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Éléments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Opérateurs Différentiels J.C. Charmet © 2002.

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1 Éléments de Calcul Tensoriel I Les Tenseurs II Les Opérateurs Différentiels J.C. Charmet © 2002

2 I Les Tenseurs I-1 Définition des Tenseurs I-2 Opérations sur les Tenseurs I-3 Symétrie et Antisymétrie I-4 Tenseurs Identité et dAntisymétrie I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

3 I-1 Définition des Tenseurs Tenseur : Opérateur liant dans un même repère deux grandeurs physiques en un même point dun espace de dimension d M T(M)T(M) = u v v u= Ses composantes dans un repère donné ne dépendent que du M Le Rang dun tenseur caractérise son nombre dindices T (0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire à d 0 =1 composante T(M)T(M) T (1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur à d1 d1 composantes Ti(M)Ti(M) T (2) Tenseur de Rang 2 : Matrice à d2 d2 composantes T ij (M) T (n) Tenseur de Rang n : Matrice à dn dn composantes T ij…n (M)

4 I-2 Opérations sur les Tenseurs Addition tensorielle (+) : Tenseurs de même Rang C (n) = A (n) + B (n) C ij…n = A ij…n + B ij…n Produit tensoriel ( ) C (n+m) = A (n) B (m) C ij…n…n+m = A ij…n B ij…m Produit Contracté (·) sur lindice k C (n+m-2) = A (n) · B (m) C ij…n+m-2 = A ij…k...n B ij…k…m k=1 d La contraction peut seffectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2 le rang du tenseur contracté résultant Convention des indices muets Un indice de contraction, indice répété dit muet, implique la sommation sur lensemble des valeurs {1…d} prises par cet indice C ij = A ik B kj = A ik B kj = A i1 B 1j + A i2 B 2j + A i2 B 3j C (2) = A (2) · B (2) k=1 3

5 I-3 Symétrie et Antisymétrie Symétrie par rapport au couple dindices l,r Les propriétés de Symétrie et dAntisymétrie sont intrinsèques Elles se conservent par changement de repère C (t) symétrique {l,r} C ij…l…r…t = C ij…r…l...t C (t) antisymétrique {l,r} C ij…l…r…t = -C ij…r…l...t Symétrie complète le couple dindices, {1..t} C (t) symétrie complète C ij… … …t = C ij… …...t C (t) antisymétrique complète C ij… … …t = (-1) P C ij… …...t P étant la parité de la permutation {ij… … …t} {ij… … …t} Exemple : {1.2….5. …9} {1.2….5. …9} Paire P = 0 modulo 2 {1.2….5. …9} {1.2….7. …9} Impaire P = 1 modulo 2

6 I-4 Tenseurs Identité et dAntisymétrie Tenseur Identité 1 ij = 1 si i = j ij = 0 si i j le repère Tenseur dAntisymétrie ijk = 1 si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3} ijk = -1 si {i,j,k} permutation impaire du groupe {1,2,3} ijk = 0 si au moins 2 indices égaux a pour composantes : ip iq ir jp jq jr kp kq kr ijkpqr = Det ijkpqr = ip ( jq kr - jr kq )- jp ( iq kr - ir kq )+ kp ( iq jr - ir jq ) Contraction {i,p} ijkiqr = jkqr = ijk iqr = jq kr - jr kq = Det jq jr kq kr Contraction {i,p} {j,q} ijkijr = jkjr = ijk ijr = 2 kr Contraction {i,p} {j,q} {k,r} ijkijk = jkjk = ijk ijk = 2 kk = 6 Det(T (2) ) = ijk pqr T ip T jq T kr 1 6

7 I-5 Produits Scalaire et Vectoriel Produit Tensoriel de deux Vecteurs u1u2u3u1u2u3 u= v1v2v3v1v2v3 v= C u 1 v 1 u 1 v 2 u 1 v 3 u 2 v 1 u 2 v 2 u 2 v 3 u 3 v 1 u 3 v 2 u 3 v 3 uv C ij = u i v j Produit Scalaire de deux Vecteursvu· = u k v k = C kk = Tr( ) uv Produit Vectoriel de deux Vecteurs u 2 v 3 – u 3 v 2 u 3 v 1 – u 1 v 3 u 2 v 1 – u 1 v 2 wvu w1w2w3w1w2w3 =w= P 23 P 31 P 21 0 u 1 v 2 -u 2 v 1 u 1 v 3 - u 3 v 1 u 2 v 1 -u 1 v 2 0 u 2 v 3 - u 3 v 2 u 3 v 1 -u 1 v 3 u 3 v 2 -u 2 v 3 0 Produit Extérieur de deux Vecteurs P - = uv uv C t C · uv = wvu w i = ijk C jk

