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1 Cours 2010-2011 diaporama 12 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux.

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1 1 Cours diaporama 12 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux

2 cours de Sao Paolo I. Rationnels et leurs représentations 1. Représentations mathématiques 2. Questions de didactique

3 cours de Sao Paolo introduction Des notions anciennes et qui paraissent élémentaires, comme celles de fractions, de rationnels ou de décimaux sont en fait très complexes. Elles offrent un bon champ pour observer les différents types de représentations que nous avons envisagés précédemment et le rôle quils peuvent jouer dans lenseignement: les facilités et les difficultés…

4 cours de Sao Paolo Types de représentations envisagés I. Ostension déléments dits « équivalents » * II. Classe et éléments ** III. Représentations dune même structure* IV. Définitions équivalentes dun même objet* ou problèmes ayant la même solution V. Représentation par un voisin (en topologie) VI. Changements de « langage » de cadre ou de registre VII. Représentation de situations et de processus VIII. Et la même dénomination pour des objets différents ?

5 cours de Sao Paolo fractions, rapports, fonctions Les « fractions » ont été dabord un moyen dexprimer des mesures non entières à laide dentiers. Elles doivent être alors accompagnées dune unité: Définition 1 Nombre de quantièmes, unité intermédiaire. Ex. 7/3 dacre exprime 7 fois le quantième 1/3 dacre. Définition 2: la « commensuration »: ex. 3 fois la quantité mesurée coïncide avec 7 acres (pas de division explicite) Elles ont exprimé des rapports (ratios) Soit, scalaires, sans unité, (dits rapports internes) Ex et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7. Soit avec une dimension ± complexe (rapport externe) Ex. : 3m/s Elles expriment des applications linéaires: ex: Cet actionnaire prélèvera 21/100 des bénéfices obtenus

6 cours de Sao Paolo des Fractions aux… 7/3 est une fraction 14/6 en est une autre, ainsi que 21/9 etc. Ces fractions, et toutes celles obtenues en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre ont certaines propriétés en commun: dans les opérations arithmétiques ou dans les mises en ordre, on peut toujours en remplacer lune delle par une autre, sans changer autre chose que la longueur des calculs. Les résultats sont équivalents De ce point de vue, ces fractions, toutes différentes, (donc pas égales) sont équivalentes : 7/3 28/12

7 cours de Sao Paolo … rationnels 7/3 peut représenter ( (sens I: remplacer dans les calculs ) chacune des fractions de cette classe La classe (lensemble) de toutes ces fractions est le rationnel [7/3]. Il peut être représenté (sens II) par nimporte laquelle des fractions qui le composent par ex. par 7/3 ou par 2807/1203 les mêmes calculs seront possibles et donneront des résultats équivalents On les confond dans la pratique mais on peut être amené à distinguer la fraction, le rationnel et les rationnels : fraction : 7/3 rationnel : {7/3, 14/6, …} Ce rationnel peut être aussi « désigné » exactement (sens VI) par des procédés qui ne sont pas formellement des fractions : 2,333. Il peuvent être approchés par un autre rationnel : 233/100 etc.

8 cours de Sao Paolo Les rationnels 1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7. Le rapport de 3 à 7 est exprimé par 7/3 mais aussi par 14/6 et par … 2807/1203! Le rapport 7/3 est donc aussi le rationnel [7/3] Finalement le rationnel a/b est a/b = { (n, m) N 2 : a x m = b x n} Et lensemble des rationnels est Q = { a/b, (a, b) N 2 : b 0} Lusage qui consiste à calculer sur les rationnels avec les opérations des rationnels conduit à opérer sur des fractions qui les représentent

9 cours de Sao Paolo Les applications linéaires rationnelles Une application de Q dans Q, est linéaire si elle fait correspondre la somme des images de deux nombres à limage de la somme de ces deux nombres: f(a+b) = f(a) + f(b) ex. : 7/3(a +b) = 7/3 a + 7/3 b La somme de deux applications linéaires f et g est lapplication qui fait correspondre au nombre a le nombre f(a) + g(a). (f+g)(a) = f(a) + g(a). ex. : (7/3 + 2/5)(a) = 7/3 a + 2/5 a Elle est linéaire : (f+g)(a+b) = (f+g)(a) + (f+g)(b) La composition g ° f de deux applications linéaires f et g est une application qui au nombre a fait correspondre le nombre g(f(a)) elle est linéaire et elle a toutes les propriétés nécessaires pour être une multiplication de deux applications rationnelles (distributivité, commutativité, etc.) son unité est lidentité 1(a) = a

10 cours de Sao Paolo Une représentation Application linéaire 7/ /3 est une représentation Un petit puzzle est représenté par un grand

11 cours de Sao Paolo Une autre représentation Mesure 7/3 u Application linéaire 7/ /3 est une représentation Lapplication linéaire 7/3 représente aussi la mesure 7/3

12 cours de Sao Paolo Beaucoup de représentations Lensemble des applications linéaires représente lensemble des mesures Mesures rationnelles Applications linéaires rationnelles 7/3 u7/3 3/4 u 3/4

