point M d'une courbe C, il est possible d'associer le trièdre d'origine M qui est un référentiel dont les axes sont définis par les vecteurs unitaires suivants : Le trièdre construit sur la base directe est appelé trièdre de Frenet. est appelé Le plan contenant les vecteurs b = ʌ n est un vecteur unitaire tangent à C en M est un vecteur unitaire normal à C en M dirigé vers la concavité de C est un vecteur tel que : n b M n b, n, (,b ) et n plan osculateur C par rapport à R L'origine du trièdre est le point M et non pas le point O R(oxyz) o

24 24 VITESSE DANS LE REPERE DE FRENET Par définition, on a : Soit : est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire A fixe par rapport à R O X Y Z R(oxyz) M(t) M(t+ Δt ) n n d C centre de courbure et /OM/ =R c rayon de courbure C A Et puisque : et Donc, on peut écrire :

25 25 REPERE DE FRENET A chaque point M d'une courbe C, il est possible d'associer le trièdre d'origine M qui est un référentiel dont les axes sont définis par les vecteurs unitaires suivants : Le trièdre construit sur la base directe est appelé trièdre de Frenet. est appelé Le plan contenant les vecteurs b = ʌ n est un vecteur unitaire tangent à C en M est un vecteur unitaire normal à C en M dirigé vers la concavité de C est un vecteur tel que : n b M n b, n, (,b ) et n plan osculateur C par rapport à R L'origine du trièdre est le point M et non pas le point O R(oxyz) o

26 26 VITESSE DANS LE REPERE DE FRENET Par définition, on a : Soit : est un vecteur unitaire tangent à la trajectoire A fixe par rapport à R O X Y Z R(oxyz) M(t) M(t+ Δt ) n n d C centre de courbure et /OM/ =R c rayon de courbure C A Et puisque : et Donc, on peut écrire :

27 27 EXPRESSION DE LACCELERATION DANS LE REPERE DE FRENET On a : Et puisque : Donc : On peut écrire : Où ds = R c d Soit : Donc :

28 28 Rayon de courbure O X Y Z R(oxyz) C centre de courbure et /CM/=R c rayon de courbure M C n Et daprès le triangle (MNP), on peut écrire : N P Et le rayon de courbure sécrit :

29 29 Exemples: Mouvement circulaire : En reportant ces équations dans lexpression de R c, on trouve R c = R Mouvement rectiligne : Dans ce cas R tend vers linfini x M(t) O O M

30 30 - HODOGRAPHE DES VITESSE Géométriquement, lodographe par rapport à O: A chaque point de la trajectoire de M, on représente le vecteur vitesse équivalent par translation au point O: L'ensemble des positions de H constitue l'hodographe du mouvement par rapport à O. O M(t 1 ) M(t 2 ) M(t 3 ) M(t 4 ) H(t 1 ) H(t 2 ) H(t 3 ) H(t 4 ) V(M) Remarque Remarque : Le vecteur accélération est tangent à l'hodographe, en effet : V(t) V(t t Analytiquement, Lodographe des vitesses par rapport à un point O fixe est donc lensemble des positions dun point H, tel que : OH = V(M)

31 31 Exemple à faire

32 32 V- CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL V- CHANGEMENT DE RÉFÉRENTIEL 5.1- Données du problème Soient deux repères: Les bases sont orthonormées directes et M une particule mobile par rapport à R et R 0 : R 0 ( O 0 x 0 y 0 ) fixe de base R ( O x y z ) mobile de base La particule M mobile poss è de deux trajectoires : - une trajectoire par rapport à R 0 appelée absolue - une trajectoire par rapport à R appelée relative. Le mouvement de R par rapport à R 0 est appelé mouvement d entra î nement. M O O0O0 R0R0 R y0y0 x0x0 z0z0 z y x Trajectoire de M par rapport à R Trajectoire de M par rapport à R 0

33 33

34 34 - MOUVEMENT ABSOLU DU POINT M Le mouvement de la particule M par rapport à R 0 est appelé mouvement absolu Si Alors : En effet est liée au repère R 0 et Soit :

35 35 MOUVEMENT RELATIF DU POINT M MOUVEMENT RELATIF DU POINT M Le mouvement de la particule M par rapport à R est appelé mouvement relatif. La vitesse relative sécrit : Si Alors : et Soit : En effet est liée au repère R

