Exercice 3 : Soient 2 triangles DBC et ABC. Soient les milieux respectifs I, J, K et L de [AB], [AC], [DC] et [DB]. Démontrez que IJKL est un parallélogramme.

D A B C

D A L K I J B C

D A L K I J B C

(LK) est une droite des milieux, donc est parallèle à (BC), donc … D A L K I J B C

(LK) est une droite des milieux, donc est parallèle à (BC), donc j’applique Thalès dans le triangle DBC : D A L K I J B C

(LK) est une droite des milieux, donc est parallèle à (BC), donc j’applique Thalès dans le triangle DBC : DL/DB=DK/DC=LK/BC D A L K I J B C

L et K sont des milieux, donc … ½ = ½ = LK / BC D A L K I J B C

Même méthode dans ABC : AI/AB = AJ/AC = IJ / BC D A L K I J B C

I et J sont des milieux donc : ½ = ½ = LK / BC D A L K I J B C

Conclusion : ½ = ½ = LK / BC et ½ = ½ = IJ / BC donc … D A L K I J B C

Conclusion : ½ = ½ = LK / BC et ½ = ½ = IJ / BC donc LK = IJ D A L K I J B C

A-t-on démontré que IJKL est un parallélogramme ? D A L K I J B C

A-t-on démontré que IJKL est un parallélogramme ? Non : il faut que ces 2 côtés égaux soient D parallèles. A L K I J B C

2 droites (LK) et (IJ) parallèles à une 3ème (BC) sont parallèles entre elles. 2 côtés parallèles et de même longueur : D IJKL est un parallélogramme. A L K I J B C

2ème méthode : D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. LK = … D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. LK = LD + DK = D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC = ½ ( BD + DC ) D A L K I J B C

2ème méthode : avec les vecteurs. LK = LD + DK = ½ BD + ½ DC = ½ ( BD + DC ) = ½ BC D A L K I J B C

Même méthode : I J = I A + A J = ½ BA + ½ AC = ½ ( BA + AC ) = ½ BC D A L K I J B C

Conclusion : D A L K I J B C

Conclusion : I J = ½ BC et LK = ½ BC donc … D A L K I J B C

Conclusion : I J = ½ BC et LK = ½ BC IJ = LK donc IJKL est un parallélogramme. D A L K I J B C

3ème méthode : D A L K I J B C

3ème méthode : les vecteurs avec des coordonnées. D A L K I J B C

Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) : A a pour coordonnées (a;b) signifie …. D A L K I J B C

Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) : A a pour coordonnées (a;b) signifie …. BA = a BC + b BD D A L K I J B C

Choisissons le repère ( B ; BC ; BD ) : A a pour coordonnées (a;b) signifie …. BA = a BC + b BD D A L K I J B C

Le point A peut être placé indépendamment des autres points, donc ses coordonnées sont des nombres variables a et b. D A B C

D A L K I J B C B C D A I J K L BC 1 a BD b

On détermine les milieux avec les relations : J milieu de [AC] donc J( (xA+xC)/2 ; (yA+yC)/2 ) = J( (a+1)/2 ; (b+0)/2 ) D A L K I J B C

D A L K I J B C B C D A I J K L BC 1 a a/2 (a+1)/2 ½ BD b b/2

I J = ( (a+1)/2 – a/2 ; b/2 – b/2 ) = ( ½ ; 0 ) C D A I J K L BC 1 a a/2 (a+1)/2 ½ BD b b/2 I J = ( (a+1)/2 – a/2 ; b/2 – b/2 ) = ( ½ ; 0 ) D LK = ( ½ – 0 ; ½ - ½ ) = ( ½ ; 0 ) A L K I J B C

I J = LK donc IJKL est un parallélogramme. D A L K I J B C