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Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 1 Chapitre 5 Mécanique des structures.

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1 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 1 Chapitre 5 Mécanique des structures En arrière-plan: tour Eiffel, 1889.

2 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 2 Contenu du chapitre 5 (1) 1. Introduction Définition de structure Classification géométrique des structures Classification statique des structures 2. Résistance des Matériaux Caractéristiques de la sollicitation Les équations déquilibre des poutres La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli Le calcul des contraintes dans les poutres La stabilité élastique 3. Méthodes de calcul des structures Les treillis Structures de poutres Plaques et coques Méthodes numériques modernes

3 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 3 Contenu du chapitre 5 (2) 4. Structures non résistant à la traction Équilibre dun bloc appuyé Équilibre dun arc en pierre Le béton armé et le béton précontraint 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet

4 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 4 Chapitre 1 1. Introduction Définition de structure Classification géométrique des structures Classification statique des structures En arrière-plan: schéma du viaduc de Millau, 2004.

5 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 5 Définition de structure Au sens stricte, on appelle structure un quelconque assemblage de corps capable dêtre en équilibre sous laction dun système quelconque de forces appliquées (dans la limite de la résistance des matériaux qui la composent). La caractéristique essentielle dune structure est donc celle dêtre en mesure dassurer léquilibre toujours, pour nimporte quel ensemble de forces appliquées: une structure ne se met pas en mouvement! (mises à part les déformations dues aux forces, déformations modestes en HPP et qui, en régime élastique, sont toujours récupérées une fois le chargement terminé). Cette distinction permet donc de différencier une structure dun mécanisme qui, lui, est un assemblage conçu pour permettre un ou des mouvements.

6 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 6 Classification géométrique des structures (1) Les structures peuvent être classifiées selon le géométrie des corps qui les composent. La classification suivante prend en compte cet aspect mais aussi dautres particularités, liées par exemple aux types de lien entre les corps constituant la structure. Dautres classifications des structures sont possibles, une exclusivement mécanique, qui sera présentée ci- après et qui permettra de mieux comprendre la différence entre mécanisme et structure, une autre typiquement technologique, sur la base du type de matériau utilisé, qui sera présentée au chapitre suivant.

7 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 7 Classification géométrique des structures (2) Poutre: on appelle poutre un corps qui a la caractéristique essentielle davoir une dimension nettement plus grande que les deux autres. Une poutre est donc une structure linéaire, qui peut être identifiée avec son axe: cest un corps monodimensionnel. Il existe plusieurs types de poutres: poutre droite: cest une poutre à axe rectiligne; la section transversale peut être constante ou non; poutre courbe: cest une poutre à axe courbe; encore, la section peut être constante ou non; appartiennent à cette catégorie les arcs, mais aussi des poutres qui ont pour axe une courbe tridimensionnelle, comme p.ex. certains escaliers en colimaçon;

8 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 8 Classification géométrique des structures (3) barre: cest une poutre droite, normalement à section constante, qui à la particularité davoir des rotules aux extrémités. Plaque: on appelle plaque un corps plan qui a une dimension, lépaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres. Une plaque est donc une structure plane qui peut être identifiée avec son plan moyen; cest un corps bidimensionnel. Normalement, les plaques ont une épaisseur constant. Coque: on appelle coque un corps qui, comme une plaque, a une dimension, lépaisseur, beaucoup plus petite que les deux autres, mais qui nest pas plane.

9 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 9 Classification géométrique des structures (4) Charpente: cest une structure formée par un assemblage de poutres; le plus souvent, il sagit de structures planes formées par des poutres droites. Treillis: ce sont des structures formées par des barres; tous les joints sont donc des rotules. Même dans ce cas il sagit souvent de structures planes. Évidemment, des structures plus complexes peuvent être formées en combinant plusieurs types structuraux dans la même structure.

10 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 10 Classification statique des structures (1) Une classification mécanique des structures concerne la relation entre une structure et les équation de la statique. On a vu en fait que les équations de la statique sont au nombre de 6 pour chaque corps rigide (3 pour les structures planes). Or, il y a en général trois cas possibles: le nombre déquations de la statique est supérieur au nombre dinconnues: la structure est statiquement impossible, ou hypostatique; le nombre déquations est égal au nombre dinconnues: la structure est statiquement déterminée ou isostatique; le nombre déquations est inférieur au nombre dinconnues: la structure est statiquement indéterminée ou hyperstatique.

11 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 11 Classification statique des structures (2) Voyons un exemple pour mieux comprendre: une poutre appuyée (exemple plan, 3 degrés de liberté). Considérons dabord le cas où la poutre est montée sur deux appuis simples: les inconnues sont 2, les deux réactions verticales, mais les équations 3: la structure est hypostatique. En fait, reste un degré de liberté, la translation horizontale, qui nest pas empêché par les appuis. Il faut quand même souligner que cette structure peut être en équilibre, p. ex. si les forces sont verticales, mais elle ne sera pas automatiquement, toujours en équilibre, pour tout type daction: à stricte rigueur, ce nest pas une structure, mais un mécanisme! En fait, celle-ci cest le cas dune planche à roulette! Équilibre possible Équilibre impossible: mouvement!

12 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 12 Classification statique des structures (3) Si maintenant un des deux appuis simples devient un appui fixe, les inconnues sont 3, les deux réactions verticales plus lhorizontale: la structure est isostatique. Cette structure assure toujours léquilibre, pour tout type daction appliquée. Si on ajoute un autre appui, les inconnues deviennent 4, mais les équations restent 3: on ne peut pas les déterminer avec les seules équations de la statique: la structure est hyperstatique et elle aussi, comme lisostatique, assure toujours léquilibre. Pour trouver les réactions dans ce cas, il faut abandonner le modèle de corps rigide et prendre en considération la déformabilité du corps: cest le domaine de la mécanique des structures! ?

13 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 13 Chapitre 5 2. Résistance des Matériaux Caractéristiques de la sollicitation Les équations déquilibre des poutres La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli Le calcul des contraintes dans les poutres La stabilité élastique En arrière-plan: épures du pont Maria Pia sur le Douro, Porto (G. Eiffel, 1877).