8 II Les Opérateurs Différentiels II-1 Le Gradient II-2 La Divergence II-3 Le Rotationnel dun Vecteur II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 II-5 Le Laplacien

9 II-1 Le Gradient Gradient dun Scalaire (x) d =Grad ·dx Grad = x 1 x 2 x 3 u 1 x 1 Grad u = u 3 x 1 u 1 x 2 u 2 x 1 u 2 x 2 u 2 x 3 u 3 x 2 u 1 x 3 u 3 x 2 Gradient dun Vecteuru(x)u(x) du =Gradu · dx Gradient dun Tenseur de Rang 2 (x) dT =Grad T · dx G ijk = Grad T = T ij x k

10 II-2 La Divergence Divergence dun Vecteur u(x) Divergences dun tenseur de Rang 2 (x) Divu = = + + u k x k u 2 x 2 u 3 x 3 u 1 x 1 Div D = = T ij x j T 13 x 3 T 11 x 1 T 12 x 2 ++ T 23 x 3 T 21 x 1 T 22 x 2 ++ T 33 x 3 T 31 x 1 T 32 x 2 ++ Divergences des Vecteurs Ligne Div G = = T ij x i T 31 x 3 T 11 x 1 T 21 x 2 ++ T 32 x 3 T 12 x 1 T 22 x 2 ++ T 33 x 3 T 13 x 1 T 23 x 2 ++ Divergences des Vecteurs Colonne Div D = Div G t Div G = Div D t = t symétrie Div D = Div G

11 II-3 Le Rotationnel dun Vecteur Opérateur Nabla = x 1 x 2 x 3 Divergence Div= Tr( )u· u=u = Tr( )u Grad t Grad Tenseur Rotationnel u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 2 u 3 x 1 u 2 x 1 u 1 x 2 u 1 x 2 -- u 1 x 3 - u 2 x 3 u 3 x 2 - u 3 x u 2 x u Grad u-Rot=u = Pseudo Vecteur Rotationnel Rot=u u u 3 x 2 - u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 1 - u 1 x 2 - u 2 x 1 · = ijk Rot=u u u Grad = Rotu [ ] i u k x j u1u2u3u1u2u3 u = u u = t Grad u 2 x 3 u 1 x 3 u 3 x 3 u 3 x 2 u 2 x 2 u 3 x 1 u 2 x 1 u 1 x 2 u 1 x 1 = et Gradient

12 II-4 Rotationnels dun Tenseur T (2) Pseudo Rotationnels dun tenseur de Rang 2 (x) t Rot D = Rot G t t Rot G = Rot D t = t symétrie Rot D = t Rot G Gradient dun tenseur de Rang 2 (x) F = Grad (3) T (2) F ijk = T ij x k Rotationnels des Vecteurs Ligne [ ] lk Rot D = = T kij T lj x i Rot D = = T T 31 x 3 T 33 x 2 T 22 x 1 T 12 x 1 T 23 x 2 T 11 x 3 T 13 x 1 -- T 11 x 2 - T 21 x 2 T 33 x 1 - T 32 x T 22 x 3 T 13 x 2 T 12 x 3 - T 21 x 3 T 23 x 1 - T 32 x 1 T 31 x 2 - Rotationnels des Vecteurs Colonne [ ] kl Rot G = = T kij T jl x i Rot G = = T T 22 x 1 T 21 x 1 T 13 x 3 T 33 x 2 T 11 x 3 T 32 x 2 T 22 x 3 -- T 23 x 3 - T 33 x 1 T 12 x 2 - T 11 x T 31 x 1 T 31 x 2 T 21 x 3 - T 12 x 3 T 32 x 1 - T 23 x 1 T 13 x 2 -

13 II-4 Le Laplacien u [ ] k Rot = klm u m x l Laplacien dun Vecteur u(x) u = Div D ( ) = Grad = 2 u i x k x k 2 u 1 x u 1 x u 1 x u 2 x u 2 x u 2 x u 3 x u 3 x u 3 x u u [ ] i = ijk =( il jm - im jl ) 2 u m x j x 1 klm u m x l [ ] i Rot (Rot )u x j = - 2 u j x i x j 2 u i x j x j =- Grad(Div ) u Laplacien et Rotationnel (Rot) =uRotu Grad(Div ) - u Laplacien dun Scalaire (x) =Div(Grad ) x k x k =Div(Grad ) = 2 x x x = 2


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