Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée

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1 Estimation ensembliste ellisoïdale : formulation factorisée
Groupe Calcul Ensembliste 01/02/2002 Paris Suzanne Lesecq Laboratoire d’Automatique de Grenoble

2 Moindres carrés et forme factorisée Moindres carrés récursifs
Plan Introduction Moindres carrés et forme factorisée Moindres carrés récursifs Ellipsoïde englobant Reformulation Problème d’optimisation quadratique Mise sous forme factorisée Extension aux équations d’état Exemple numérique Remarques et conclusion S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

3 Diagnostic de la machine asynchrone Différentes techniques explorées
Introduction Diagnostic de la machine asynchrone Différentes techniques explorées Thèse C. Combastel (2000) Identification paramètres modèle de Park Méthodes « classiques » PNL Méthodes ellipsoïdales Thèse Th. Clément (1987) Bibliographie + récente Formulation factorisée de ces algorithmes S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

4 Moindres carrés et forme factorisée
Prérequis Factorisation orthogonale A H = U S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

5 Moindres carrés et forme factorisée
Factorisation d’un produit de matrices Problème de moindres carrés M L LT = S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

6 Moindres carrés et forme factorisée
Factorisation d’une somme de matrices Démonstration S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

7 Moindres carrés et forme factorisée
Analyse de sensibilité Équations normales Forme factorisée S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

8 Moindres carrés récursifs
Avec mise à jour de la matrice d’information I Forme standard Forme factorisée H = Xt+1 Xt S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

9 Moindres carrés récursifs
Avec mise à jour de la matrice de Covariance P Forme standard Forme factorisée P = XTX gain des moindres carrés : g/e S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

10 Algorithme de Fogel et Huang Forme standard
Ellipsoïdes 1 Algorithme de Fogel et Huang Forme standard Forme factorisée P = XTX, Z = YTY S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

11 Notations et Hypothèses yt ,et scalaires Estimation courante
Ellipsoïdes 2 Notations et Hypothèses yt ,et scalaires Estimation courante Nouvelle mesure yt+1 mesure cohérente Paramètre Critère : Trace (pas d’incidence sur la formulation factorisée) t+1 t S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

12 Ellipsoïdes : reformulation 3
Algorithmes de mise à jour des ellipsoïdes Formes factorisées Stabilité numérique Démonstrations simples des propriétés théoriques Garantie numérique des propriétés théoriques Détermination de t+1 Problème d’optimisation quadratique Connaissance a priori Moindres carrés pondérés Nouvelle mesure S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

13 Forme standard (Durieux & Al., 1996)
Ellipsoïdes 4 Algorithme Forme standard (Durieux & Al., 1996) Ellipsoïde englobant S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

14 Ellipsoïdes : forme factorisée 5
alors = = Problème de moindres carrés S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

15 Ellipsoïdes : forme factorisée 6
D’où … Algorithme …On peut démontrer ct+1 et Mt+1 obtenus indépendamment S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

16 Ellipsoïdes : forme factorisée 7
Amélioration de l’algorithme Indépendance de c et M S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

17 Ellipsoïdes Extension aux équations d’état 1
Forme « Information » factorisée PREDICTION S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste CORRECTION

18 Ellipsoïdes Extension aux équations d’état 2
Forme « Covariance » factorisée P Formulation factorisée pour P = M-1 Résultat à paraître (JESA) Exemple S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste

19 Remarques et Conclusion
Réécriture du problème Optimisation quadratique Factorisation Garantie numérique de propriétés théoriques Stabilité numérique Choix libre P ou M Intersection ou sommation d’ellipsoïdes Pas d’inversion Approche applicable à toute démarche similaire Filtre de Kalman classique et étendu S. Lesecq, 01/02/2002, groupe ensembliste