Modèles Compartimentaux

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1 Modèles Compartimentaux
G.Sallet & Université de METZ

2 Un exemple: Tuberculose 2 souches
Susceptibles Latents 1 Latents 2 Infectieux 1 Infectieux 2 Traités

3 Un exemple: Tuberculose 2 souches

4 Le principe Compartiments
Une quantité de matières cinétiquement homogène. En particulier toute quantité entrante est instantanément mélangée avec le reste Un compartiment peut-être abstrait Les matières d ’un compartiment ne se transforment pas.

5 Analyse compartimentale
n compartiments qi quantité dans le compartiment i fij, fji, Ii Oi fonctions de q Quantités toutes ≥ 0 L ’extérieur est noté compartiment 0

6 Équations

7 Équations Cela traduit qu ’il ne peut rien sortir si le compartiment est vide !

8 Un théorème bien utile Théorème Si une fonction f est telle que f(0)=0
Alors Où A(x) est la matrice preuve :

9 Équations on définit d ’où

10 Équations on définit Puis la matrice et le vecteur On a alors

11 Propriétés On notera la flèche qui apporte dans i
venant de j, la quantité de matières

12 Propriétés de la matrice
1 2 3 Un telle matrice s ’appellera matrice compartimentale

13 Propriétés du système Une matrice telle que s ’appelle
une matrice de Metzler Lemme 1 : toute matrice de Metzler laisse invariant l ’orthant Lemme 2 : toute matrice compartimentale laisse invariant pour tout M le simplexe

14 Modèles Mathématiques en Epidémiologie
G.Sallet & Université de METZ

15 Historique 1760 Daniel Bernoulli 1906 W.H. Hamer 1908 R. Ross
1927 W.O Kermack et A.G McKendrick

16 D. Bernoulli Méthode mathématique pour évaluer l’efficacité des techniques de variolation D. Bernoulli Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir Mémoire mathématiques Académie royale des sciences Paris 1760

17 W.H. Hamer 1906 Hamer postule :
The course of an epidemics depends on the rate of contact between susceptibles and infectious individuals i.e. « principe d’action de masse »

18 R. Ross 1911 ‘ As a matter of fact all epidemiology, concerned as it is with variation of disease from time to time or from place to place, must be considered mathematically, however many variables are implicated, if it is to be considered at all…and the mathematical method of treatment is really nothing but the application of careful reasoning to the problem at hand’

19 R. Ross prix Nobel en 1902 pour avoir prouvé que les anophèles transmettent les parasites du paludisme 1908 modèle continu pour la transmission du paludisme, avec action de masse. Fondateur de l’épidémiologie mathématique Dans sa quête pour établir qu’il n’était pas nécessaire d’éradiquer complètement les moustiques pour supprimer le paludisme Notion de seuil !

20 R. Ross Modèle de Ross (1911) Lotka-Volterra (1924)

21 W.O Kermack A.G. McKendrick
1927 Contribution à la théorie mathématique des épidémies Notion de «threshold» seuil

22 Maladies Infectieuses
Microparasites virus Bacteries Protozoaires Macroparasites Nématodes Intestinales Schistosomiasis (Bilharziose) Filarioses Onchocercose

23 Microparasites Measles Rougeole petite taille Reproduction dans l’hôte
Mumps Oreillons Whooping cough Coqueluche Rubella Rubéole Diphtheria Diphtérie Chicken pox Varicelle Gonorrhoea Gonorhée AIDS SIDA Malaria Paludisme Trypanosomiasis …... petite taille Reproduction dans l’hôte durée de l’infection courte relativement à la durée de vie de l’hôte une certaine immunité

24 Infection microparasitique
Cours d’une maladie Infection microparasitique

25 Infections Microparisitiques
modèles Compartimentaux population divisés en parties homogènes Susceptibles Infecté Latents Infectieux Recovered et immuns

26 Infections Microparisitiques
on ne distingue pas le degré de l’infection au contraire la densité parasitique est essentielle dans les infections macroparatiques Infectionpar les protozoaires sont entre les deux e.g Malaria, Trypanosomiasis

27 Modèles Compartimentaux
Susceptibles capable de contracter la maladie et de devenir infectés Exposed individus latent qui ayany contracté la maladie ne la transmette pas encore Infectives transmette la maladie aux susceptibles Removed ne transmettent pas la maladie ( guéris, morts, quarantaine…)

28 Modèles Compartimentaux
Modèle SIR S

29 Modèles Compartimentaux
SIRS avec dynamique vitale

30 Le modèle Kermack-McKendrick classique

31 Le modèle Kermack-McKendrick
avec dynamique vitale

32 Le modèle Kermack-McKendrick
SIRS dynamique vitale, immunité temporaire

33 Modélisation du contact
Représentation mathématique du mécanisme de la transmission Qu’est ce que S(t), I(t), R(t) ? La taille de la population ? Une densité ?

