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Expérimentation et démarche dinvestigation en mathématiques Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat.

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1 Expérimentation et démarche dinvestigation en mathématiques Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat

2 Expérimentation en mathématiques Observation Expérience Expérimentation Investigation

3 Expérimentation en mathématiques Observation Le ciel est bleu. Vu de la lune, le ciel est noir. Des observations, pas une connaissance

4 Expérimentation en mathématiques Expérience Une expérience, cest poser une question à la nature. Une science expérimentale ne commence pas avec lobservation, mais avec linterrogation sur lobservation. Jacques Treiner

5 Expérimentation en mathématiques Expérimentation Une expérimentation numérique interroge le modèle.

6 Expérimentation en mathématiques Démarche dinvestigation Le questionnement est premier, pas la théorie.

7 Expérimentation en mathématiques En sciences physiques observation modèle expérience

8 Expérimentation en mathématiques En mathématiques expérimentation conjecture démonstration

9 Expérimentation en mathématiques Lexpérimentation prend place à presque tous les niveaux de lactivité mathématique. Elle englobe toutes les procédures visant à traiter des cas particuliers dune question trop difficile pour être abordée directement.

10 Expérimentation en mathématiques Lexpérimentation permet notamment : de trouver déventuels contre-exemples ; de comprendre comment la question se résout dans des cas particuliers et en quoi les arguments se généralisent ou non ; de faire des conjectures sur des situations voisines. BO n°7 du 31 août 2000 Programmes de série scientifique

11 Expérimentation en mathématiques Mathématiques et informatique en première et terminale S : liens entre mathématiques et informatique;liens entre mathématiques et informatique apports des outils logiciels;apports des outils logiciels modalités de mise en œuvre.modalités de mise en œuvre BO n°7 du 31 août 2000 Programmes de série scientifique

12 Expérimentation en mathématiques

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15 Épreuve pratique de mathématiques au baccalauréat, série S Les raisons de cette épreuve Exemples dépreuves pratiques issus de lexpérimentation 2007 Mise en situation

16 Les raisons de cette épreuve Valoriser les 8 moments de lactivité mathématique : poser un problème, modéliser expérimenter, prendre des exemples conjecturer se documenter bâtir une démonstration mettre en œuvre des outils adéquats évaluer la pertinence des résultats communiquer

17 Les raisons de cette épreuve Certaines compétences mathématiques sont actuellement peu valorisées (conjecture, prise dinitiatives, utilisation des TICE).

18 Intérêts, réticences Lutilisation des TICE permet dexplorer dautres problèmes: simulation en probabilités gestion de données de taille importante en statistiques étude de problèmes dont la résolution exacte est impossible pour un élève de terminale (équations différentielles en sciences physiques)

19 Intérêts, réticences Les TICE permettent une meilleure interaction entre les différents registres de représentation (par exemple en ce qui concerne les fonctions). Ces différents registres sont indispensables pour dégager lobjet mathématique étudié.

20 Intérêts, réticences Lutilisation dun logiciel de calcul formel permet de se libérer de la part purement calculatoire pour mieux réfléchir au sens des notions travaillées. Lutilisation des TICE peut faciliter la compréhension de certaines notions (exemple : la recopie vers le bas du tableur est intimement liée à la notion de suite récurrente).

21 Intérêts, réticences Les allers-retours et interactions entre expérimentation et preuve peuvent redonner de la saveur aux maths et donner aux élèves le goût de la recherche en leur permettant de ne pas se cantonner à une simple application de techniques données par lenseignant.

22 Intérêts, réticences Quand on utilise un logiciel, on ne fait pas de maths. Et pourtant, si on étudie la méthodologie du travail pratique: question posée, et éventuels calculs préliminaires mise en place expérimentale (construction, calcul sur tableur) recherche de conjecture, en faisant varier un ou des paramètres mise à lépreuve de la conjecture retour à la théorie pour valider la conjecture

23 Intérêts, réticences La conjecture est une devinette, avant de passer réellement aux mathématiques. Il sagit de se poser DES questions, de faire varier les paramètres (terme initial dune suite par exemple), prendre des initiatives, et on fait réellement des mathématiques.

24 Exemples de sujets de lépreuve pratique issus de lexpérimentation 2007 Chaque sujet est composé : dun descriptif, dune fiche élève, dune fiche professeur, dune fiche dévaluation.

25 Exemples de sujets de lépreuve pratique issus de lexpérimentation 2007 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Sujet 29: PGCD Sujet 11: simulation dune expérience, lois de probabilités

26 Exemples de sujets de lépreuve pratique issus de lexpérimentation 2007 Sujet 47 : partage dun triangle Sujet 4 : nombre de solutions dune équation Sujet 30 : famille de cercles

27 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Descriptif : Situation On considère une suite récurrente (u n ) définie par la donnée de son premier terme u n et dune relation de la forme : pour tout entier naturel n, u n + 1 = u n + a x n + b, a et b étant deux nombres réels donnés. On cherche à déterminer, pour tout entier naturel non nul n, lexpression explicite de u n en fonction de n. Létude est proposée pour deux valeurs du couple (a, b).

28 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Compétences évaluées Compétences TICE : élaborer un processus itératif; représenter graphiquement les termes dune suite. Compétences mathématiques : déterminer une fonction polynôme à partir dinformations obtenues sur sa courbe représentative; mettre en place une démonstration par récurrence.

29 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente

30 Production demandée Le nuage de points attendu dans la question 1 et la particularité trouvée à ce nuage. La stratégie de démonstration retenue à la question 2 ainsi que les étapes de cette démonstration.

31 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Fiche professeur: Elle donne des indications sur les intentions de lauteur, sur lanalyse du sujet, sur la manière dont doivent être gérés les « appels à lexaminateur », sur lévaluation.

32 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Fiche dévaluation: Les « fiches évaluation » nécessitent un travail de préparation. Dans chaque établissement lensemble des examinateurs utilisera cette fiche et la fiche professeur pour élaborer une grille de notation adaptée aux conditions de passation.

33 Références bibliographiques Rapport de la Commission de Réflexion sur lEnseignement des Mathématiques : « linformatique et lenseignement des mathématiques » Le rapport sur lexpérimentation, et les sujets posés sont disponibles sur le site de lInspection Générale : Le site educnet qui renvoie à tous les sites académiques

34 Références bibliographiques Eduscol tion.htm 007.htm 007.htm

35 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Les élèves ont fait le choix du logiciel Excel (plutôt quune calculatrice). Tous trouvent que la courbe est une parabole. Les difficultés rencontrées relèvent : derreurs dans la constitution du tableau; de lacunes portant sur la parabole et le trinôme du second degré. Certains savent très bien utiliser la fonction courbe de tendance sur Excel (utilisée en Physique) et trouvent rapidement lécriture : U n = n² – 12n. La plupart des élèves ont lidée de faire une démonstration par récurrence mais éprouvent des difficultés à la mettre en œuvre.

36 Sujet 1: expression du terme de rang n dune suite récurrente Bilan du sujet n°1:


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