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David Rolland, formateur en Mathématiques. Plan du cours - Quelques représentations - La naissance de lidée de fraction - Les nombres rationnels - Les.

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1 David Rolland, formateur en Mathématiques

2 Plan du cours - Quelques représentations - La naissance de lidée de fraction - Les nombres rationnels - Les nombres décimaux - Les nombres réels - Repères didactiques

3 Introduction : quelques représentations 2,5 est un décimal 5/2 est une fraction 3 nest pas décimal, cest un entier Un décimal, cest un nombre avec une virgule Une fraction cest deux nombres avec un trait entre les deux Pi est un nombre infini La partie décimale de 2,364 est 364

4 I/ La naissance de lidée de fraction Lidée de fraction naît de la nécessité de fractionner des entités en « parts égales ». A lorigine les fractions sont des nombres « rompus ». Les Babyloniens et les Egyptiens ont dabord utilisés des fractions de numérateur 1, cest-à-dire les quantièmes : 1/2, 1/3, 1/4 … Lidée est dadmettre quil est possible de partager lunité. Ces nombres naissent bien sûr dune nécessité pratique : partage de terrains, de troupeaux…

5 1/ Les fractions chez les Egyptiens. Les égyptiens préféraient des fractions d'unités, c'est à dire à numérateur un. Ils indiquaient une telle fraction par son dénominateur muni d'une marque spéciale. Il y avait des signes spéciaux pour un demi, un tiers, et deux tiers. Des fractions générales sont représentées par des combinaisons additives de fractions d'unité. Par exemple, on représentait 2/7 = ( 1/4 + 1/28 ) par : Le symbole de gauche signifie 1/4 et celui de droite 1/28

6 Les Egyptiens font apparaître des fractions comme 2/3, 3/4, cest-à-dire des fractions inférieurs à 1. Le dénominateur indique en combien de parts on a partagé lunité (il dénomme), le numérateur indique le nombre de fois que lon prend cette fraction de lunité (il nombre). La signification de ces fractions correspond en utilisant notre écriture moderne à : a/b = a x 1/b. Par exemple, deux tiers cest deux fois un tiers. 2/3 = 2 x 1/3.

7 Un étrange objet baptisée Coudée Dans la salle 6 dEgyptologie du musée du Louvre un étrange objet, baptisée "Coudée". Sa longueur correspond effectivement à la coudée égyptienne : 52 cm et quelques. Il appartenait au Ministre des finances de Toutankhamon

8 Voici, développé, lensemble des inscriptions portées par cette règle : Elle est dabord divisée en "pouces égyptiens". Mais, à droite on voit se dessiner détranges graduations irrégulières. Regardez au dessus de ces graduations. Le signe en forme de lentille signifie "fraction". De droite à gauche, ces pouces égyptiens sont divisés en demis, tiers, quarts, jusquà une division en seizièmes. Les égyptiens devait utiliser cette étrange "règle à calcul" pour effectuer des divisions.

9 2/ Lécriture moderne : Dès le début du XVIIe siècle se répand la notation moderne avec le point décimal et la virgule. Cartes destinées à l'enseignement. On retrouve la décimalisation des nombres.

10 II/ Lensemble des nombres rationnels Léquivalence des rapports entre certains couples dentiers est au fondement de la création des nombres rationnels. On accepte ces rapports comme des nouveaux nombres. Par exemple, 1/3 et 2/6 sont deux fractions qui expriment le même nombre rationnel.

11 Définition 1 : Deux couples dentiers (a, b) et (c, d) (b et d étant non nuls) définissent le même nombre rationnel si : a x d = b x c. Alors a/b et c/d sont deux fractions représentant le même nombre rationnel. Un nombre rationnel est donc défini à partir dune infinité de couples équivalents, cest-à-dire de fractions équivalentes.

12 Lensemble infini de fractions équivalentes {2/3 ; 4/6 ; 6/9 ; 8/12 ; …. ; 14/21 ; … ; 2n/3n ; …} représente un même nombre rationnel. On a bien : (2 ; 3) ~ (4 ; 6) car 2 x 6 = 3 x 4. Ou encore : (6 ; 9) ~ (14 ; 21) car 6 x 21 = 9 x 14.

13 Propriétés: Quels que soient lentier a et lentier b non nuls, léquation a=bx a donc une solution dans lensemble des nombres rationnels. x est la quotient rationnel de a par b. On note : x=a/b. + des nombres rationnels positifs. - lensemble des quotients dentiers naturels a/b avec b non nul détermine lensemble Q + des nombres rationnels positifs. - Lensemble des nombres rationnels (positifs et négatifs). - Lensemble des quotients dentiers relatifs a/b avec b non nul détermine lensemble Q des nombres rationnels (positifs et négatifs).

