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La théorie des jeux. Analyse des comportements stratégiques Utilisée en économie Relations internationales Jeux dargent ou de société, etc. Concurrence.

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1 La théorie des jeux

2 Analyse des comportements stratégiques Utilisée en économie Relations internationales Jeux dargent ou de société, etc. Concurrence imparfaite Interactions stratégiques Entreprises tiennent compte de la demande Production : fonction des autres entreprises

3 Le dilemme du prisonnier Résolution dun jeu Léquilibre de Nash Léquilibre en stratégie mixte Les jeux répétés La théorie des jeux

4 Le dilemme du prisonnier Le dilemme du prisonnier définit une solution de jeux dans lesquels léquilibre est sous-optimal La solution optimale ne peut constituer léquilibre du jeu issu de la rationalité des agents compte tenu des hypothèses de comportement et dinformation. Le dilemme du prisonnier démontre la difficulté à établir une coopération entre les agents alors que celles-ci auraient accru le bénéfice des agents.

5 Le jeu dans sa forme classique Deux suspects son arrêtés par la police, mais la police manque de preuve pour les emprisonner. Il ne peuvent les condamner quà un an de prison pour des faits mineurs. La police doit les faire avouer. Comment sy prendre ? Le dilemme du prisonnier

6 Les policiers proposent un marché Si les deux avouent, ils auront chacun 5 ans, si lun avoue et lautre nie, ils encourent 1 ou 10 ans, si les deux nient, chacun aura 2 ans de prison Matrice des gains 2 ème criminel avouenie 1 er criminel avoue(5;5)(5;5)(1;10) nie(10;1)(2;2)(2;2) Le dilemme du prisonnier

7 La solution du jeu est que le deux avouent Chaque joueur poursuit son propre intérêt Sagit-il dun optimum social ? Contestation de la théorie économique « A beautiful mind » Sans coopération, léquilibre nest pas optimal Le dilemme du prisonnier

8 Illustration: duopole avec bien homogène Deux entreprises sur un marché peuvent : Se faire concurrence (Cournot) Sentendre pour partager la rente (cartel) Profit de lentente > profit de duopole. Si lentente nest pas illégale, alors cette solution est optimale du point de vue des entreprises. Mais lentreprise peut essayer de tricher et produire plus.

9 2 joueurs : 2 entreprises A et B Produisant le même bien 2 stratégies : Produire la quantité de duopole Produire la quantité dentente Etant donnés 2 joueurs et 2 stratégies, le marché peut se trouver dans 4 cas de figure différents. Illustration: duopole avec bien homogène

10 Dans un cas dentente respectée: Chaque entreprise gagne un profit dentente Π e = 10 Dans un cas de concurrence de duopole : Chaque entreprise gagne un profit de duopole moins élevé Π d = 2 En cas dentente non respectée: Lentreprise produisant la quantité de duopole capture des parts de marchés et gagne un profit de tricheur élevé, Π t = 15. Lautre entreprise est pénalisée et gagne un profit minimum, Π m = 0. Illustration: duopole avec bien homogène

11 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Pour ent. A: Q d si ent B choisit Q d Q d si ent B choisit Q e Quel est la meilleure stratégie pour chaque entreprise? Pour ent. B: Q d si ent A choisit Q d Q d si ent A choisit Q e Illustration: duopole avec bien homogène

12 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Remarquons que la stratégie dominante est de produire la quantité de duopole, quelle que soit la stratégie de lautre joueur. Une stratégie dominante est une stratégie qui ne dépend pas des décisions des autres joueurs. Illustration: duopole avec bien homogène

13 Le dilemme du prisonnier Résolution dun jeu Léquilibre de Nash Léquilibre en stratégie mixte Les jeux répétés La théorie des jeux

14 Un jeu se résout comme suit 1. Identifier les décisions de A 1. Meilleure décision de A, compte tenu de B1 2. Meilleure décision de A, compte tenu de B2, etc. 2. Identifier les décisions de B 3. Meilleure décision de B, compte tenu de A1 4. Meilleure décision de B, compte tenu de A2, etc. 3. On caractérise la solution du jeu, si elle existe Résolution dun jeu