13 cours de Sao Paolo Beaucoup de représentations Mesures rationnelles Applications linéaires rationnelles 7/3 ux(7/3) 3/4 u x(3/4) 7/3 + 3/4 x (7/3) + x (3/4) 7/3 x 3/4 (3/4) (7/3)

14 cours de Sao Paolo Représentation de L(Q) dans Q Lensemble des applications linéaires de Q dans Q est le groupe linéaire, L(Q). Q et L(Q) sont « isomorphes » autrement dit on peut nommer une application linéaire par son rationnel canonique (ou par lune de ses fractions) et calculer sur les applications comme sur les rationnels, comme sur les rapports et comme sur les fractions. Q et L(Q) sont représentants lun de lautre (au sens III), cest une même structure (un anneau unitaire) Nous rencontrerons par la suite dautres formes de représentations des mêmes concepts

15 cours de Sao Paolo Conclusion Ainsi les représentations sont omni présentes dans les mathématiques, non seulement comme une variété dexpressions de chaque objet, mais comme moyen de construction progressive des connaissances. Il est essentiel de les étudier dans ce rôle constitutif Et de considérer quelques uns des problèmes quelles posent à lenseignement Cest ce que se proposaient les recherches que je vais évoquer maintenant

16 cours de Sao Paolo Représentations et Rationnels 2. Questions de didactique

17 cours de Sao Paolo Des notions et des interprétations… Ainsi sous des aspects différents, les rationnels sont un seul et même objet. Mais par contre il existe un très grand nombre dautre possibilités dinterprétation (et encore plus de formulation) Par exemple une fraction peut être : Le résultat dune décimation (quantième) un programme de partage en parts égales dune grandeur naturelle (une division) que lon ne calcule pas, mais sur lequel on peut calculer… une échelle, un agrandissement une correspondance linéaire entre deux ensemble de mesures (non exprimée numériquement) etc.

18 cours de Sao Paolo …Polymorphes et polysémiques Nous sommes habitués à considérer toutes ces conceptions comme équivalentes – comme des représentations différentes dun même objet mathématique et à passer de lune à lautre selon les circonstances pour concevoir plus facilement un problème ou un calcul. Pourtant il a fallu des siècles pour inventer toutes ces significations particulières adaptées à toutes sortes de situations et des siècles encore pour établir en quoi elles étaient équivalentes.

19 cours de Sao Paolo Conséquences pour lenseignement Aujourdhui, dans les mêmes conditions quautrefois, les élèves développent des connaissances aussi variées : léquivalence entre les différents aspects ne leur apparaît pas et les obstacles épistémologiques ressurgissent Dailleurs notre culture porte la trace de cette complexité et des tâtonnements historiques pour la résoudre. Elle donne aux élèves des termes pour exprimer ces différences : les mots presque synonymes abondent mais limprécision est quasi systématique Par contre les enseignants, qui connaissent les équivalences, les utilisent couramment et voudraient que les élèves les trouvent évidente, comme eux: Il sensuit des malentendus et des difficultés :

20 cours de Sao Paolo sujet de recherches : vérifier ou contredire ces assertions Exemples : Le professeur Voudrait, dès que possible, illustrer la notion par toutes ses formes et ses propriétés particulières Et donc utiliser la terminologie approximative, ambiguë, contradictoire même, fournie par la culture Mais il voudrait aussi que lélève utilise correctement les algorithmes liés a la notion la plus générale dans tous les usages et exemples concrets, Et donc reconnaisse « spontanément » ce qui est équivalent et ce qui ne lest pas Pour soutenir ce désir il adhère à des «croyances épistémologiques » favorables: il naturalise les représentations

21 cours de Sao Paolo Résultats connus Les élèves ne disposent que de « représentations » particulières, inadéquates hors des conditions dun champ très limité. Exemple : les fractions bien connues des élèves sont des mesures simples, et suffisamment inférieures à lunité (1/2, 1/3, 3/4,…). Elles se réfèrent au partage en parts égales (quantièmes), cest-à-dire au mesurage dune grandeur « grande » avec une unité « petite »… Leurs propriétés ne sétendent pas bien aux rapports externes, aux fractions supérieures à lunité ou très voisines de lunité, la compréhension des décimaux est limitée aux mesures Même dans des conditions très familière les conceptions peuvent être totalement inappropriées, métaphoriques.