14 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 14 Caractéristiques de la sollicitation (1) La Résistance Des Matériaux (RDM) soccupe du calcul des structures déformables. Le but essentiel est double: calculer les déformations dune structure; calculer les contraintes dans une structure. Dans les deux cas, les résultats seront confrontés avec les valeurs admissibles, prescrits par la loi et par le type de matériau choisi. Considérons ici le cas de charpentes et de treillis, à savoir les structures constituées par des poutres ou des barres. La question est comment calculer déformations et contraintes à partir des forces appliquées? Nous allons considérer ceci dans le cas dune poutre rectiligne de section constante.

15 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 15 Caractéristiques de la sollicitation (2) Considérons donc une poutre dont on connaît les actions, y compris les réactions appliquées aux extrémités. Précisons que les réactions se calculent avec les équations de la statique, si la structure est isostatique, ou avec les méthode de la mécanique des structures, si la structure est hyperstatique. On verra après ce deuxième cas. Le cas le plus général est donc celui de figure (page suivante), qui représente aussi le schéma de calcul quon adopte ici (laxe z passe par le barycentre de la section droite de la poutre). La clé pour comprendre ce quon va introduire est ce quon appelle lAxiome de Séparation dEuler: si le tout est en équilibre, chaque partie est en équilibre. Cet axiome semble une lapalissade, mais il nous permet dintroduire le concept de caractéristique de la sollicitation (ou action interne).

16 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 16 Caractéristiques de la sollicitation (3) Le raisonnement implicite dans laxiome de séparation est simple: la poutre est en équilibre sous laction des forces appliquées et des réactions aux extrémités (en rouge); imaginons de couper en deux la poutre à labscisse z et de la séparer en deux parties, 1 et 2; comme la poutre est en équilibre, laxiome de séparation nous garantie que chaque partie, 1 et 2, est encore en équilibre; R0R0 M0M0 R1R1 M1M1 z y x R(z)R(z) M(z)M(z) considérons, p. ex., la partie 1: en général, les actions qui lui sont appliquées ne sont pas en équilibre, car elles formaient un système équilibré avec celles appliquées sur 2; 1 2

17 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 17 Caractéristiques de la sollicitation (4) ceci implique, par le PFS, que 1 ne peut pas être en équilibre (et de même pour 2), ce qui est en contradiction avec laxiome de séparation; léquilibre de 1 est donc garanti par lexistence dautres forces, qui se transmettent de 2 à 1 à travers la surface de séparation: ce sont les actions internes (jaunes en figure); elles sont dues à la cohésion entre les parties matérielles de la poutre; avec toutes les actions appliquées à 1, elles forment un système équilibré; ceci nous permet de les calculer, à laide du PFS; par le PAR, les actions internes appliquées de la part de 2 sur 1 sont égales et contraires aux actions internes appliquées de la part de 1 sur 2.

18 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 18 Caractéristiques de la sollicitation (5) Les forces de cohésion sont la résultante des contraintes internes agissantes sur la face de la section de séparation. Ces forces peuvent toujours se réduire à une force, R(z), appliquée en correspondance du barycentre de la section et à un moment, M(z). Elles sont fonction de lordonnée z car, évidemment, les actions quelles doivent équilibrer sont celles appliquées à la poutre entre lextrémité z= 0 et lordonnée z. Or, il convient de décomposer ces deux vecteurs, R(z) et M(z), selon leurs composantes sur les trois axes. Ces composantes des actions internes sappellent les caractéristiques de la sollicitation, qui sont donc au nombre de 6: R x, R y, R z, M x, M y, M z. Ces composantes se calculent directement avec les PFS; comme celui-ci se décline en 6 équations, il est toujours possible de calculer les caractéristiques de la sollicitation par les équations déquilibre de la statique.

19 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 19 Caractéristiques de la sollicitation (6) Voyons de plus près ces caractéristiques de la sollicitation: les deux composantes R x et R y sont des forces orthogonales à laxe de la poutre; elles sappelles efforts tranchants, et sont normalement indiqués, respectivement, avec T x et T y ; la composante R z est parallèle à laxe de la poutre et sappelle effort normal, dhabitude indiqué avec N; cette force est positive si de traction (elle tend alors à allonger la poutre), négative si de compression (et alors elle tend à la rétrécir); les deux composantes M x et M y sappellent moments fléchissants; ils tendent en fait à fléchir la poutre, autour respectivement de laxe x et y; R0R0 M0M0 1 R(z)R(z) M(z)M(z) z y x z y x RxRx MyMy RyRy MxMx MzMz RzRz la composante M z sappelle moment de torsion, souvent indiqué par M t ; elle provoque la torsion de la poutre autour de laxe z.

20 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 20 Les équations déquilibre des poutres établissent le lien existant entre les actions appliquées et les caractéristiques de la sollicitation. Considérons, pour simplicité, le cas plan; il ny a alors que trois caractéristiques de la sollicitation qui entrent en jeu: N, M x et T y ; comme il ny a pas dambiguïté, on les appellera N, M et T. Isolons alors un morceau de poutre de longueur infinitésimale dz, entre z et z+dz; la situation est celle de figure. Les équations déquilibre des poutres (1) N(z)N(z) N(z+dz) T(z)T(z) T(z+dz) M(z)M(z) M(z+dz) py(z)py(z) pz(z)pz(z) z y dz z z+dz En négligeant les termes dordre supérieur, le PFS appliqué au morceau en question donne les équations déquilibre pour les poutres. Il sagit déquations différentielles qui lient les actions p y et p z à N, M et T.