36 36 MOUVEMENT DENTRAINEMENT DE R PAR MOUVEMENT DENTRAINEMENT DE R PAR RAPPORT A R 0 Le mouvement d entra î nement de R par rapport à R 0 est d é finit par la connaissance : de la vitesse d un point fixe de R par rapport à R 0, soit : V(O) /R du vecteur rotation de R par rapport à R 0, soit : O O0O0 R0R0 V(O) /R0 =V a (O) y0y0 x0x0 z0z0 z y x Remarque : R est en rotation par rapport à R 0 si au moins deux vecteurs de changent de sens par rapport à R 0 EXEMPLE : est langle entre laxe Ox et laxe O 0 x 0 ou O 0 y 0

37 37 DETERMINATION DU VECTEUR ROTATION DE R PAR RAPPORT A R 0 : 1.Etude de la variation des vecteurs par rapport à R 0, revient à étudier les expressions suivantes :. Puisque la base est orthonormée, on peut écrire les relations suivantes :

38 38 est un vecteur perpendiculaire à donc ce vecteur appartient au plan formé par. On peut donc écrire : De même : On a :

39 39 et en reportant les relations (4) et (5) dans cette expression, on obtient : c = - a. Et avec le même raisonnement, on trouve f = -d et b = -e. En définitive, et en posant :

40 40 Donc lapplication représentée par cette matrice est une rotation, de vecteur Où cette matrice est antisymétrique Remarque, on peut écrire ce système déquations sous forme matricielle, soit :

41 41 - EXPRESSION DE A partir des relations (7), (8) et (9), on peut remarquer que : Et puisque, on a posé,donc :

42 42 -THEOREME DE DERIVATION : Dans la base, un vecteur peut sécrire : et sa dérivée par rapport au temps et par rapport à R 0 est donnée par la relation suivante : Où V x, V y et V z sont les composantes du vecteur Donc :

43 43 DECOMPOSITION DES VITESSES La vitesse de M par rapport à R 0 est la vitesse absolue de M, On a : On a : Et daprès la relation ( ), on peut écrire : Et puisque : Donc : Et on obtient :

44 44 Soit : Puisque lentraînement de R/R 0 est caractérisé par la vitesse absolue de O et la rotation de R/R 0, Le terme représente la Vitesse dentraînement de R/R 0, on pose donc : La vitesse d entra î nement est donc é quivalente à la vitesse absolue de la trace (point co ï ncidant) de M dans R. Remarque : On a : Si Si M est fixe dans R alors et dans ce cas On peut é crire :

45 45 COMPOSITION DES ACCELERATIONS Et on a : Par d é finition : Et puisque : Et on a:

46 46 Daprès ces relations, lexpression de laccélération absolue de M, sécrit : Terme qui repr é sente l entra î nement de R/R 0 Terme Compl é mentaire « Coriolis » On a donc : O ù : est l acc é l é ration d entra î nement de M et est l acc é l é ration de Coriolis de M. Remarques : Sachant que : Montrer que :

47 47 - EXEMPLE (Examen 2000/01) 1°) Déterminer, et 2°) Déterminer,, et 3°) On suppose que le contact entre la particule M et le cercle est sans frottement et le cercle exerce sur M une réaction.En appliquant le PFD, trouver léquation différentielle du mouvement relatif ainsi que les composantes de la réaction. y x M(m) O X0X0 Y0Y0 C Z0Z0 t u v R 0 est le repère absolu R est le repère relatif Soient un repère orthonormé direct R 0 (OX 0 Y 0 Z 0 ) et un cercle de centre O et de rayon a. Ce cercle tourne autour de laxe vertical OZ 0 et lié a un repère orthonormé direct R(OxyZ 0 ) de base dont laxe Ox est perpendiculaire au plan du cercle. On suppose que langle (Ox 0,Ox) = ( constante positive). Un point matériel M, de masse m, se déplace sur le cercle est repère par,on pose langle quelconque et (voir figure). Plan horizontal

48 48 X0X0X0X0 Y0Y0Y0Y0 Z0Z0Z0Z0 x y t M(m) O uv 1°) 2°) y Z0Z0 u v CORRECTION CORRECTION Et puisque On a :. On a :, donc :, On obtient : t