22 cours de Sao Paolo méthodes didactiques classiques Les propositions habituelles opposent volontiers diverses « méthodes didactiques » Ex. « Du général au particulier » (concrétisation) Vs « Du particulier au général » (abstraction) méthode axiomatique Vs heuristique (problématique) Méthode axiomatique déductive (C Condition nécessaire) Vs inductive (C C. Suffisante) Méthode descriptive Vs méthode constructive. etc. Toutes ces méthodes sont utiles et présentent un intérêt certain…

23 cours de Sao Paolo Mode demploi ? Mais aucune nest satisfaisante, toutes présentent des difficultés. Exemples. Lanalogie comme moyen officiel denseignement (Diénès), les absurdités et les abus qui en découlent Loption constructiviste radicale et ses conséquences La méthode axiomatique et ses limites Elles paraissent opposées, elles ne sont incompatibles que localement Mais ce sont les utilisations systématiques qui le sont En fait, elles peuvent être conjuguées et intervenir à divers moments opportuns dans un même processus

24 cours de Sao Paolo Proposition détudes expérimentales Nous avons montré dans lexpérience présentée plus loin quon peut alors corriger les erreurs dues aux utilisations aveugles et systématiques des méthodes classiques. Il ne sagit pas de proposer la diffusion de notre expérience dans des classes ordinaires Car les professeurs ne peuvent pas Ignorer ou changer la culture ni se passer dapplications et de problèmes : Dans les relations didactiques, ils ont hérité, par tradition, dun jeu très complexe de représentations, quils doivent, soit utiliser, soit rejeter soit ignorer selon les circonstances. Quels sont leurs stratégies ? Quels en sont les effets ? Quels rôles y jouent les représentations, correctes ou abusives ?

25 cours de Sao Paolo Comment? 1. Étudier a priori les effets prévisibles des divers abus signalés ici dans lusage des diverses formes de représentations 2. Puis les repérer dans des ouvrages et par lobservation clinique de pratiques scolaires 3. Ensuite, les étudier, expérimentalement, cest-à-dire à laide de dobservations cliniques et statistiques de leçons dexpériences denseignement bien définies De problèmes et de questionnaires posés aux élèves et à leurs professeurs (prévision des réponses)

26 cours de Sao Paolo II. Le curriculum « Rationnels et décimaux de 9 à14 ans» Introduction 1. Les fractions-mesures

27 cours de Sao Paolo Les expériences de Présentation rapide du plan général de létude « expérimentale » menée à ce propos au COREM le processus sétend sur 65 leçons La méthode utilisée consistait à choisir des processus denseignement « alternatifs » aux choix traditionnels et à en comparer les effets. Par exemple: nous avons enseigné les rationnels alors que nous pensons que cette connaissance est obsolète et inutile pour ce niveau : lenseignement des décimaux suffirait. Nous avons choisi une définition inhabituelle des fractions pour savoir si elle constituait un obstacle à lapprentissage de la conception usuelle.

28 cours de Sao Paolo Principes Ainsi les divers aspects des rationnels (fractions, rapports, fonctions) étaient présentés séparément et successivement avec leurs opérations, suivant une « logique » des questions posées par les situations, suivant leurs fonctions mathématiques réciproques, de façon à former une genèse mathématique cohérente, justifiée du point de vue épistémologique et psychologique dans un quête attractive.

29 cours de Sao Paolo Le Plan Première grande partie : les rationnels-mesures, La deuxième: les rationnels applications linéaires, (cas III) Ces parties sont enseignées séparément avec leurs opérations « signifiantes », Dans chacune de ces parties les fractions précèdent les décimaux, qui sont inventés pour les décrire, pour les approcher : est-ce que 0,33 représente 1/3 ? (Cas V) Les rapports restent des nombres naturels jusquau moment de lidentification finale. Alors les calculs peuvent ignorer la nature mathématique des objets. La troisième partie étudie les situations des différentes conceptions des opérations arithmétiques, (cas IV) La quatrième fait lidentification de toutes les conceptions, abstraction et introduit à lalgèbre (cas VI et VII)

30 cours de Sao Paolo Rationnels pour Mesurer a) Lépaisseur dune feuille de papier

31 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… Le dispositif AB C Jeanne Nicolas A Jeanne est attribué le papier C Nicolas ne voit pas Jeanne

32 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… la consigne 1 Jeanne Jeanne doit exprimer lépaisseur de la feuille C (sans lettres) et lécrire sur le message bleu AB C

33 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… la consigne 2 Jeanne Nicolas Elle envoie le message à Nicolas AB C

34 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… la consigne 3 Jeanne Nicolas Nicolas doit deviner quelle sorte de papier a Jeanne ? AB C

35 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… la consigne 4 Jeanne Nicolas Ils gagnent si Jeanne a bien « représenté » le papier C par son épaisseur et si Nicolas a su lire cette représentation… AB C

36 cours de Sao Paolo Lépaisseur dune feuille de papier… la consigne 5 Jeanne Nicolas AB C Rq. Un autre élève pourrait contester le résultat et montrer quavec ce message on pouvait choisir une autre feuille de papier

37 cours de Sao Paolo AB C … Jeanne et Nicolas étudient ensemble la façon de représenter lépaisseur dune feuille de papier Dès quils ont compris le jeu… La solution 25 f ; 3mm

