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Michèle Artigue, LDAR et IREM Paris 7 Enseignement des mathématiques : le défi de la pluridisciplinarité

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Présentation au sujet: "Michèle Artigue, LDAR et IREM Paris 7 Enseignement des mathématiques : le défi de la pluridisciplinarité"— Transcription de la présentation:

1 Michèle Artigue, LDAR et IREM Paris 7 Enseignement des mathématiques : le défi de la pluridisciplinarité

2 Plan Introduction : le contexte français et international Lexpérience de lIREM Paris 7: Une tradition de pluridisciplinarité Le groupe Modélisation Mathématiques et SVT Quelles leçons tirer de cette expérience ?

3 Le contexte français Une volonté institutionnelle en France de promouvoir linterdisciplinarité, manifeste dans de multiples initiatives : Le CNP et la réforme des lycées de 2000 : TPE, travail conjoint des groupes dexperts sur lexponentielle, les projets en lycée professionnel… Des options sciences au nouveau module MPS en seconde. Lenseignement au collège : IDD, thèmes de convergence… Les expériences denseignement intégré des sciences au collège (EIST)

4 Pourquoi la pluridisciplinarité ? Pluridisciplinarité Rapprocher lEcole de la science actuelle Renforcer lattractivité de lenseignement scientifique Faire face aux besoins dune éducation citoyenne

5 Une diversité denjeux Interdisciplinarité Modélisation / Applications Contenus / Compétences Démarches dinvestigation Décloisonner les connaissances

6 Extrait des documents daccompagnement des programmes du lycée (2000) « La modélisation est une pratique scientifique majeure qui concerne un nombre croissant de domaines. […] Modéliser est une des principales modalités de linteraction entre les mathématiques et les autres sciences. Mais la pratique de la modélisation de situations réelles est difficile. […] Au niveau du lycée, on initiera les élèves à la modélisation grâce à létude de certaines situations réelles, quon simplifiera à lextrême et pour lesquelles le modèle grossier ainsi établi devient éclairant ou permet une prévision : la difficulté est alors de garder sens et consistance au problème simplifié. » (Accompagnement pour les classes terminales S et ES, p. 29)

7 Les thèmes de convergence « Les thèmes de convergence [...] font partie des programmes des disciplines dans lesquels leurs contributions sont également recensées. Les thèmes choisis ont été retenus parmi des sujets importants pour la société et proches des préoccupations quotidiennes des élèves. Lintérêt que leur étude, à partir de points de vue complémentaires, peut susciter chez des collégiens a constitué une considération décisive. Pour chaque enseignement disciplinaire, il sagit de contribuer, de façon coordonnée, à lédification dobjets de savoir commun, éléments essentiels dune culture partagée. » (extrait du Rapport Bach)

8 Lenseignement dexploration des nouveaux programmes de seconde « Lenseignement dexploration « méthodes et pratiques scientifiques » permet aux élèves de découvrir différents domaines des mathématiques, des sciences physiques et chimiques, des sciences de la vie et de la Terre et des sciences de lingénieur. Cest aussi loccasion de montrer lapport et la synergie de ces disciplines pour trouver des réponses aux questions scientifiques que soulève une société moderne, den faire percevoir différents grands enjeux, et de donner les moyens de les aborder de façon objective. »

9 Le discours de Pierre Lena à lAcadémie des Sciences Il y propose trois leviers pour lavenir de lécole : Le changement des pratiques pédagogiques et le développement des démarches dinvestigation à limage de la « Main à la Pâte » Des professeurs accompagnés dans leur développement professionnel, au contact de la science vivante et de ses acteurs Décloisonnement et interdisciplinarité: une conception plus globale des savoirs, un décloisonnement des disciplines.

10 Le discours de Pierre Lena « Chaque année, lAcadémie des sciences distingue les lauréats de ses Prix : ces travaux révèlent limmensité des savoirs daujourdhui, leur perpétuel mouvement, leurs interactions croisées et souvent improbables, leur degré dabstraction, leur extrême technicité, leurs surprenantes applications. Notre système déducation, ne sachant évidemment plus embrasser cette immensité de savoirs, traumatisé, peine à prendre un cap où beaucoup est à réinventer. Il se contente daménager des programmes étroitement disciplinaires. Que lon ne voie pas ici une critique dinstitutions ou de personnes, car nombre de pays se heurtent à ces mêmes difficultés. »