14 Autres propriétés: - si b 0 et c 0, on a : et Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas quand on multiplie ces deux nombres par un même nombre relatif différent de zéro - Tout nombre rationnel a un opposé dans Q. - Tout nombre rationnel k non nul a un inverse dans Q noté k -1. On a : k x k -1 = 1. Linverse de a/b est b/a et on a : a/b x b/a = 1

15 Propriétés (addition et soustraction dans Q) : - Les dénominateurs sont les mêmes : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de même dénominateur, on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le même dénominateur. si k0, on a donc : -Les dénominateurs sont différents : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres relatifs en écriture fractionnaire de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur. Si b et d sont tous deux non nuls,

16 Propriétés (multiplication et division dans Q) : - Multiplication: Pour multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Avec b 0 et d 0, on a : - Division: Pour diviser par (avec c0 et d0) on multiplie par son inverse On a donc : avec b 0 et d 0

17 Propriété : Lensemble Q des rationnels est dit « clos » pour laddition, la multiplication et leurs opérations réciproques. En effet, la somme, la différence, le produit et le quotient de deux rationnels sont des rationnels (avec la restriction dun rationnel non nul pour le quotient).

18 Si a et b sont deux rationnels, on a : a b ou b a. Entre deux rationnels, on peut toujours placer un rationnel. Par exemple : entre 17/31 et 18/31, on peut placer …. 35/62. Q est un ensemble totalement ordonné. En effet : 17/31 = 34/62 et 18/31 = 36/62

19 En fait de proche en proche, on peut toujours placer une infinité de rationnels entre deux rationnels. Lensemble des rationnels permet de densifier la droite numérique puisque, entre deux points repérés par deux rationnels, on peut en repérer une infinité dautres. On dit que lensemble Q est dense dans lensemble des réels. Malgré cette densification, certains points ne peuvent être repérés par un nombre rationnel. Les rationnels laissent encore des « trous » dans la droite. La création de nouveaux nombres devient nécessaire pour résoudre ce problème : les nombres réels qui comprennent les nombres irrationnels.

20 III/ Les nombres décimaux. La création des nombres décimaux répond au problème suivant : Comment sapprocher le plus près que lon veut de tout nombre rationnel par des fractions décimales, tout en étendant le système décimal décriture à la partie fractionnaire inférieure à 1 ?

21 - Lécriture décimale des nombres a été élaborée définitivement au XV e siècle par le mathématicien persan Al-Kashi. - En Europe, lutilisation des décimaux est popularisée par Simon Stévin au XVI e siècle grâce à son ouvrage La Disme (1585). - En France, la popularisation de lécriture à virgule des décimaux est intimement liée au développement du système métrique à la fin du XVIII e siècle.

22 Définition : Un nombre décimal est un nombre possédant un développement décimal limité et pouvant s'écrire sous la forme a x 10 p (où a et p sont des entiers relatifs).nombre développement décimal Ce n'est pas le cas, par exemple, du nombre Pi qui possède cependant autant d'approximations décimales que l'on veut : Lensemble des nombres décimaux est noté ID.

23 Caractérisation : Si a est un nombre rationnel, les propriétés suivantes sont équivalentes et caractérisent le fait que le nombre a est décimal a admet un développement décimal limité. Il existe un entier m et un naturel n tels que : La fraction irréductible de a est de la forme, où b est un entier relatif et m et p des entiers naturels. a possède deux développements décimaux distincts.

24 Exemples et remarques : La première assertion prouve que 1,6666 est un nombre décimal et que 1, (qui s'écrirait avec une infinité de 6) n'en est pas un. La deuxième assertion nous dit que est un nombre décimal, mais elle ne peut pas être utilisée pour prouver qu'un nombre n'est pas décimal.

25 La troisième assertion nous donne une méthode pour reconnaître si un nombre rationnel est décimal : il suffit de déterminer sa fraction irréductible. Par exemple en calculant le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, il suffit de tester si le dénominateur est uniquement divisible par 2 et 5. La quatrième assertion fait souvent figure de « curiosité ». Le nombre 2,5 peut aussi être écrit 2, (avec une infinité de 9).

26 Exercice sans calculatrice: 337/400 est-il décimal ? 8/17 ? 1096/152 ? Oui, car 400 = 2 4 x 5 4. Non, car 8/17 est irréductible et le dénominateur 17 est premier autre que 2 et 5. Non, car 1096/152 = 137/19 fraction irréductible avec 19 nombre premier autre que 2 et 5

27 Ecriture des décimaux : Ecritures fractionnaires décimales des décimaux : partie entière et partie décimale : 1735/1000 = /1000 = / / / est la partie entière et 735/1000 est la partie fractionnaire décimale du nombre décimal 1735/1000. Par abus de langage, la partie fractionnaire décimale est appelée « partie décimale du nombre décimal ».