38 cours de Sao Paolo Solutions trouvées par les élèves Le message 25;3indique quil a fallu empiler 25 feuilles pour atteindre 3 millimètres. Il sagit bien dune commensuration, Elle représente la mesure 3/25 de mm. le partage dune si petite unité était inconcevable… Il y a plusieurs méthodes : fixer une épaisseur entière ou non ou fixer un nombre de feuilles Toutes les équipes trouvent une solution. Mais il suffirait quil y ait deux ou trois réussites. Il y a plusieurs variantes (fixer une épaisseur entière, ou le nombre de feuilles). Les résultats sont affichés dans un tableau, les élèves y relèvent les incohérences et des erreurs en utilisant des arguments de proportionnalité:

39 cours de Sao Paolo Les comparaisons de couples Exemples du tableau 30 f ; 2 mmType C 30 f ; 3mm,Type C ça ne va pas : pour un même type de feuilles, au même nombre de feuilles doit correspondre la même épaisseur 30 f ; 3 mm Type C 15 f ; 1 mmType C ça ne va pas, sil y a 2 fois plus de feuilles, lépaisseur doit être 2 fois plus grande.

40 cours de Sao Paolo Les épaisseurs dune feuille Pour un même type de papier: 19 f ; 3 mm 20 f ; 4 mm « ça ne va pas parce quune feuille ne peut pas mesurer 1 mm » Des différences sur le nombre de feuilles ne doivent pas correspondre à des différences égales de mesures. Les élèves finissent par identifier les classes de couples représentant une même épaisseur;

41 cours de Sao Paolo (45;3) et 3/45 Il leur faut bien distinguer lépaisseur dun tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et lépaisseur (45; 3) en mm dune feuille, (couple et classe) Alors le professeur introduit une convention (45;3) représente un tas de 45 feuilles et lépaisseur du tas 3/45 représente lépaisseur dune feuille Aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles.

42 42 Leçons suivantes… Pourriez vous trouver dautres écritures pour désigner lépaisseur de chaque différent type de papier ? Les élèves finissent par identifier les classes de couples représentant une même épaisseur; Le processus se poursuit par létude de ce quon peut savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes Chaque défi prend du temps mais les élèves proposent et discutent des solutions. De temps à autre des jeux opposent des équipes où chaque joueur doit effectuer une part de travail. Ce procédé conduit les élèves à à saider et à sencourager a apprendre.

43 cours de Sao Paolo Rationnels pour Mesurer b) Les résultats des mesurages sont ils des nombres ?

44 44 Est-ce que 3/25 est un nombre? E: Oui disent les élèves, il y en a deux … P: Est que 3/25 est UN nombre E: … ??? P : Si on peut faire avec ces mesures tout ce que lon fait habituellement avec les nombres, nous dirons que ce sont des nombres, daccord?

45 45 Pour Compter ? P: Est-ce quon peut compter avec ? Quel est le premier de ces nombres? … E: ??? P : On ne peut pas compter avec les fractions. Les fractions ne sont pas des nombres entiers Est-ce quon peut les ajouter? Que faudrait-il faire pour que lon doive ajouter deux épaisseurs E: … ah oui, il faudrait « ajouter les feuilles », … coller deux feuilles pour en faire une

46 46 On peut les additionner ? P: Et bien voilà, je colle une feuille du paquet (50, 6) avec une feuille de (100; 10), quelle sera lépaisseur de la nouvelle feuille? Si on sait le faire ce sera lépaisseur somme de (50, 6) et de (100; 10) : 6/ /100 E. il faut le même nombre de feuilles de chaque sorte ! P: oui, et combien, pour que vous connaissiez lépaisseur du tas ? E : 100 ! Qui mesureront mm = 22 mm E : 50 ! Qui mesureront = 11 mm P: alors (50, 6) collée avec (100; 10) (100; 22) E: ou encore (50, 6) collée avec (100; 10) (50;11) P: lépaisseur 6/ /100 = 22/100

47 47 et « ajouter deux épaisseurs de feuilles ». On colle une feuille de chaque sorte et on veut mesurer lépaisseur de cette nouvelle feuille. Il faut que les enfants distinguent bien : «ajouter » deux tas de feuilles : on obtient bien un paquet de 150 feuilles qui mesure une épaisseur de 16 mm, mais les feuilles nont pas toutes la même épaisseur et aucune nest collée avec aucune. Et …

48 48 Le tas (45;3) et lépaisseur 3/45 Le professeur leur fait bien distinguer à nouveau La description dun tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et lépaisseur en mm dune seule feuille quil écrit 3/45 Et que les élèves lisent : « une feuille dépaisseur : 3 mm pour 45 feuilles » Il introduit une convention (45;3) représente, un tas de 45 feuilles et lépaisseur de ce tas lépaisseur seule dune feuille sécrira alors 3/45 Évidemment aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles.