11 Le Plan Sciences et lEIST « Afin de décloisonner l'approche des sciences et des technologies au collège pour redonner du sens à l'enseignement et faciliter la liaison CM2-sixième, une expérimentation d'un enseignement intégré de science et technologie (EIST), mise en œuvre par l'Académie des sciences, l'Académie des technologies et le ministère, est conduite depuis 2006 en classe de sixième et de cinquième. […] L'EIST s'inscrit dans le sillage de « La main à la pâte » à l'école élémentaire et offre aux élèves la possibilité de mener à bien une démarche expérimentale et d'investigation […] Le plan sciences et technologies à l'École vise l'extension du dispositif à 400 collèges à terme. »

12 Et au niveau international ? Des convergences évidentes aisément repérables dans la perception des enjeux : au niveau Européen (Rapport Rocard, Financement de projets ) au niveau de lOCDE (PISA et le concept de « littéracie », le cycle de modélisation…) au niveau de lUNESCO (les deux documents récents sur les défis de léducation scientifique et mathématique dans la scolarité de base) Des évolutions curriculaires convergentes

13 Le contexte français : des volontés affichées mais aussi des facteurs peu favorables Une culture éducative qui est fondée sur le cloisonnement disciplinaire voire la compétitions entre disciplines. Des enseignants qui sont, à partir du collège, (hors lycée professionnel) monovalents. Des enseignants qui sont très peu préparés par leur formation initiale à des pratiques pluridisciplinaires et aux démarches de modélisation quelles induisent. Une vision du travail enseignant où les pratiques collaboratives ont encore assez peu de place. Des possibilités de formation continue de plus en plus réduites pour accompagner les dispositifs progressivement introduits. Une avalanche de réformes et une détérioration des conditions de travail qui ne favorisent pas les évolutions souhaitées.

14 Lexpérience des IREM Une expérience indéniable et qui mérite dêtre valorisée

15 Le cas de lIREM Paris 7 Un IREM initialement pluri-disciplinaire : maths- physique, math-technologie, math-biologie, math- français. Une pluri-disciplinarité qui va progressivement sestomper pour renaître à la fin des années 90 avec : le groupe MAG (Maths-Arts plastiques- Géographie) le groupe ZEP qui deviendra le groupe Math-Français le groupe TPE qui deviendra le groupe Modélisation Et avec lémergence aujourdhui dune collaboration avec les informaticiens autour de lalgorithmique

16 Le groupe IREM Modélisation Un groupe pluridisciplinaire : maths – physique – SVT. Un groupe créé en 1999 pour accompagner la mise en place des TPE et qui sest progressivement orienté vers les questions de modélisation et dinteractions entre disciplines. Lanimation de stages PAF puis lopportunité de mener un travail plus approfondi créée par la mise en place du master professionnel didactique en Limportance prise par les interactions entre mathématiques et biologie dans le travail du groupe.

17 Le processus de modélisation Des modèles de référence Le découpage dun segment de « réalité » Un choix de description Une mathématisation de cette description Un travail dans le modèle Une confrontation à la contingence Un problème à résoudre

18 Un travail interdisciplinaire math-physique inspiré par une ressource du projet Européen LEMA

19 Lapport dune démarche pluridisciplinaire La vision initiale des enseignants de mathématiques : La modélisation des jets deau par des paraboles le problème devient alors un problème géométrico- fonctionnel lutilisation de logiciels de géométrie (Geoplan et Geospace) pour simuler les jets deau et visualiser leffet des variations des paramètres lexploitation des propriétés de symétrie de la situation

20 Lapport dune démarche pluridisciplinaire Lapport de lenseignante de physique : La modélisation physique et ses approximations La confrontation au réel via un dispositif expérimental Une autre utilisation de la technologie pour tester le modèle et trouver par ajustement léquation de la parabole Lintroduction dun exemple historique

21 La modélisation physique La modélisation de leau par un liquide parfait incompressible et lutilisation du théorème de Bernouilli. La modélisation du jet en un ensemble de gouttes deau soumises à la seule pesanteur et lutilisation des lois de la mécanique classique.

22 Influence de lintensité de la vitesse initiale (angle constant)

23 Influence de langle à vitesse constante Lexistence dune portée maximale (45°)

24 Le dispositif expérimental

25 Lexploitation du logiciel Dynamic

26 Le test du modèle quadratique

27 Leonardo da Vinci: une étrange affirmation !

28 Le calcul effectif

29 La simulation avec Geospace

30 Des prolongements : parabole de sécurité

31 Des prolongements

32 Interactions maths-SVT Des spécificités certaines

33 Le cas spécifique de la biologie Des concepts dont les mathématiques ne sont pas constitutives, contrairement à la physique. La diversité des sources de modélisation en biologie et linfluence croissante mais relativement récente des modélisations mathématiques. Le rôle déterminant joué par les modélisations aléatoires et la variabilité du vivant comme source dobstacles : Le défi résultant pour faire vivre le rôle créateur des modèles mathématiques en biologie. Mais aussi la possibilité progressivement constatée de faire vivre des interactions riches et motivantes entre maths et biologie avec des outils mathématiques assez élémentaires, en particulier grâce aux outils technologiques disponibles.

