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A QUELLES CONDITIONS ? APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES Septembre 2012Roland Charnay 1.

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1 A QUELLES CONDITIONS ? APPRENDRE À PARTIR DE LA RESOLUTION DE PROBLEMES Septembre 2012Roland Charnay 1

2 LES ENJEUX VUS PAR LE SOCLE Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. Il faut aussi comprendre des concepts et des technique s (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser. La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Septembre 2012Roland Charnay2

3 LA RÉSOLUTION DE PROBLEMES Des faiblesses reconnues (enquête PISA) " Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006 Septembre 2012Roland Charnay3

4 UN PROBLÈME CLASSIQUE Evaluation Sixième Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Septembre 2012Roland Charnay4

5 DE NOMBREUSES PROCÉDURES POSSIBLES Division par 6 Division (étudiée depuis le CE2) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (étudiée depuis le CE2) Addition ou soustraction de 6 en 6 Addition ou soustraction (étudiée depuis le CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (étudiée depuis le CP) Septembre 2012Roland Charnay5 50 photos 6 photos par page

6 LE CONSTAT ET LA QUESTION Réussite par division ou multiplication Très peu de solutions originales Beaucoup de calculs sans signification Pourquoi les élèves ne pensent pas, nosent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des solutions originales ? Septembre 2012Roland Charnay6

7 PISTES DEXPLICATION Septembre 2012Roland Charnay7 Connaissances - en lecture - sur le contexte - mathématiques - sens des notions - raisonnement - calcul Connaissances - sur ce qui est attendu - sur ce qui est permis - sur ce qui marche souvent - sur "l'accueil" des erreurs

8 A LA BONNE PLACE Septembre 2012Roland Charnay8 Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient

9 Septembre 2012Roland Charnay9 APPRENDRE À CHERCHER CHERCHER POUR APPRENDRE DEUX PISTES DE TRAVAIL

10 Septembre 2012Roland Charnay10 APPRENDRE A CHERCHER

11 LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER Deux exemples 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il déquipes ? 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ? Septembre 2012Roland Charnay11

12 LES DEUX SENS DU MOT CHERCHER Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Septembre 2012Roland Charnay12

13 Septembre 2012Roland Charnay13 CHERCHER POUR APPRENDRE

14 Septembre 2012Roland Charnay14 LES NOMBRES POUR GARDER LA MÉMOIRE DES QUANTITÉS UN EXEMPLE DE LA PS AU CP…

15 UNE SITUATION DE RÉFÉRENCE Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Septembre 2012Roland Charnay15

16 COLLECTIONS ASSEZ NOMBREUSES ET PROCHES Placer les bouchons : respect de la contrainte Septembre 2012Roland Charnay16 -Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille) -Pas dactivité mathématique

17 JUSQU'À 10 BOUTEILLES, BOUCHONS PROCHES Préparer les bouchons sur un plateau avant de les placer Vérifier ensuite par un placement effectif Septembre 2012Roland Charnay17 -Activité mathématique : assurer légalité des quantités -Procédures -Correspondance un à un ou par paquets -Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles) -Variable : bouteilles déplaçables ou pas

18 COLLECTIONS ÉLOIGNÉES Aller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule fois Vérifier ensuite par un placement effectif Septembre 2012Roland Charnay18 -Activité mathématique : assurer légalité des quantités -Procédures -Utilisation dune quantité intermédiaire (dessin, doigts…) -Utilisation du nombre (cf. précédemment) -Variable : nombre dessais autorisés

19 JUSTE CE QU'IL FAUT DE GOMMETTES POUR RÉPARER LE ROBOT Un problème de référence à larticulation GS-CP (Daprès Cap maths CP) Septembre 2012Roland Charnay19 Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles) Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot Les demander oralement Les commander par écrit

20 ANTICIPER / VALIDER : UN ASPECT ESSENTIEL DE CE TYPE DE SITUATION Septembre 2012Roland Charnay20 Réel Il favorise lappropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Il Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

21 Septembre 2012Roland Charnay21 COMPLÉMENT ET SOUSTRACTION UN EXEMPLE AU CE1-CE2

22 DES PROBLÈMES DE DIFFICULTÉ DIFFÉRENTE Un problème réussi précocement Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Septembre 2012Roland Charnay22 Deux problèmes réussis plus tardivement Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il dimages de tennis ? Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ?

23 Septembre 2012Roland Charnay23 Un problème mal réussi, même tardivement Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?

24 LA DÉLICATE QUESTION DU « SENS » DES OPÉRATIONS (exemple de la soustraction) Septembre 2012Roland Charnay24 Schématiquement, 3 niveaux de sens Sens « primitif » Résultat dune diminution Pierre a 23 images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Sens « appris » Complément, état avant augmentation, valeur dune comparaison… Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il dimages de tennis ? Raisonnement Autres problèmes Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après- midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ?