49 49 Et les multiplier ? Le processus se poursuit par létude de ce quon peut savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus épaisse quune autre? Et si je colle plusieurs feuilles différentes, est-ce que je peux prévoir lépaisseur du carton obtenu? addition Si les feuilles que je colle sont toutes semblables ? multiplication par des entiers (17; 3) 5 f ? épaisseur 1 f

50 cours de Sao Paolo A quoi sert la représentation? Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus épaisse quune autre? Et si je colle plusieurs feuilles différentes, laddition me permet de prévoir lépaisseur du carton obtenu? Et si je colle des feuilles sont toutes semblables ? La multiplication par le nombre de feuilles me donne le résultat 3/17 5 f 15/17

51 51 « Peut-on » aussi les diviser ? Comment diviser 23/17 par 5 ? Lépaisseur 23/17 dune plaque est telle que 17 feuilles mesurent 23 unités Pour pouvoir diviser pas 5 il faudrait pouvoir diviser le nombre de plaques par 5 En prenant une écriture équivalente où le nombre de feuilles est divisible par 5 on trouve lépaisseur… On ne sait pas partager en une feuille dont lépaisseur est 23/17 mm. On saurait peut être pour une plaque de 23/17 cm ?

52 cours de Sao Paolo La commensuration avec dautres grandeurs Au 11 A 7 u Représentation de la définition et des opérations avec… verreVerre unité A = 7/11 u des capacités …

53 cours de Sao Paolo B Pèse 3/5 de U Lunité est U Que pèse B ? … avec des masses…

54 cours de Sao Paolo Rationnels pour Mesurer c) La mesure des longueurs Léquivalence entre fraction et commensuration

55 Avec des longueurs plus grandes… Le matériel est constitué de bandes de papier de longueurs de 1cm à plus dun mètre. La « bande-unité » mesure environ 20 cm. Pour mesurer les bandes plus courtes que lunité les élèves pratiquent la commensuration Pour mesurer les bandes longues les élèves reportent spontanément la bande- unité, puis sapprochent en la repliant pour obtenir des demis des quarts dunités Ils doivent ensuite calculer la somme de ces longueurs. Le professeur leur demande de mesurer directement cette longueur par commensuration en la reportant sur une longue bande ou le long du mur. Les mesures sont elles égales ?

56 Équivalence des définitions Pour le savoir les élèves comparent les fractions obtenues : elles sont presque égales Après avoir observé les résultats de plusieurs groupes qui avaient travaillé avec des longueurs différentes les élèves sont « convaincus » Le professeur entretient le doute et demande « une preuve ». Il faut montrer que les résultats ne devraient pas être différent.

57 cours de Sao Paolo Une première expérience Considérons deux définitions des fractions comme mesure (il en existe dautres) : La partition de lunité : 3/7 est la part obtenue en « partageant » lunité en 7 unités secondaires et en prenant 3 de ces unités secondaires La commensuration : 3/7 est la mesure dune grandeur qui « reportée » 7 fois coïncide avec 3 unités mathématiquement équivalentes: (U : 7) x 3= (Ux3) : 7 le sont elles conceptuellement ? Est-ce une représentation (cas IV) ?

58 cours de Sao Paolo Des conceptions différentes… unité 1/7 u 3/7 u Pour réaliser une longueur de 3/7 u Par partition de lunité: Par commensuration : 3 u 3u : 7

59 cours de Sao Paolo … ne permettent pas… Quelle est la mesure de a ? a unité ? Par partition de lunité Par commensuration

60 cours de Sao Paolo … de résoudre… Quelle est la mesure de a ? a ? unité Partition de lunité Commensuration

61 cours de Sao Paolo … les mêmes problèmes… Quelle est la mesure de a ? a unité Partition de lunité Commensuration Essais avec ½ u : échec

62 cours de Sao Paolo … Quelle est la mesure de a ? a puis avec 1/3 u, échec puis 1/4 u… unité Partition de lunité Commensuration

63 cours de Sao Paolo … Quelle est la mesure de a ? a unité Partition de lunité Commensuration Essais avec ½ u, puis 1/3 u, puis 1/4, puis 1/5 etc.

64 cours de Sao Paolo … aussi facilement ! Quelle est la mesure de a ? a Il faut recommencer lopération à chaque fois unité Partition de lunité Commensuration Sil y a une solution on la trouve plus vite

65 65 Et si on ne trouve pas de coïncidence ? Lerreur est visible, elle est de plus en plus petite (inférieure à 1/n). Concrètement, le processus doit sarrêter A U p/n U Partition de lunité Commensuration Lerreur est multipliée par p Il est plus visible quil ny a pas égalité, lordre de grandeur de lerreur nest plus visible n fois A p fois U A mesure moins de p/n U

66 La première démonstration Le comptage de parties de lunité et la commensuration ont des avantages différents suivant les questions et ils semblent donner des résultats voisins. Sont-ils équivalents? Comment être sûrs que les différences sont dues aux « erreurs » de manipulations et quils devraient donner le même résultat ?

67 cours de Sao Paolo La preuve de léquivalence Regardez et comprenez !