21 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 21 Équation de leffort normal: Équation de leffort tranchant: Équation du moment fléchissant: Cette dernière équation montre que T est la dérivée de M; si on la dérive on obtient aussi le lien directe entre la charge p y et M: Équations déquilibre des poutres Les équations déquilibre des poutres (2)

22 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 22 Les équations déquilibre des poutres (3) Voyons un exemple classique: une poutre appuyée avec chargement uniforme. La constante dintégration c 1 se détermine en connaissant T(z=0), qui est évidemment la valeur de la réaction verticale à lappui: Si on utilise la dernière équation, on détermine M(z): La constante c 2 se détermine en connaissant M(z=0), qui est nul car on a un appui simple. Donc c 2 =0. p z y l

23 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 23 Les équations déquilibre des poutres (4) On peut donc tracer les diagrammes de T(z) et de M(z); ce dernier on peut le trouver directement en intégrant deux fois la dernière équation de page 21. Les diagrammes des caractéristiques sont très importants, car ils permettent aux ingénieurs, dun simple coup dœil, de voir quelles sont les endroit les plus sollicités dune structure. Cest normalement le moment fléchissant qui détermine le dimensionnement dune structure, car cest celui qui dhabitude provoque les plus fortes contraintes. z T(z)T(z) z M(z)M(z) A remarquer que p est la pente de T et T est la pente de M; donc si p est nul, T est constant et M est linéaire, si p est constant, T est linéaire et M est parabolique, comme cest le cas en figure. En outre, M est max où T est nul.

24 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 24 Les équations déquilibre des poutres (5) Voyons des cas typiques: T(z)T(z) z F z M(z)M(z) z p T(z)T(z) z M(z)M(z) z p z F z T(z)=F M(z)M(z) z T(z)T(z) M(z)M(z) Structure hyperstatique! (voir page 51)

25 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 25 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (1) Pour calculer le lien entre les actions appliquées et les déformations des poutres, il faut établir la façon dont la poutre se déforme sous laction des forces appliqués. Cest ce quon appelle un modèle cinématique; la théorie classique pour les poutres droites est la théorie dEuler-Bernoulli. Dans ce modèle la poutre se déforme, sous laction du moment fléchissant, de sorte à ce que la section droite reste plane et orthogonale à laxe moyen qui, lui, se déforme. Le seul paramètre géométrique qui décrit la déformée est alors la flèche, cest-à-dire le déplacement vertical y de laxe de la poutre. En HPP, la courbure de la déformée (ligne élastique) se confond avec la dérivée seconde de la flèche. Ici, on ne considérera, pour simplifier, que le cas de poutres rectilignes à section constante. z y y p

26 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 26 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (2) Dans ces hypothèse, on peut montrer que le lien entre M et y est le suivant: Donc, M est directement proportionnel à la courbure (approximée par la dérivée seconde de la flèche y), le coefficient de proportionnalité étant la rigidité à la flexion, EJ. E est le module dYoung du matériau dont la poutre est faite, tandis que J est le moment dinertie de la section droite de la poutre par rapport à laxe x (qui, on le rappelle, passe par le barycentre). Cette équation montre que la courbure est plus petite pour les poutres plus rigides. Ceci peut sobtenir de deux façons: on utilise des matériaux rigides, ayant E grand, ou des sections rigides, ayant J grand (ou les deux, bien sûr!).

27 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 27 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (3) Le moment dinertie dune section augmente, à parité daire, avec léloignement du barycentre. Par exemple, pour une section rectangulaire daire donnée, on a Si on place la section avec le côté long (h) horizontal, alors Le rapport est Comme h>b, J 1 >J 2 ; voilà pourquoi les poutres rectangulaires sont toujours avec le côté long en vertical. b h x y b h x y

28 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 28 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (4) Si lon se rappelle que la dérivée de M est T, la dérivée de léquation dEuler-Bernoulli donne Finalement, par le lien entre T et p y, par une dernière dérivation on obtient léquation Celle-ci donne le lien entre le chargement et la flèche. Cette équation étant de 4 ème ordre, elle nécessite de 4 conditions au contour (les deux extrémités) pour déterminer les 4 constantes dintégration.

29 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 29 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (5) Un examen de léquation dEuler-Bernoulli montre que: sur les parties où M= 0, la courbure aussi est nulle: la poutre reste à axe rectiligne dans ces zones; si le M= const, même la courbure est constante; la seule courbe à courbure constante est un arc de cercle; donc, une poutre se déforme en un arc de cercle seulement lorsque M est contant et ceci, compte tenu de la relation avec T, se produit seulement lorsque T= 0, donc seulement si p y =0; la poutre ne peut être chargée quavec des couples aux extrémités. Les équations vues permettent de calculer la déformée dune poutre, même dans le cas hyperstatique. Le contrôle de la déformée est important dans la conception des structures; p. ex., pour une poutre on tolère une flèche max de lordre de l /400.

30 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 30 La théorie de la poutre dEuler-Bernoulli (6) Quelques valeurs typiques de la flèche max sont: z F p p z z F z

31 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 31 Le calcul des contraintes dans les poutres (1) Comme déjà dit, une des tâches de la RDM est celle de vérifier la structure en contrôlant la valeur de la contrainte. Il nous faut donc une méthode pour passer des caractéristiques de la sollicitation (qui sont, on le rappelle, la résultante des distributions de contraintes sur la section droite de la poutre) aux contraintes internes. Ce problème est connu sous le nom de Problème de Saint Venant, du nom du scientifique qui la résolu. Saint Venant a procédé de la manière suivante: il considère des poutres droites à section constante, qui sont sollicitées seulement en correspondance des extrémités; en particulier, il ny a pas dactions distribuées le long de laxe (comme le poids propre, p. ex.); il considère un matériau élastique linéaire, homogène et isotrope et il se place en HPP.

32 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 32 Le calcul des contraintes dans les poutres (2) En ce qui concerne les actions sur les bases, il admet que leur distribution ponctuelle na pas dimportance sur le résultat final; p. ex., pour une poutre soumise à seule action normale, que celle- ci soit concentrée sur une zone limité autour du barycentre des sections extrêmes ou quelle soit uniformément distribuée sur la section, na pas dimportance, pourvu que la résultante soit la même, à une distance suffisante de la section dapplication (distance de lordre de la plus grande dimension transversale de la poutre): cest le Principe de Saint Venant. Concrètement, ce Principe nous dit que les zones dapplication du chargement sont des zones particulières, perturbées par la présence du chargement et à examiner à part, et que la solution «régulière» se trouve, indépendamment de la façon dont la charge est appliquée, à une distance suffisante de la section de chargement. Zone de validité de la solution de Saint Venant Zone perturbée, de diffusion de la charge d ~d~d

33 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 33 Le calcul des contraintes dans les poutres (3) Saint Venant considère un cas de sollicitation à la fois: N, M, T, M t : ce sont les sollicitations pures. Ensuite, par la linéarité du problème, il peut appliquer le Principe de Superposition des Effets (PSE): leffet total est égal à la somme des effets des causes considérées comme agissantes séparément. Ainsi, il résout aussi les cas des sollicitations combinées, où il y a présence à la fois de N, M, T etc. Les résultats du Problème de Saint Venant sont ensuite appliqués aussi à des cas différents de ceux prévus, notamment pour les poutres courbes, à section variables, avec des forces distribuées.