34 Modélisation du contact
S(t), I(t), R(t) ? Originellement Kermack-McKendrick S,I,R étaient une densité de population par unité de surface (Ile de Bombay) vraie loi d ’action de masse. Si b le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission)

35 Modélisation du contact
S(t) nombre de susceptibles I(t) le nombre d ’infectieux N(t) la population totale b le nombre de contacts adéquats (contact suffisant pour la transmission) d ’une personne par unité de temps le nombre de moyen de contacts par unité de temps d ’un susceptible D ’où est le nombre de nouveaux cas par unité de temps dus à S susceptibles.

36 Modélisation du contact
Si on utilise une forme d ’incidence du type pour 5 maladies, (rougeole, coqueluche, varicelle, diphtérie, scarlatine) avec des populations variant entre et on trouve que La vraie action de masse est aussi plus réaliste pour les populations animales.

37 Modélisation du contact
vraie action de masse pseudo action de masse

38 The reproduction number R0
R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse. Introduite par Macdonald dans le contexte du paludisme. (1952) Diekmann, Dietz, Heesterbeek, Metz :cadre rigoureux

39 R0 et la notion de seuil Modèle SIRS

40 deux équilibres :

41 Comme N=S+I+R est constant on peut réécrire le système
avec équilibres :

42 Il y a un équilibre faisable dans le simplexe si :
with

43 Il y a deux équilibres si :
if

44 deux équilibres : si l’équilibre est stable Jacobien en

45 R0 R0 est le nombre de cas secondaire qu’un seul cas engendre dans une période infectieuse. l’équilibre endémique est stable :

46 R0 valeur moyenne de la durée infectieuse :
durant cette période une force d’infection s’applique sur la population des susceptibles N, le nombre de cas secondaires est donc

47 Les infectieux quittent le compartiment à la vitesse
d’où

48 Résultats Classiques (SIRS)

49 Résultats Classiques (SIRS)

50 Résultats Classiques (SIRS)

51 Résultats Classiques (SIRS)
Morts de la peste dans l’île de Bombay : to

52 Exemples : MSEIR

53 MSEIR

54 meir La seule entrée du système peut s ’écrire :

55 meir (stabilité de l ’équilibre non endémique)

56 meir 1 infectieux : vie moyenne cela crée des latents à la vitesse
soit (s=1) latents multiplié par la durée de vie moyenne d ’un latent et la vitesse e

57 Preuve :meir L ’équilibre non endémique (0,0,0,0) est GAS ssi

58 Exemples : SEIRS exemples

59 SEIRS

60 Le modèle de Ross (1911)

61 Le modèle de Ross (1911)

62 Modèle de Ross (1911) nombre de piqûres par moustique par unité de temps proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique densité anophélienne,

63 Paludisme : Modèle de Ross (1911)

64 Paludisme : Modèle de Ross (1911)
Plus simplement

65 Modèle de Ross (1911) Plus simplement

66 Paludisme : Modèle de Ross (1911)
Lotka 1923 Macdonald 1957 Dietz 1975

67 modèle de Ross R0 Equilibre

68 Si R0 ≤ 1 alors le DFE est GAS
Si R0 > 1 il existe alors un unique équilibre endémique : Remarque :

69 Que montre ce modèle ? Si Le paludisme disparaît Si
Le paludisme s’installe de façon endémique

70 Que montre ce modèle ? C’était l’idée de Ross : il n’est pas nécessaire d’éliminer totalement la population anophélienne pour éradiquer le paludisme. Il suffit de réduire cette population en dessous d’un certain seuil : nombre de piqûres par moustique par unité de temps proportion de piqûres infectieuses qui donnent une infection proportion de piqûres par les moustiques sains sur un infecté qui donneront une infection pour le moustique

71 Un modèle simple de la transmission de la Dengue
Aedes Aegypti 1