15 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Résolution dun jeu (1) 1.Seules les décisions de A sont prises en compte 2.Seules les décisions de A sont retenues si B choisit Q d 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain *

16 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Résolution dun jeu (2) 1.Seules les décisions de A sont prises en compte 2.Seules les décisions de A sont retenues si B choisit Q e 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain **

17 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Résolution dun jeu (3) 1.Seules les décisions de B sont prises en compte 2.Seules les décisions de B sont retenues si A choisit Q d 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain ***

18 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Résolution dun jeu (4) 1.Seules les décisions de B sont prises en compte 2.Seules les décisions de B sont retenues si A choisit Q e 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain *** *

19 Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd (2, 2)(15,0) QeQe (0,15)(10,10) Résolution dun jeu (5) 1.Un jeu a un équilibre quand il génère une convergence des décisions stratégiques 2.Le couple de stratégies (Q d ;Q d ) est la solution du jeu *** *

20 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple de laéronautique 1.Prenons le cas de de laéronautique, avec deux constructeurs : Airbus et Boeing. 2.Voici la matrice des profits de chacun des constructeurs quand ils entreprennent de produire (P) ou pas (NP)

21 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple (1) 1.Seules les décisions de Boeing sont prises en compte 2.Seules les décisions de Boeing sont retenues si Airbus choisit de produire 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain *

22 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple (2) 1.Seules les décisions de Boeing sont prises en compte 2.Seules les décisions de Boeing sont retenues si Airbus chosit de ne pas produire 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain * *

23 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple (3) 1.Seules les décisions de Airbus sont prises en compte 2.Seules les décisions de Airbus sont retenues si Boeing choisit de produire 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain * * *

24 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple (4) 1.Seules les décisions de Airbus sont prises en compte 2.Seules les décisions de Airbus sont retenues si Boeing choisit de ne pas produire 3.On retient la décision qui génère le plus gros gain * * * *

25 Matrice des gains Airbus PNP Boeing P(-1,-1)(-1,-1)(10,0) NP(0,10)(0,0)(0,0) Résolution dun jeu - Exemple (5) 1.Ce jeu a deux équilibres (convergence des décisions stratégiques) 2.Le couple de stratégies (P;NP) est le premier équilibre du jeu 3.Le couple de stratégies (NP;P) est le deuxième équilibre du jeu. * * * *

26 Matrice des gains Joueur 2 S1S1 S2S2 Joueur 1 S1S1 (0, 10)(10,0) S2S2 (0,10) Exemple de jeu sans équilibre * * * *

27 Le dilemme du prisonnier Résolution dun jeu Léquilibre de Nash Léquilibre en stratégie mixte Les jeux répétés La théorie des jeux

28 LEquilibre de Nash Léquilibre de Nash est une situation où aucun joueur ne peut améliorer sa situation en changeant unilatéralement de stratégie, compte tenu des décisions de lautre joueur Propriétés centrales: Contribution de John Nash (1950) Léquilibre de Nash est généralement stable Chaque jeu défini à au moins un équilibre de Nash: soit en stratégies pures : les joueurs ne jouent qu'une seule stratégie à léquilibre soit en stratégies mixtes : les joueurs jouent plusieurs stratégies avec une probabilité fixe

29 Retour à lexemple de Duopole: Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd 2,215,0 QeQe 0,1510,10 Un joueur peut-il seul améliorer sa position ? Lentreprise A ? Lentreprise B ? Puisque qu où aucun joueur ne peut améliorer sa situation, il sagit dun équilibre de Nash LEquilibre de Nash

30 Efficacité de léquilibre Retour à lexemple de Duopole: Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd 2,215,0 QeQe 0,1510,10 La stratégie dominante est de produire « Qd » Mais léquilibre «Qd-Qd» nest pas collectivement optimal au sens de Pareto Si le nombre dagents est restreint, la rationalité individuelle namène pas forcement au bien être collectif

31 Efficacité de léquilibre Retour à lexemple de Duopole: Matrice des gains Ent. B QdQd QeQe Ent. A QdQd 2,215,0 QeQe 0,1510,10 Remarquons que puisque les gains en cas dentente sont supérieurs au gains sans entente, il sagit dun jeu de coordination. Un jeu de coordination est un jeu où les paiements sont plus élevés quand les joueurs peuvent coordonner leurs stratégies.