25 LE PASSAGE À LA 2 e CATÉGORIE DE SENS SE HEURTE À UN OBSTACLE La soustraction est dabord pensée comme donnant la valeur dun reste après une diminution. Une situation de type « complément » est dabord reliée à une addition « à trou ». Comment aider les élèves à accepter et comprendre quun problème de type « recherche dun complément » peut se résoudre à laide dune soustraction ? Septembre 2012Roland Charnay25

26 LE PROBLÈME CHOISI Combien de points cachés ? Septembre 2012Roland Charnay26 MATERIEL DE L'ENSEIGNANT une feuille de points (nombre de points connu des élèves) une feuille cache

27 LA QUESTION Septembre 2012Roland Charnay27 34 points sur la feuille Combien de points sont cachés ?

28 DÉBAT ET CONFLIT ÉVENTUEL ENTRE ÉLÈVES A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : 40, obtenu par addition (34 + 6) 28, obtenu par complément (dessin, surcomptage, addition à trou) 28, obtenu par soustraction Autres réponses, à cause derreurs de calcul A propos d arguments 40 cest impossible : il ne peut pas y en avoir plus de 34 ! Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6… Septembre 2012Roland Charnay28

29 CONTRADICTION ET CONFLIT AVEC LA RÉALITÉ Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 ! La réponse par addition ne convient donc pas. Mais pourquoi, la soustraction fournit- elle la bonne réponse ? Septembre 2012Roland Charnay29

30 POURQUOI LA SOUSTRACTION ? Nouveau problème : Feuille avec 34 points. 11 points visibles. Une question avant comptage des points cachés : Comment faire pour navoir sur la feuille que les points cachés ? Septembre 2012Roland Charnay30

31 DUNE QUESTION A UNE AUTRE Suggestions : Il faut cacher ceux quon voit Il faut couper la partie visible… Septembre 2012Roland Charnay31 Question : Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ? Réponse : On a enlevé 11 points. Il faut calculé ….

32 UNE SYNTHÈSE NÉCESSAIRE Septembre 2012Roland Charnay32 On cherche ce qui manque à 11 pour avoir 34. ce quil faut ajouter à 11 pour avoir 34 ce qui conduit à calculer 11 + … = 34 On peut remplacer la question initiale par une autre question Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer quon enlève ceux qui sont visibles ce qui conduit à calculer 34 – 11 = La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour dautres problèmes de recherche de complément.

33 Septembre 2012Roland Charnay33 CARACTERISTIQUES DE LAPPRENTISSAGE À PARTIR DE PROBLÈMES Un apprentissage marqué par 4 interactions

34 CONFRONTATION ELÈVE PROBLÈME Un problème qui permet à lélève dinvestir ses connaissances anciennes. Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles. Une situation qui est « répondante » : lélève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses. Une situation qui est « explicative » : lélève peut sappuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance. Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être utilisée comme référence pour traiter dautres problèmes. Septembre 2012Roland Charnay34

35 CONFRONTATION ELÈVE ELEVES La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse. La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, largumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures. Septembre 2012Roland Charnay35

36 CONFRONTATION ELÈVE ENSEIGNANT Septembre 2012Roland Charnay36 Lenseignant intervient peu pendant la phase de résolution. Lenseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels. Lenseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…). Lenseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, utile pour résoudre dautres problèmes.

37 CONFRONTATION ELÈVE AUTRES SITUATIONS Exercices dentraînement, de consolidation. Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance. Evaluation. Septembre 2012Roland Charnay37

38 EXEMPLES DENTRAÎNEMENT ET DE CONSOLIDATION Septembre 2012Roland Charnay38

39 RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTAL Equivalence complément-soustraction Septembre 2012Roland Charnay39 2 pour aller à 47 plutôt soustraction 36 pour aller à 40 plutôt complément 20 pour aller à 50 plutôt ? 52 – 4 plutôt soustraction 61 – 58 plutôt complément 60 – 35 plutôt ?

40 Septembre 2012Roland Charnay40 UN EXEMPLE AU CM1-CM2 Les nombres décimaux

41 UN APPRENTISSAGE DIFFICILE (exemples derreurs) Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57 3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47% de réussite Septembre 2012Roland Charnay41

42 DIFFICULTÉS, OBSTACLES La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule Elle est destinée à signaler lunité (pas à séparer le nombre en 2 parties) Une notation comme assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 dunité), ce que la virgule masque 234, ,567 Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne lest pas pour les décimaux Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 pour 3 25c Septembre 2012Roland Charnay42

43 LE CAS DE LA MULTIPLICATION PAR 10, 100… Septembre 2012Roland Charnay43 Les élèves cherchent les réponses par deux. Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel.

44 RECENSEMENT DES RÉPONSES ET DÉBAT Réponses erronées utilisant la « règle des 0 » 0,40 argument : cest 0,4 ! 00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. cest 0,4 ! 0,04 argument : cest plus petit que 0,4, ce nest donc pas 0,4 pris 10 fois ! 00,40 argument : cest 0,4 ! Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois) Réponses correctes obtenues par raisonnement 0,4 cest 4 dixièmes 0,4 x 10, cest 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes 10 dixièmes, cest 1 donc 40 dixièmes cest 4 Septembre 2012Roland Charnay44 0,4 x 10

45 VERS LAPPRENTISSAGE (mise en commun) Inventaire des réponses et procédures. Les réponses erronées sont démenties par des arguments par une procédure reconnue comme imparable : laddition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) Par la réponse obtenue à laide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement » Septembre 2012Roland Charnay45 0,4 x 10 0,4 ou 4 dixièmes Un dixième pris 10 fois

46 EN SYNTHÈSE Premier élément de synthèse La « règle des 0 » ne sapplique pas avec les nombres décimaux. Deuxième élément de synthèse Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. (ce qui est vrai aussi pour les nombres entiers !) Illustration du raisonnement à laide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être quévoqué) Troisième élément de synthèse Le raisonnement traduit dans le tableau de numération. Septembre 2012Roland Charnay46 La virgule ne change pas de place !!! millierscentainesdizainesunitésdixièmescentièmesmillièmes ,


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