68 La première ligne porte 3 unités (segments bleus) La troisième ligne porte 7 segments rouges Chaque segment rouge mesure 3/7 unités. Chaque unité est partagée en 7 segments jaunes qui mesure 1/7 u Un segment rouge comprend 3 segments jaune et mesure donc 3/7 u. Les deux résultats sont identiques. On le voit. Mais pourquoi ? La ligne oblique mesure 21 segments de 1/3 u 7 segments de 3 sont égaux à 3 segments de 7 !

69 cours de Sao Paolo Une conception qui fait obstacle à une autre… Il sagissait entre autres 1. de savoir si lusage de la commensuration rendait difficile lapprentissage de la partition et dans quelles circonstances 2. détudier les situations favorables à lune, à lautre et au changement de point vue 3. De savoir si la connaissance des deux était bénéfique Tout dépendait de la possibilité de créer les conditions adéquates. Voici un peu plus en détail les situations retenues pour les expériences

70 cours de Sao Paolo … révèle le fonctionnement caché des connaissances Ces deux notions mathématiques équivalentes noffrent pas les mêmes facilités. Chacune est supérieure à lautre dans certaines conditions: par ex. attribuer une mesure à une quantité est beaucoup plus facile avec la commensuration (il ny a pas à diviser) par contre, les fractions permettent de mieux contrôler les approximations. Elles mobilisent les mêmes opérations et les mêmes objets mais avec des connaissances différentes. Par conséquent leur utilisation simultanées créée des méprises, des difficultés et provoque des erreurs persistantes. Leur étude nous a conduit à découvrir que lhistoire des mathématiques et lenseignement pouvaient présenter aussi des obstacles épistémologiques ou didactiques.

71 La fraction est une division… quon na pas effectuée Le professeur demande lépaisseur que lon trouve en divisant une bande de 7 unités en 3 bandes égales: 3 fois ce quon trouve mesure 7 unités, ce quon trouve est donc 7/3 dunités Si on divise 7 par 3 le résultat est 7/3 7/3 est la part obtenue en « partageant » lunité en 3 unités secondaires (de 1/3) et en prenant 7 de ces unités secondaires Ce qui, multiplié par 3, égale 7 U peut se dire : 7/3 U ou 7 x 1/3 U ou 1/3 de 7U

72 cours de Sao Paolo Résultats de cette 1 ère expérience Cette première phase du processus à duré 15 séances Finalement nous avons montré dans cette première expérience : que les élèves utilisaient facilement la commensuration et lutilisaient pour établir les relations et les calculs dans Q : (<, +, -, x et : par un nombre naturel) queffectivement cette première conception était un obstacle épistémologique pour la partition surtout pour les professeurs (moins pour les élèves) Et aussi quune représentation nenrichit une connaissance que sous certaines conditions Et nous pouvons observer que la plupart des représentations ont des propriétés importantes qui leur sont spécifiques. Les considérer comme cognitivement équivalentes conduit à des méprises

73 cours de Sao Paolo Attention ! Ici pas de balance ! 5 Kg de fruits pour 3Kg de sucre 10 Kg de fruits pour 6 Kg de sucre 15 Kg de fruits pour 9 Kg de sucre 8 kg de mélange avant la cuisson 5/8 de fruits et 3/8 de sucre Et seulement 6 Kg de confiture moitié fruits moitié sucre ! … pourquoi? À cette étape du curriculum, le problème ci-dessous est encore inintelligible pour les élèves. Pourquoi ?

74 74 2. Structure topologique de Q+ Linvention des décimaux

75 75 Linvention des décimaux Le jeu de devinette : encadrer plus étroitement la fraction secrètement choisie par ladversaire. (17/5) 34? Les premiers encadrements se font seulement entre deux entiers consécutifs (100/7) 1415?

76 76 3 6/2 4 8/2 6/2 7/2 ? Pour resserrer lencadrement entre deux entiers, il faut intercaler une fraction entre deux autres (Le procédé a été découvert pour comparer les épaisseurs) Le jeu peut continuer par des dichotomies successives Lorsque le jeu sarrête (temps limité à lavance léquipe qui tient la fractions de ladversaire dans le plus petit intervalle a gagné. Trouver le milieu est facile

77 77 Division décimale des intervalles Assez rapidement pour ne pas avoir à refaire des calculs pour chaque question, nouvelles les élèves choisissent les intervalles en utilisant des dizaines puis des centaines. 30/10 ? 40/10 30/10 < ? < 35/10 30/10 40/10

78 78 La fraction 17/5 est « attrapée » avec les décimaux … 100/7 ne lest pas 32/10 35/10 17/5 = 34/10 34/10 < ? < 35/10 NON 30/10 < ? < 35/10 OUI 30/10 ? 35/10 32/10 < ? < 35/10 OUI 33/10 < ? < 34/10 NON…!...? 30/10 40/10

79 cours de Sao Paolo Les décimaux représentent les rationnels Finalement, pour faciliter cette recherche et éviter de fastidieux calculs avec les fractions générales, les élèves découpent les intervalles en 10, 100 ou 1000 et utilisent par conséquent les décimaux pour « approcher » les rationnels. Pour cela la méthode conduit les élèves à inventer une opération qui « ressemble » à une division classique. Un rationnel peut être ainsi « représenté » par un décimal voisin plus commode pour les calculs et pour les comparaisons Les opérations avec les décimaux sont celles définies sur les rationnels. Lécriture habituelle est alors introduite