32 Le dilemme du prisonnier Résolution dun jeu Léquilibre de Nash Léquilibre en stratégie mixte Les jeux répétés La théorie des jeux

33 Stratégies pures, stratégies mixtes Exemple du jeu des tirs au but 2 joueurs : Gardien et buteur 2 stratégies : tirer/plonger à gauche/droite Hypothèse de « talent » des joueurs Le buteur ne tire jamais à coté Le gardien intercepte toujours si du bon coté Ceci permet de simplifier !! Quelle est la matrice des gains ?

34 Stratégies pures, stratégies mixtes Pour le buteur: D si le gardien choisit G G si le gardien choisit D Matrice des gains Gardien GD Buteur G0,10,11,01,0 D1,01,00,10,1 Pour le gardien: G si le buteur choisit G D si le buteur choisit D Pas déquilibre de Nash en stratégies pures ! Quel que soit le résultat, lun des joueurs peut améliorer sa situation en changeant de stratégie.

35 Stratégies pures, stratégies mixtes Il existe cependant un équilibre en stratégies mixtes Stratégie pour les 2 joueurs: oJouer G et D 50% du temps (1 fois sur deux) oChaque cas à une probabilité de 0.25 oLe buteur marque un but sur deux, lautre est arrêté par le gardien Matrice des gains Gardien GD Buteur G0,10,11,01,0 D1,01,00,10,1

36 Stratégies pures, stratégies mixtes Vérifions que cet équilibre est bien un équilibre de Nash: Le gardien joue G et D 50% du temps. Le buteur peut il augmenter son taux de succès en déviant de la règle ? Si le buteur décide de jouer 60% à gauche et 40% à droite, son taux de succès est: ( ) + ( ) = 0.5 (0.3) + (0.2) = 0.5 En choisissant 60-40, le buteur marque plus à gauche mais moins à droite. Son taux de succès est le même, il ne peut donc pas améliorer sa situation. On a bien un équilibre de Nash

37 Le dilemme du prisonnier Résolution dun jeu Léquilibre de Nash Léquilibre en stratégie mixte Les jeux répétés La théorie des jeux

38 Les jeux répétés La nature et la stabilité de léquilibre dépendent du fait que le jeu est répété ou non. Lexistence déquilibre en stratégies mixtes, par exemple, repose sur une répétition du jeu. Même dans les cas de stratégie pure (par exemple le dilemme du prisonnier), la stabilité est affectée par les répétitions du jeu. Dépend de lhorizon temporel du jeu Jeu fini Jeu infini

39 Les jeux répétés Cas du duopole: léquilibre socialement préférable (entente) peut être stable dans le temps si le jeu est répété à linfini On peut sanctionner le « tricheur » lors du jeu suivant. On peut aussi mettre en place une menace crédible pour dissuader le tricheur. Stratégie du donnant-donnant (Tit-for-tat) : comportement mimétique (Axelrod)

40 Les jeux répétés Cas du duopole: léquilibre socialement préférable (entente) peut être stable dans le temps si le jeu est répété à horizon fini Le jeu sarrête au bout the T périodes Raisonnement à rebours (backward induction) On part de la dernière période On détermine ce que lon doit faire en T-1 en fonction de T, etc. Pas de solution stable

41 Théorie des jeux : définitions Une stratégie dominante est une stratégie qui ne dépend pas des décisions des autres joueurs Léquilibre dun jeu est un couple de décision convergente (pas nécessairement les mêmes) Un équilibre de Nash est une situation où aucun joueur ne peut améliorer sa situation unilatéralement Une stratégie mixte est une stratégie qui fait appel à des choix aléatoires ou probabilistes Un jeu de coordination est un jeu où les paiements sont plus élevés quand les joueurs peuvent coordonner leurs stratégies. Un jeu à somme nulle est un jeu où les gains de lun des joueurs représentent les pertes de lautre.


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