34 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 34 Le calcul des contraintes dans les poutres (4) En fait, lexpérience montre que lutilisation des résultats du Problème de Saint Venant même dans ces cas est en très bon accord avec les résultats expérimentaux: les hypothèses faites sur la géométrie de la poutre et sur la distribution des actions extérieures naffectent pas les résultats de façon sensible et la solution trouvée par Saint Venant est donc techniquement valable! La génialité de Saint Venant a donc été celle davoir su simplifier efficacement un problème très complexe et den avoir trouvé la solution, tout en ayant compris que la portée de ces résultats allait au delà du cadre théorique prévu et constituait la solution définitive du problème de la poutre: cest un pas fondamental de lingénierie et un modèle pour la solution de nombreux autres problèmes.

35 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 35 Le calcul des contraintes dans les poutres (5) Voyons donc les cas des sollicitations pures. Effort normal N: il produit la contrainte normale zz, indiquée normalement par, uniformément distribuée sur la section droite (A: aire de la section droite): Moment fléchissant M: il produit la contrainte normale zz, distribuée de façon antisymétrique sur la section droite (J xx est le moment dinertie de la section droite par rapport à laxe x et y est la distance depuis cet axe x, qui est barycentrique): Cest la formule de Navier, qui montre que la contrainte due à la flexion est plus grande sur les points de la section les plus éloignés du barycentre.

36 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 36 Le calcul des contraintes dans les poutres (6) La contrainte de flexion diminue avec J xx ; a parité daire de la section droite, et donc de matière employée, J xx augmente avec léloignement de la matière du barycentre, en direction y: cest le principe de centrifugation de la matière: pour avoir une section efficace pour la flexion, il faut avoir la matière loin du barycentre (on lavait déjà vu avec les équations de la déformée). Cest pour ça que les poutres en acier ont une section en I: ça permet, à parité de matière employée, déloigner au maximum la matière du barycentre, et donc de maximiser J xx. y x A, J 1 A, J 2 y x

37 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 37 Le calcul des contraintes dans les poutres (7) Effort tranchant T: il produit la contrainte tangentielle zy, indiquée la plus souvent par, donnée par la formule de Jourawsky: Ici, S xx est le moment statique par rapport à laxe x de la portion de section droite au dessus du point où on calcule et est la largeur de la section au même endroit. Pour une section rectangulaire, cette formule devient Il faut se rappeler que, en réalité, la sollicitation pure deffort tranchant nexiste pas, car, par les équations déquilibre, T est toujours accompagné par M.

38 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 38 Le calcul des contraintes dans les poutres (8) Torsion M t : elle provoque une contrainte tangentielle ; dans le cas dune section circulaire, pleine ou creuse, la mieux adaptée à la torsion, la solution est: Ici, r est la distance du centre et J o est le moment dinertie polaire de la section par rapport au centre; pour la section circulaire creuse, il est Cette formule est exacte et a la même structure de celle de Navier pour la flexion: la contrainte est plus forte sur les points les plus éloignés du centre. Pour des sections de forme différentes, on a des solutions approximées. On voit bien que la contrainte diminue si J o augment: ceci sobtient, a parité daire, donc de matière utilisée, en éloignant la matière du centre.

39 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 39 Le calcul des contraintes dans les poutres (9) Voyons alors les diagrammes des contraintes sur une section droite dans des cas typiques (le >0 sont celles de traction). Section rectangulaire soumise à N, M et T: Section en I (de même aire) soumise à N, M et T: Section circulaire creuse en torsion: y x = = y x + y x

40 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 40 Le calcul des contraintes dans les poutres (10) Quelques observations sur ces résultats: la section rectangulaire convient pour N, M et T, mais pour M la meilleure section est celle en I; une section rectangulaire «verticale» convient pour M, mais pour T il vaut mieux la même section «horizontale»; la section circulaire creuse est la meilleure pour la torsion; dautres bonnes sections sont celle tubulaires en général, alors quune section ouverte, comme celle en I, est absolument inefficace pour la torsion; les contraintes M et t maximales ne se trouvent pas au même endroit: M est max aux bords de la section, alors que est max au centre; les contraintes dues à N et M sajoutent directement, étant la même composante du tenseur de la contrainte, mais les ne sajoutent pas aux, car ce sont des composantes différentes.

41 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 41 Le calcul des contraintes dans les poutres (11) Une fois les contraintes sur la section connues, on peut les confronter avec les contraintes admissibles, qui dépendent du matériau de la poutre et des prescriptions de loi. En fait, normalement on admet comme contrainte maximale la contrainte de la limité délasticité du matériau, él : cest-à-dire, on veut que la structure reste toujours en zone élastique, comme déjà dit au chapitre 3 (page 59). Or, pour faire face aux inévitables incertitudes, on ne prend pas él comme limite, mais une fraction de celle-ci, appelé contrainte admissible, adm : Le coefficient sappelle coefficient de sécurité; sa valeur est fixée par la loi (p. ex. pour les constructions en acier il vaut 1.5, ce qui veut dire que adm est 2/3 de él ). Quelquun lappelle aussi coefficient dignorance, car il sert à «effacer» les inévitables incertitudes.

42 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 42 Le calcul des contraintes dans les poutres (12) Si les seules contraintes en jeu sont les contraintes normales, il ny a pas de problème à vérifier la section, car on peut les confronter directement avec adm. Mais sil y a la contrainte, on ne peut pas les confronter directement, car la valeur de comparaison est une contrainte normale. Dans ce cas on utilise un critère de résistance, qui transforme les contraintes et agissantes au même endroit en une contrainte factice, quon appelle contrainte idéale, id. Le critère le plus employé est celui de Von Mises, pour lequel Cest un critère énergétique: cette formule est obtenue en limitant lénergie de déformation liée au changement de forme de la poutre (chapitre 3, page 61).