80 Conclusions Les élèves retrouvent et édictent les règles des opérations sur les écritures quils pratiquaient avec le système décimal de mesures connues depuis deux ans. - « Oui, les décimaux sont des nombres mais dans la division lunité peut changer si on en a besoin » ?? - La division sert à chercher un nombre décimal aussi près quon veut pour remplacer (représenter) la fraction - Mais diviser, cest mesurer le dividende en prenant le diviseur comme unité

81 cours de Sao Paolo Applications linéaires rationnelles a) Agrandissement dun puzzle

82 cours de Sao Paolo Une application linéaire Cest la situation bien connue « de lagrandissement du puzzle (présentée la semaine dernière). Remarquez que les élèves nont pas besoin de décrire lapplication ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions quils veulent agrandir… Un problème dagrandissement dune autre figure posée deux jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre, même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance Le professeur lui, peut croire que la situation exemplaire suffit!

83 cours de Sao Paolo Lagrandissement du puzzle Lenseignant : « Vous devez découper un puzzle pour lécole maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction Chaque groupe nagrandit quune seule pièce ». Vous les assemblerez après

84 cours de Sao Paolo Figure 1 A

85 cours de Sao Paolo

86 cours de Sao Paolo

87 cours de Sao Paolo Première idée = = = 9 Et ce qui en résulte…

88 cours de Sao Paolo D E C B F A Figure 2 Résultat

89 89 Les élèves saccusent mutuellement davoir mal mesuré, davoir mal découpé (ils demandent à la maîtresse de découper à leur place) davoir mal calculé Ils recommencent… ça ne va toujours pas Certains finissent par incriminer leur méthode

90 cours de Sao Paolo

91 cours de Sao Paolo Autres idées 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21 (la proportionnalité, comme unique modèle familier, mais empirique, sans justification) 4 --> 2 x 4 – 1 = > 2 x 6 – 1 = > 2 x 2 – 1 = 3 Qui parait satisfaisant Comme aussi des découpages « à lœil »

92 cours de Sao Paolo a b c Figure 3a

93 cours de Sao Paolo a A Figure 3b

94 cours de Sao Paolo b B Figure 3c

95 cours de Sao Paolo c C Figure 3d

96 cours de Sao Paolo a b c Figure 3e

97 cours de Sao Paolo A B C Figure 3f

98 cours de Sao Paolo Pourquoi ? = = = = 6 mais !!

99 cours de Sao Paolo Modèle Figure 4 Image La somme des images doit être limage de la somme !

100 cours de Sao Paolo

101 cours de Sao Paolo Le calcul final /4 7/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75

102 cours de Sao Paolo Nous pouvons voir ici des exemples de situations des trois principaux types la TSM i) Action – Les élèves jouent le jeu spécifique qui leur est proposé et essaient des connaissances ii) Formulation – Ils doivent utiliser le vocabulaire dans leurs communications ordinaires avec les autres élèves pour échanger leurs projets. iii) Validation – Lorsquils ont conçu un modèle ils doivent le justifier et le prouver auprès de leur camarades.

103 103 Remarquez que les élèves nont pas besoin de décrire lapplication ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions quils veulent agrandir… Un problème dagrandissement dune autre figure (un élément de mosaïque) posée quelques jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance Et voici un nouvel objet à reproduire, à agrandir ou à rapetisser

104 cours de Sao Paolo Applications linéaires rationnelles b) Lagrandissement de « loptimist »

105 105 « Loptimist » Un bateau vraiment utilisé par les enfants

106 cours de Sao Paolo Un agrandissement … Les élèves ont, à leur banc, le dessin dun bateau. Ils peuvent mesurer et nommer tous les segments qui le composent : la hauteur du mât, la longueur de la bôme etc. Son « agrandissement » est affiché au tableau. Le professeur indique la mesure dun segment sur la reproduction : le mat mesure 30 cm Les élèves doivent calculer les dimensions des autres segments du tableau depuis leur place en mesurant leur dessin. Ils peuvent aller vérifier leurs prévisions au tableau. Lapplication linéaire est cette fois-ci lobjet dune étude systématique, occasion dutiliser les rapports naturels sur un même dessin ou entre deux dessins. Mais lapplication na pas besoin dêtre nommé ou identifiée.

107 cours de Sao Paolo Les applications linéaires rationnelles c) Toute une collection de dessins de loptmist… c)

108 cours de Sao Paolo puis beaucoup dautres Le professeur introduit dautres agrandissements ou même des « rapetissements » de ce dessin (obtenus par photographie). Et même des images qui ne sont linéaires que sur une dimension (une affinité obtenue en soulevant le papier sensible) Il sagit bientôt pour les élèves de distinguer et nommer ces agrandissements Ils voient lutilité de désigner les agrandissements par limage de 1 cm sur le dessin original Comment remplacer lexpression « rapetisser de 2 » par « agrandir de 0,5 » ?