34 Deux exemples historiques travaillés dans le master et les stages Lessai sur le principe de population de Malthus Le travail de Daniel Bernoulli sur la variole

35 Bernoulli : les hypothèses de modélisation H1 : « Tant quon a pas eu la petite vérole, on court continuellement le même risque de lavoir. » H2 : « Quant au risque annuel dêtre attaqué par la petite vérole, pour ceux qui ne lont pas eue, jai cru ne pouvoir satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette maladie, quen la supposant dun huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant » H3 : «Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart lont fait dun septième ; je lai un peu diminué, en le faisant dun huitième » H4 : « Le risque de mourir par une autre cause que la petite vérole est le même que lon ait eu la petite vérole ou non »

36 Bernouilli : les justifications H1 : « Nous navons encore aucune observation qui nous oblige à renoncer à cette supposition, et les lois de la Nature les plus simples sont toujours les plus vraisemblables … » H3 : «Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart lont fait dun septième ; je lai un peu diminué, en le faisant dun huitième : deux raisons my ont engagé, …la première est quon apprend exactement tous ceux qui en meurent, et quon ne saurait apprendre si exactement tous ceux qui ont la maladie, la seconde, est que le rapport de 1 sur 7 ferait la mortalité variolique trop grande par rapport à la mortalité entière, pendant que celui de 1 sur 8 est entièrement conforme à lobservation la mieux constatée, qui est que la petite vérole enlève la treizième partie du total des morts … »

37 La mathématisation On introduit les variables suivantes : t : variable qui représente lâge des individus en années. N(t) : le nombre de survivants de cette population à linstant t x(t) : le nombre des personnes susceptibles dattraper la variole à linstant t, cest-à-dire, parmi les survivants, ceux qui nont pas encore eu la variole m(t) : le taux annuel de décès par dautres causes que la variole au sein des deux populations.

38 Le jeu entre discret et continu

39 La résolution du système différentiel Bernoulli introduit la proportion de survivants à linstant t, encore susceptibles davoir la variole en posant : On reconnaît là une équation différentielle logistique

40 La résolution de léquation différentielle logistique

41 Si lon utilise les valeurs de N(t) données dans une table de mortalité, on peut alors en déduire les valeurs de x(t), puis déterminer comment évoluerait la population si personne ne mourait de la variole, par un raisonnement de proportionnalité. Cest ce que fait Bernoulli en sappuyant sur les tables de mortalité dune population de 1300 personnes de la naissance à lâge de 24 ans.

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43 Le raffinement de la modélisation et les conclusions qui en sont tirées La modélisation effectuée ne tient pas compte de lexistence de décès suite à linoculation : 1 sur 600 à Londres en 1755, or cest sur ce nombre de décès dinoculés que se fondaient les opposés à linoculation. Bernoulli raffine donc son modèle en calculant ce qui se passerait si on avait une chance sur 200 de mourir de la variole après avoir été inoculé (linoculation étant supposée avoir lieu la première année). Avec des arguments de nature probabiliste, il conclut ensuite que lespérance de vie passerait de 30 à 34 ans environ si tout le monde était inoculé. Cette étude le conduit prendre parti pour linoculation préventive comme mesure salutaire de prophylaxie collective en dépit du risque individuel que la mesure comporte.

44 Des conclusions source de débats qui ont des résonances actuelles… Un long débat mathématique et philosophique, auquel Jean Le Rond DAlembert ( ) prit une part active, sensuivit, montrant bien combien lintroduction dune approche statistique en médecine est problématique à lépoque : « Je suppose avec monsieur Bernoulli que le risque de mourir de linoculation soit de 1 sur 200. Cela posé, il me semble que pour apprécier lavantage de linoculation, il faut comparer, non la vie moyenne de 34 ans à la vie moyenne de 30, mais le risque de 1 sur 200 auquel on sexpose de mourir en un mois par linoculation … à lavantage éloigné de vivre quatre ans de plus au bout de 60 ans lorsquon sera beaucoup moins en état de jouir de la vie … Voilà, il nen faut point douter, ce qui rend tant de personnes, et surtout tant de mères, peu favorables parmi nous à linoculation. » (Opuscules, tome II)

45 Les thèmes abordés dans les projets La propagation de maladies contagieuses dans une population humaine. La dynamique des pools de gènes dans une population animale ou humaine au fil des générations. Lanalyse de séquences ADN dont la fonction nest pas connue. La représentation de lADN par la CGR. La modélisation des formes (toiles daraignée, empreintes digitales). La dynamique des tumeurs cancéreuses et leur traitement (réalisation inspirée des stages Hippocampe mis en place à lIREM dAix-Marseille).