43 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 43 Le calcul des contraintes dans les poutres (13) Les concepteurs suivent donc la démarche suivante: calcul des réactions aux appuis: par le PFS ou le PTV, si la structure est isostatique, par une méthode du calcul structural si elle est hyperstatique (on le verra au paragraphe suivant); calcul des caractéristiques de la sollicitation; traçage des diagrammes des caractéristiques de la sollicitation; individuation des sections les plus sollicitées; calcul des contraintes en ces sections; calcul de la contrainte idéale maximale; vérification par confrontation avec la contrainte admissible. Dautres méthodes de vérification existent: ce sont des méthodes probabilistes, dans lesquelles on cherche à cerner plus précisément les incertitudes (sur les actions, les matériaux etc.): cest lapproche fiabiliste (quon ne traitera pas ici).

44 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 44 Leonardo da Vinci avait eu lintuition de lexistence de ce phénomène. Mais cest un autre Leonard, Euler, qui en prouve lexistence et qui donne en 1744 la méthode mathématique pour le traiter ainsi que sa solution exacte. En fait, la charge maximale quune poutre en compression peut supporter avant que la configuration rectiligne devienne instable est donnée par la formule N crit est la charge critique eulérienne; J min est le plus petit moment dinertie de la section droite de la poutre. La stabilité élastique (1) Les poutres en compression sont soumises au phénomène de la stabilité élastique, quon a déjà considéré au chapitre 2 (page 100 et suivantes). z y z y

45 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 45 La stabilité élastique (2) N crit donne la valeur de la charge de stabilité, qui est aussi celle de bifurcation de léquilibre. Les poutres en compression (comme les piliers, les colonnes) doivent toujours être dimensionnées pour la stabilité, car cest une situation beaucoup plus critique que le simple effort normal. A parité daire, la section qui maximise N crit est celle qui maximise J min, donc encore une fois cest le principe de centrifugation de la masse qui joue: les sections les plus adaptées sont celles tubulaires, circulaires ou carrées. Le phénomène de la bifurcation/instabilité est très dangereux, car il nest pas annoncé par des signes précurseurs: le changement de configuration est instantané et une fois la poutre courbée, elle est soumise, au centre, à un moment fléchissant, engendré par la déformation, si fort que la structure ne peut jamais le supporter: le résultat est inexorablement leffondrement instantané de la construction.

46 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 46 Chapitre 5 3. Méthodes de calcul des structures Les treillis Structures de poutres Plaques et coques Méthodes numériques modernes En arrière-plan: schémas de ponts en treillis de A. Palladio (I quattro libri dellarchitettura, Venise, 1571).

47 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 47 Les treillis (1) Considérons ici le cas de treillis plans et isostatiques. Le calcul dun treillis consiste à déterminer les réactions aux appuis et ensuite leffort normal dans chaque barre. En fait, un treillis est une structure composée de barres, cest-à- dire de poutres avec aux extrémités des rotules, et chargée seulement en correspondance des nœuds. Dans ce cas, les barres ne sont sollicitées quà effort normal, pas de T ni de M. Pour montrer comment on procède, considérons lexemple en figure (page suivante): cest un treillis isostatique avec des mailles identiques. Les réactions aux appuis: elles sont déterminées comme si le treillis nétait quun seul corps. Le PFS nous permet de les calculer. Ensuite, on remplace les appuis par les réactions correspondantes et on commence le calcul des efforts dans les barres.

48 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 48 Les treillis (2) Le PFS donne les réactions aux appuis: On imagine de supprimer les appuis et de les remplacer par les réactions, maintenant connues. Or, si lon considère p. ex. le premier nœud, il y a une force appliquée, R 1. l h F P R1R1 R2R2 R3R3 Alors, on peut décomposer cette force avec la règle du parallélogramme, selon les deux directions des barres, car les barres ne sont soumises quà effort axial.

49 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 49 Les treillis (3) Une fois trouvé la force dans une barre, on la «transporte» jusquà lautre nœud et on la décompose selon les directions des autres barres qui partent du nœud. Ainsi on propage le calcul jusquà la dernière barre. Cette technique nest possible que si le treillis est isostatique; en fait, si par exemple on arrive dans un nœud où il y a quatre barres qui arrivent, avec trois efforts inconnus, la décomposition nest plus possible: le treillis est hyperstatique et il faut faire appel à dautres méthodes. R1R1 N1N1 N2N2 F N2N2 F P R1R1 R2R2 R3R N3N3 N4N4 …et ainsi de suite!

50 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 50 Structures de poutres (1) Pour les structures de poutres isostatiques, la démarche générale a déjà été montrée au chapitre 2 (page 90). En fait, dans ce cas ce sont les méthodes de la statique, donc concernant les corps rigides, qui permettent de résoudre le problème de la recherche des réactions et du calcul des caractéristiques de la sollicitation. Intéressons nous ici au cas des structures hyperstatiques: dans ce cas, on a déjà remarqué que lhypothèse de corps rigide doit être abandonnée pour pouvoir calculer les réactions surabondantes, ce quon appelle les inconnues hyperstatiques. Il existe pour cela plusieurs méthodes, toutes reconductibles au PTV, écrit pour les poutres déformables. On ne peut pas traiter ici ce genre de méthodes dans le détail, car il sagit de méthodes plutôt compliquées. Toutefois, on peut en donner lidée de base avec un exemple simple.