109 ,2 0,8 1,2 0,5

110 cours de Sao Paolo Original 1 1,2 0,8 0,5 5 0,2 Et que se passe-t-il si cest limage 0,8 qui prend le rôle doriginal?

111 111 Original 1 1,2 0,8 0,5 5 0,2 Et que se passe-t-il si cest limage 0,8 qui prend le rôle doriginal? X 1,2 X 0,2 X 5 X 0,5

112 cours de Sao Paolo Usages et formulations des applications linéaires Après létude de nombreux problèmes et formulations diverses pour les applications linéaires (pourcentages, échelles, taux, titre, vitesse…) dans lesquels la représentation fait lobjet détudes spécifiques : par exemple linvention du dessin à léchelle pour mesurer un segment inaccessible Il faut linclure dans une figure indéformable que lon peut reproduire en mesurant les segments accessibles pour calculer la longueur entre les drapeaux

113 cours de Sao Paolo Les produits de rationnels Les compositions dapplications linéaires c)

114 cours de Sao Paolo Le pantographe

115 Phase détude du pantographe On peut "agrandir" ou "rapetisser" en échangeant la pointe et le crayon. L'image ne change pas de forme, quelle que soit la manière dont on dispose le pantographe… mais limage dun cercle se ferme rarement, à cause de petites erreurs. Il vaut mieux savoir ce quil faut obtenir et le dessiner que lobtenir avec votre pantographe L'"agrandissement" ou le "rapetissement" varie suivant le réglage des pantographes. - Les nombres qui sont en face des trous indiquent les agrandissements et les rapetissements obtenus en y plaçant les axes….

116 116 Après quelques utilisations… Résultats: « Tous les enfants » savent utiliser le pantographe. Tous aussi ont compris les remarques qui ont été faites. Tous savent calculer le résultat attendu. Tous ont éprouvé des difficultés à obtenir ce quils pensent que lon doit obtenir. Mesure Dessin (cm) Reproduction (cm) 3,2 5,4 Calcul 3,25,25

117 117 COMPOSITION d'APPLICATIONS "Derrière cette feuille blanche, j'ai fait un dessin. Puis, avec ce pantographe, j'ai reproduit ce dessin qui m'a servi de modèle, sur cette feuille bleue. Enfin, j'ai reproduit le dessin de la feuille bleue sur cette feuille jaune à l'aide de cet autre pantographe (Les enfants ne voient pas les dessins qui sont au verso des feuilles)… Dans un moment, vous allez vous aussi, faire la même chose : vous ferez un dessin sur la feuille blanche, vous le reproduirez sur la feuille bleue avec le premier pantographe, puis vous reproduirez ce dernier dessin sur la feuille jaune avec l'autre pantographe.

118 118 Pour réussir lagrandissement, il vaut mieux … Mais avant, je vous donne 2 dimensions du modèle 4 2,5 Pouvez-vous prévoir les dimensions correspondantes sur la feuille jaune ?" Les enfants disent alors qu'il leur faut d'autres renseignements et demandent : soit de combien agrandissent les pantographes soit une dimension correspondante sur la feuille jaune.

119 119 1 ère Méthode : les rapports Feuille Blanche Feuille Bleue Feuille Jaune 2 ème Méthode : les applications

120 120 …prévoir dabord son résultat Le pantographe sert à vérifier 3 ième méthode La composition L'enseignant écrit alors sur le tableau la conclusion des élèves : (x3) S (x1,5) = (x4,5) et dit : x3 suivi de x 1,5 fait comme x4,5

121 121 La composition "Pouvez-vous prévoir quel agrandissement feront deux pantographes réglés sur 3,5 et sur 2 ? Vous réfléchirez et vous donnerez le résultat dans la prochaine séance".

122 122 La COMPOSITION D'APPLICATIONS LINÉAIRES : La DÉSIGNATION DES APPLICATIONS LINÉAIRES COMPOSÉES

123 cours de Sao Paolo Le produit de deux rationnels Finalement le produit de deux rationnels est défini comme la composition de deux agrandissements effectués « à laide » dun pantographe. Pour dessiner correctement limage les élèves doivent calculer la composée (parce que le matériel est imprécis). X 3X 2 X 6 X 3 X 1/3

124 Bibliographie Nadine et Guy Brousseau « Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire », 1987, sur HAL : Voir une bibliographie complète sur ce sujet dans le Dossier n°8 : « Les expériences sur lenseignement des rationnels et des décimaux » dans BROUSSEAU G., (2004) Les représentations, étude en théorie des situations didactiques », Revue des sciences de léducation Volume XXX n°2, 2004, , Montréal, Québec, Canada (Ed. Gisèle Lemoyne)

125 cours de Sao Paolo Bons et mauvais usages des représentations dans les processus didactiques un bon sujet de réflexions !!


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