46 La propagation de maladies contagieuses Un des premiers thèmes abordés ((lèpre, rougeole, SIDA) qui permet dentrer en contact avec diverses questions : choix entre modèles déterministes et aléatoires, raffinement progressif des modèles (du modèle « S.I. » de Hamer au modèle « S.I.R. » de Kermack et MacKendrick, la prise en compte deffets de vaccination), recherche et exploitation de données réelles, critique de documents. Et ce, avec des besoins mathématiques raisonnables (équations et systèmes différentiels simples et suites) et des besoins biologiques très réduits. Un thème qui permet de combiner le travail sur des exemples historiques (variole, peste) et sur des questions actuelles.

47 La dynamique des pools de gènes dans une population La nécessité de passer par un modèle aléatoire (urne des gamètes). La mise en évidence dun phénomène intéressant de stabilité intergénérationnelle (Loi de Hardy-Weinberg) et lexplicitation des hypothèses sous-jacentes : taille de la population, absence de mutation, de migration, de sélection, de croisements entre générations. La remise en cause de certaines hypothèses : étude des effets, rectification des modèles : simulations pour le cas de petites populations (dérive génique et modèle de Wright), étude du cas dune maladie génétique récessive : la mucoviscidose, étude dune maladie spécifique locale (ataxie spastique).. La possibilité de réaliser des transpositions didactiques au niveau lycée, et même collège exploitant des modélisations probabilistes simples.

48 Lanalyse de séquences ADN dont la fonction nest pas connue Un thème plus exigeant sur le plan biologique et mathématique, avec un premier niveau de modélisation : celle de lADN par un texte sur lalphabet A, C, G, T, puis une seconde modélisation via des chaînes de Markov. Mais un thème qui permet denvisager lexploitation du travail de modélisation sous langle de lécart à un modèle, avec le problème de la détection de sections codantes du texte : par la recherche de fragments qui sécartent dune répartition aléatoire sur la base des fréquences des lettres, par la recherche de mots « connus ». La familiarisation avec ces questions via une transposition sur la succession consonnes-voyelles dans un texte, lexploration de modèles markoviens simples et létude de leffet de permutations du texte. Lexploitation sur des données réelles avec la définition de macro Excel appropriées et la transposition au niveau lycée.

49 ADN et CGR Plus quune modélisation, une représentation GAGCACAGTGGAAGGG …

50 Les représentations CGR de lADN de quatre espèces

51 ADN et CGR Une appropriation et une exploitation multiforme de cette représentation via lutilisation doutils mathématiques élémentaires mais très divers : 1- Récurrence, homothéties : combinatoire élémentaire, suite de points du plan définis par récurrence barycentrique, intervention des homothéties, exploitation combinatoire de la récurrence vectorielle, utilisation dun tableur pour représenter et conjecturer, interprétation et comparaison de séquences « vraies » et de séquences produites par un automate probabiliste ; 2- Calcul barycentrique : calcul des poids des points de la CGR comme barycentres des sommets du carré, exploitation combinatoire en relation avec laspect des dessins ; 3- Un peu darithmétique : écriture des poids en base 2 ; 4- Programmation dun tableur pour dessiner des CGR, application aux séquences dADN des patients atteints de la chorée de Huntington, cas décole de la biologie. Liens entre propriétés statistiques simples dune séquence et sa CGR.

52 En conclusion : quelques leçons de ces expériences Les réelles potentialités offertes par des travaux interdisciplinaires dès lenseignement secondaire mais aussi la distance des cultures disciplinaires et le temps nécessaire à lopérationnalisation. Limportance du choix des questions qui doit faire sens pour les deux disciplines et la vigilance à avoir vis-à-vis de notre tendance à nous évader dans des jeux purement mathématiques. La confrontation salutaire à lignorance et à la difficulté que nous ressentons comme nos élèves à faire fonctionner des concepts et techniques que nous pensons bien maîtriser hors des sentiers battus. L importance du travail collaboratif et lenrichissement que lon retire des échanges avec dautres disciplines La compréhension des limites des erzats de modélisation scolaires mais aussi une vision réaliste des limites de ce qui peut être fait dans le cadre de séances de classe ordinaires, et limportance donc darriver à profiter des dispositifs institutionnels secondaires existants pour faire vivre modélisation et interdisciplinarité.

53 Linterdisciplinarité : un réel défi pour les enseignants de mathématiques mais un défi qui mérite dêtre relevé !


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