51 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 51 z p l Structures de poutres (2) Considérons donc le cas de la poutre en figure. Il sagit bien dune structure hyperstatique, car elle a 4 réactions aux appuis; les équations de la statique étant 3, la structure est donc 1 fois hyperstatique. R1R1 R2R2 R3R3 R4R4 Si alors on considère la poutre non plus comme un corps rigide, mais comme un corps élastique, on peut déterminer linconnue surabondante, p. ex. R 4. Pour cela on élimine lappui et on le remplace par sa réaction R 4. La structure est maintenant isostatique (on a éliminé un degré de lien sur une structure 1 fois hyperstatique): on lappelle la structure principale. Sur la structure principale agit une force, maintenant considérée comme active, qui est inconnue: R 4, précisément. A B

52 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 52 Structures de poutres (3) Le raisonnement quon fait pour déterminer R 4 est simple: la vraie structure, celle dorigine, a une flèche nulle en B; la structure principale sera équivalente à celle dorigine si la flèche en B est nulle; cette flèche est due à laction de la charge distribuée, p, et de lhyperstatique inconnue R 4 ; la valeur de R 4 est donc celle qui rend nulle la flèche en B; cette flèche peut se calculer grâce, p. ex., à léquation dEuler-Bernoulli, en utilisant le PSE: elle est la somme de la flèche due à p plus celle due à R 4. z p A B R4R4 p z z R4R4 = +

53 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 53 Structures de poutres (4) Maintenant, si lon revient à la structure dorigine, on connaît 3 inconnues sur 4, et le PFS permet donc de calculer les trois autres qui manquent. Autrement, on peut continuer à utiliser le PSE et dire que chaque grandeur (réaction, caractéristique de la sollicitation, flèche etc.) est la somme des deux contributions dues, dans la structure principale, à p et à R 4. On trouve alors, très facilement, que Cet exemple montre que la prise en compte de lélasticité de la structure est nécessaire pour trouver les inconnues hyperstatiques. Toutefois, dans les cas réels, normalement bien plus compliqués que ce simple exemple, cette méthode se révèle impraticable, car la solution de systèmes à grand nombre dinconnues hyperstatiques devient trop lourd pour être fait de façon analytique: il faut faire appel à des méthodes numériques!

54 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 54 Plaques et coques Le calcul des plaques et des coques est une tâche très compliquée et ne peut pas être abordée dans ce contexte. La théorie classique des plaques est due à Kirchhoff, et généralise au cas plan bidimensionnel la théorie de la poutre dEuler-Bernoulli. Ensuite, Love a étendu la théorie de Kirchhoff même au cas des coques. Des solutions analytiques sont connues pur un faible nombre de cas, particulièrement simples dun point de vue géométrique. En règle générale, il faut faire encore appel à des méthodes numériques.

55 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 55 Méthodes numériques modernes (1) Lavènement de lordinateur a provoqué lépanouissement de ce quon appelle la mécanique numérique. Il sagit de procédures de calcul des structures basées sur des méthodes dapproximation numérique des équations. La méthode la plus connue est la méthode des éléments finis. Dans cette méthode, lobjet, la structure, est décomposé en un certain nombre de parties élémentaires (les éléments finis) à laide dun maillage. Le corps, physiquement continu, est donc discrétisé en un nombre fini déléments. Par conséquent, les équations différentielles aux dérivées partielles se transforment en un système déquations algébriques, quon peut résoudre avec les techniques classiques de lalgèbre matricielle. Le type délément fini utilisé simule le comportement du matériau: il y a donc des éléments poutre, plaque, coque, 3D, isotrope, anisotropes, fluides etc.

56 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 56 Méthodes numériques modernes (2) Ces nouvelles méthodes ont rendu possible ce quil semblait science fiction il y a seulement 30 ans, et aujourdhui, avec la puissance des ordinateurs modernes, rien ne semble plus impossible!

57 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 57 Chapitre 5 4. Structures non résistant à la traction Équilibre dun bloc appuyé Équilibre dun arc en pierre Le béton armé et le béton précontraint En arrière-plan: page du Codice Foster de Leonardo da Vinci avec létude des arcs.

58 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 58 Équilibre dun bloc appuyé (1) Un grand nombre de matériaux utilisés pour la construction des structures ont un comportement fragile et une résistance à la traction très petite. En outre, ils sont souvent fissurés; parfois les fissures sont microscopiques, mais suffisantes à réduire à zéro la résistance à la traction. Cest le cas des matériaux comme la pierre, le béton, les céramiques, la terre cuite. En plus, ce même problème se présente pour les corps appuyés directement lun sur lautre: le cas typique est celui des blocs de fondations, appuyés sur le terrain, ou des blocs de pierre des constructions antiques, comme les blocs des pyramides, ou des murs, colonnes et piliers des cathédrales. Dans tous ces cas, il faut une théorie capable de prédire les conditions déquilibre de ces corps, qui seront dans la suite considérés comme rigides.

59 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 59 Équilibre dun bloc appuyé (2) Considérons donc un bloc appuyé sur le sol; il est soumis à une force verticale et à une force horizontale. Entre le sol et le bloc il y a du frottement, avec un coefficient de frottement statique. Le problème est double: dans quelles conditions on arrive à un état limite déquilibre rigide? quelle est la distribution des contraintes de contact entre le bloc et le sol? Voyons comment répondre à ces deux questions. En ce qui concerne la première, il faut considérer que léquilibre du bloc peut se rompre pour deux raisons: une rotation rigide ou un glissement. Examinons séparément ces deux conditions déquilibre rigide.

60 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 60 Équilibre dun bloc appuyé (3) Dabord la rotation rigide: elle se produit lorsque la résultante des deux forces sort de la base dappui. En fait, en regardant la figure, la force verticale a un moment stabilisant par rapport au bord (point A), alors que celle horizontale a un moment déstabilisant: quand les deux moment sont de même valeur, on est à léquilibre limite. En correspondance de cette condition, la force résultante passe par A; si la force horizontale augmente encore (ou celle verticale diminue), le bloc tourne autour de A. A Équilibre Équilibre limite Équilibre impossible La condition pour léquilibre à la rotation est donc celle-ci: la résultante doit croiser la surface dappui. Ceci est vrai pour tout type de surface et pour tout système de forces appliquées. b

61 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 61 horizontale, appliquée au barycentre plus le moment résultant, ou aux deux résultantes appliquées en un point distant e du barycentre (cest le point où la résultante croise la base). La condition déquilibre est donc: Équilibre dun bloc appuyé (4) On peut aussi étudier le problème en termes dexcentricité (e). Lexcentricité est la distance quil y a entre le barycentre de la base et le point où la force verticale croise la base dappui: Trouver lexcentricité est simple: M est le moment de toutes les forces par rapport au barycentre, N est la force verticale. En effet, le bloc peut être considéré, de façon équivalente, comme soumis aux forces effectives, ou à la résultante, verticale et b e N T N T N T M

62 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 62 Équilibre dun bloc appuyé (5) Lautre cause possible de rupture de léquilibre rigide est le glissement. La seule action qui peut équilibrer une force horizontale appliquée au bloc est le frottement qui se produit à la surface de contact. Cest alors la loi de Coulomb qui détermine la condition déquilibre (chapitre 2, page 65): N T Donc, si T dépasse la valeur limite prévue par la loi de Coulomb, valeur qui est proportionnelle à la force verticale N, le bloc commence à glisser.

63 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 63 Équilibre dun bloc appuyé (6) Mais il y a encore quelque chose quil faut contrôler pour léquilibre dun bloc rigide appuyé: cest la distribution des contraintes sur le sol. En fait, si les contraintes de contact entre le bloc et le sol sont trop fortes, il y a rupture mécanique du sol, ce qui provoque une rotation du plan dappui (comme ils le savent bien à Pise…). La distribution des contraintes (pressions) de contact entre le bloc et le sol est celle typique dun cas de section soumise à effort normale, N, et moment fléchissant, M: cest donc une distribution linéaire (voir page 39). Le problème cest que les contraintes de traction ne peuvent pas exister. Alors, pour une surface dappui rectangulaire, on montre facilement que si le point dapplication de la résultante est contenu dans le tiers central de la base, alors la section entière est en compression, mais en cas contraire on a de la traction.

64 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 64 Équilibre dun bloc appuyé (7) Comme la traction ne peut pas exister, la section se partialise: une partie de la section dappui est complètement déchargée. Donc, si a est la profondeur de la base, si e b/6, la section est totalement en compression et ; si e>b/6, la section est partialisée, seulement une partie est en compression, le reste est déchargé; la longueur active x sera x=6e et si e>b/2 léquilibre est impossible, le bloc se met en rotation. Normalement, on souhaite que le section ne soit pas partialisée. En tout cas il faut que ce soit N b/3 N x

65 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 65 Équilibre dun arc en pierre (1) Reconsidérons le cas dune poutre en flexion: p z y l z M(z)M(z) y x + - les charges appliquées provoquent la naissance dun moment fléchissant en tout point de la poutre; le moment fléchissant induit toujours des contraintes de signe opposé sur la section: compression et traction; léquilibre de la poutre est donc possible seulement si le matériau est résistant à la traction, comme pour lacier et le bois. Mais si on ne dispose pas de ces matériaux, comment on peut faire?

66 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 66 Équilibre dun arc en pierre (2) En fait, la maîtrise de la fabrication de lacier est un fait historiquement relativement récent (milieu du XIX ème siècle). Pour ce qui concerne le bois, il nest pas toujours disponible, surtout dans des dimensions appropriées (les troncs des arbres de grande longueur sont rares et chers). En plus, le moment fléchissant est la caractéristique de la sollicitation qui provoque les plus fortes contraintes dans le matériau: il est relativement facile atteindre les limites de la résistance à la rupture pour une poutre en bois. Donc, anciennement il ne restait plus que la pierre et les briques en argile comme matériau de construction. Mais ces deux matériaux ont une résistance à la traction faible, non fiable et en plus à la surface de contact entre deux pierres la résistance à la traction est rigoureusement nulle. Le problème qui sest présenté aux anciens a donc été celui de couvrir des portées importantes (>3 4m) avec la pierre ou les briques.

67 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 67 Équilibre dun arc en pierre (3) Les égyptiens et les grecs navaient pas trouvé la solution à ce problème, ce qui conditionna fortement leur architecture: les temples égyptiens ou grecs ont des colonnes placées à des distances faibles, car les poutres sont en pierre. Ayant une résistance à la traction petite, pour éviter leur rupture il faut un faible moment fléchissant et donc des portées limitées (M augmente avec le carré de la portée!). Ceci névitait pas quelques problèmes! Poutre fissurée par rupture en traction. En figure: Parthénon (V ème siècle av. J. C.) et Temple de Karnak à Louxor (salle hypostyle, 1375 av. J. C.)..

68 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 68 Équilibre dun arc en pierre (4) La solution fut trouvée par les étrusques: cest larc! Larc est un dispositif capable de transformer une flexion en effort normal de compression. La pierre et les briques étant des matériaux bien résistant à la compression, on peut avec larc couvrir des portées plus importantes quavec une poutre en pierre ou même en bois, et surtout on peut supporter des charges beaucoup plus fortes. En plus, cest une solution architecturale plutôt économique: elle peut utiliser des pierres de petite taille, ou des briques, beaucoup plus à bon marché (parce que moins rares et de coût de production moins grand) que les pierres taillées, ou même des troncs darbre, de grandes dimensions (qui en plus ont un coût de transport important). En figure: Porta allArco, Volterra (V ème siècle av. J. C.)

69 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 69 Équilibre dun arc en pierre (5) Mais comment et à quel prix un arc transforme une situation de flexion en une situation de compression? A savoir, quel est son principe de fonctionnement? Considérons un arc circulaire en pierre de taille; il est constitué par plusieurs blocs (claveaux ou voussoirs pour les voûtes) modelés selon la forme de larc et pour simplifier considérons quil ny a pas de frottement entre un bloc et lautre. Alors la force de contact entre deux blocs de larc est une force orthogonale à la surface de contact. Si cette surface de contact est orthogonale à larc, les forces de contact entre les blocs suivent la ligne moyenne de larc. Or, en général, la force de contact difficilement sera appliquée en correspondance de la ligne moyenne, elle aura une certaine excentricité, mais si celle-ci est inférieure à b/6, où b est lépaisseur de larc, la section nest pas partialisée.

70 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 70 Équilibre dun arc en pierre (6) Voyons donc tout ça sur une figure et pour simplifier encore, considérons que les forces extérieures appliquées à chaque bloc se réduisent à une seule force verticale. En commençant du bloc central, la clef de voûte, on décompose la force en deux forces orthogonales aux surfaces de contact du bloc: ce sont les forces que la clef transmet au reste de larc. Ensuite, on passe aux deux blocs à côté de la clef et on trouve la force de contact sur le bloc suivant comme résultante de la force précédente et de la force directement appliquée au bloc. En procédant ainsi, on trouve toutes les forces de contact entre les blocs. Larc constitue donc une espèce de guidage de la force à travers une ligne donnée. Clef de voûte Sommier Voussoir

71 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 71 Or, cette déviation de la force à travers la ligne de larc se fait au prix dune force horizontale, la poussée de larc, qui se retrouve en bas. La présence de cette force se comprends facilement si on ne regard quune moitié de larc: la composante horizontale de la force de contact transmise par la clef de voûte doit être équilibrée en bas de larc par une force égale et contraire. Donc larc est une structure avec poussée horizontale. Cette force horizontale doit être équilibrée à la base de larc par une autre force. Équilibre dun arc en pierre (7) Une façon simple dannuler cette force est celle dutiliser un tirant qui lie les deux extrémités de larc. Mais ce nest pas la seule façon dannuler la poussée…

72 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 72 Équilibre dun arc en pierre (8) En fait, cette poussée séquilibre automatiquement sil y a dautres arcs identiques à côté; dans ce cas, il faut mettre un tirant seulement aux arcs qui se trouvent aux extrémités. Une autre façon est celle dépauler larc par des contreforts, de sorte à ce que la résultante des forces tombe à lintérieur de la base du contrefort.

73 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 73 Équilibre dun arc en pierre (9) La poussée horizontale dépend de la géométrie de larc et des forces appliquées. En particulier, la poussée horizontale diminue avec lhauteur de larc: à parité de portée, les arcs plus hauts poussent moins des arcs bas. Léquilibre de la poussée horizontale est fondamental: un écartement des extrémités de larc dû à la poussée fait inexorablement écrouler larc. En fait, dans ce cas la clef de voûte, qui est lélément qui garantit léquilibre de larc, se déplace et larc se désagrège et seffondre.

74 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 74 Équilibre dun arc en pierre (10) Un problème important est la conception de larc: il faut faire en sorte que les forces de contact entre les blocs passent à lintérieur de la section de contact, ou mieux encore dans le tiers central, pour garantir léquilibre. Beaucoup de méthodes ont été proposées dans le temps par différents auteurs (Coulomb, Bossut, Mascheroni etc.). Une règle grossière, déjà introduite par Leonardo da Vinci cest que la corde des demi arcs extérieurs ne doit pas toucher larc intérieur. Leonardo avait étudié de façon empirique larc, qui avait défini comme: Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze (arc ce nest quune force causée par deux faiblesses). Les deux faiblesses de Leonardo ce sont les deux demi arcs, qui seulement ensemble sont capables de garantir léquilibre et cela par leur mutuelle opposition.

75 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 75 Le béton armé et le béton précontraint (1) A part larc, il y a une autre façon dutiliser en flexion un matériaux non résistant à la traction: cest le béton armé. Le béton est une pierre artificielle, constituée de ciment, eau, sable et gravier. Les avantages du béton sont multiples: il est un matériau à bon marché, de réalisation facile, de bonne limite à la rupture, résistant bien au feu et qui protège lacier contre la corrosion. En plus, le béton est préparé en phase fluide et peut être coulé dans des coffrages auxquels on peut donner les formes les plus variées, ce qui permet des prouesses architecturales impossibles avec les autres matériaux. En figure: Sidney Opera House (1973) et Chiesa di San Giovanni Battista (Firenze, 1964).

76 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 76 Le béton armé et le béton précontraint (2) Le seul problème du béton est que sa résistance à la traction est pratiquement nulle. La solution, inventée en France à la fin du XIX éme siècle, est le béton armé: il sagit dinsérer dans la coulée des barres dacier là où la flexion de la poutre va produire des tractions. Une fois que le béton a fait prise, béton et acier forment un tout unique. Ainsi, le béton prends en charge les contraintes de compression et lacier celles de traction. p M(z)M(z) dans le béton force dans les barres zone en compression barres dacier

77 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 77 Le béton armé et le béton précontraint (3) Une autre idée pour utiliser le béton comme matériau de construction est le béton précontraint. Si le béton ne peut pas supporter les contraintes de traction engendrées par la flexion, on précomprime le béton, de sorte à ce que la superposition de flexion et précompression permette dannuler les tractions sur la section. Cette précompression sobtient en tirant avec des vérins hydrauliques des câbles dacier à haute résistance qui passent dans des tubes noyés dans le béton. Une fois les câbles tirés, ils sont ancrés à la poutre, ce qui permet de transférer au béton la traction de lacier sous forme de compression, par le PAR. p M(z)M(z) = - N N Câbles de précontrainte

78 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 78 Le béton armé et le béton précontraint (4) Lavantage du béton armé précontraint par rapport au béton armé normal est quil permet de couvrir de plus grandes portées (>100 m) et de supporter de plus fortes charges. Il est ainsi utilisé essentiellement dans la construction de ponts, viaducs, couvertures de grande portée (stades, gares, palais du sport, etc.). En figure: Pont de Maracaibo (R. Morandi, 1962).

79 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 79 Chapitre 5 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet En arrière-plan: page du Codice Atlantico de Leonrdo da Vinci avec létude de la stabilité des colonnes.

80 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 80 En librairie… J. E. Gordon: Structures, or why things dont fall down (livre indispensable pour samuser à apprendre la mécanique des structures, plein danecdotes et dhumour anglais; probablement il existe une traduction française). E. Benvenuto: La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Sansoni, 1981 (en italien). S. P. Timoshenko: Résistance des matériaux, vol 1 et E. Benvenuto: Introduction to the history of structural mechanics. Springer, J. E. Gordon: Structures et matériaux : l'explication mécanique des formes. Ed. Belin, 1996.

81 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 5 81 …et sur Internet J. Garrigues: Statique des poutres élastiques. Document à télécharger à ladresse, mrs.fr/poutre.html, 1999.http://jgarrigues.perso.egim- mrs.fr/poutre.html Y. Debard: Résistance des matériaux. Visiter le site P. Bouillard: Mécanique des structures et résistance des matériaux. Visiter le site J. F. Remacle: Mécanique des structures. Visiter le site


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