28 Ecriture à virgule : Lécriture à virgule étend le principe de la numération décimale pour exprimer la partie fractionnaire décimale des décimaux. 1735/1000 sécrit 1,735. La partie entière est 1 et la partie décimale est 0,735.

29 Ecriture à virgule de certains décimaux écrits sous forme fractionnaire : Les nombres rationnels dont la fraction irréductible a un dénominateur de la forme 2 n x 5 p sont des décimaux. Ces rationnels sexpriment donc également sous forme dune écriture à virgule. 1/2 = 5/10 = 0,5 ; 1/4 = 25/100 = 0,25 ; 1/5 = 2/10 = 0,2 ; 1/10 = 0,1 ; 1/16 = 625/ = 0,0625 ; etc.

30 ATTENTION ! La forme de lécriture dun nombre ne détermine pas la nature du nombre. 13 est un nombre entier naturel, mais également un nombre rationnel et un nombre décimal. 1,3 est lécriture à virgule dun nombre décimal, mais ce nombre est également un nombre rationnel. Il sécrit 13/10 sous forme fractionnaire. 1/4 est lécriture fractionnaire dun nombre décimal (cest 0,25).

31 Quelques propriétés : - ID est un ensemble totalement ordonné. Quels que soient les décimaux a et b, on a soit a b, soit a b. Entre deux décimaux, on peut toujours intercaler un autre décimal. On peut donc intercaler une infinité de nombres décimaux entre deux décimaux. On dit que lensemble ID est dense dans lensemble des nombres réels. - La somme et la différence de deux décimaux est un décimal. - Le produit de deux décimaux est un décimal. - Le quotient de 2 rationnels a et b (b0) est un rationnel, mais le quotient de deux décimaux nest pas toujours un décimal (par exemple : 1/3).

32 Valeurs approchées par défaut et par excès, valeurs arrondies dun décimal. Soit le décimal a = 7, ,4 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à près) par défaut de a. 7,5 est la valeur approchée à 0,1 près (ou à près) par excès de a. 7,4 < a < 7,5 est un encadrement du décimal a à 0,1 près (ou à près). La différence entre les bornes est 0,1. 7,5 est la valeur arrondie à près de a. Tronquer un nombre, cest enlever un certain nombre de chiffres significatifs. 7,45 est la troncature de a au centième.

33 IV/ Les nombres réels. Les rationnels ne permettent pas de modéliser toutes les mesures des grandeurs. Il a fallu inventé dautres nombres que les rationnels, les irrationnels, pour rendre modéliser la continuité des nombres. Lensemble des nombres réels, noté IR, inclut les nombres rationnels et les nombres irrationnels. A chaque point dune droite, sur laquelle on a fixé une origine, il est possible dassocié un nombre réel. Les nombres réels remplissent donc la droite réelle : ils ne laissent aucun trou. Les naturels, les entiers relatifs, les décimaux et les rationnels sont des nombres réels. On a donc les inclusions, suivantes :

34 IN Z ID Q IR

35 Ecritures décimales illimitées des nombres réels. Lécriture à virgule dun décimal est limitée : il y a un nombre limité de chiffres significatifs après la virgule. Les rationnels qui sont des décimaux ont donc une écriture décimale limitée. Par exemple : 1/4 = 0,25. Le rationnel 1/3 nest pas un décimal. On obtient : 1/3 = 0,33333… 0,33 est une valeur approchée à près par défaut de 1/3. 0,33333… est lécriture décimale illimitée du rationnel 1/3. Cette écriture possède une période dun chiffre, cest-à- dire qui se répète indéfiniment.

36 Les opérations dans IR : Laddition dans IR est commutative et associative. 0 est élément neutre de laddition. Chaque nombre réel x a un opposé x dans IR : x + (x) = 0. x = opp(x) = - x Dautre part, soustraire un réel, cest lui ajouter son opposé. Si a et b sont deux réels, a-b = a+opp(b). a-b est la différence des deux réels.

37 La multiplication dans IR est commutative et associative. 1 est élément neutre de la multiplication. Tout nombre réel non nul x a un inverse x dans IR : x. (x) = 1. x = inv(x) = 1/x Dautre part, la multiplication est distributive par rapport à laddition dans IR. Quels que soient les réels a, b et c on a : ( a + b) x c = ac + bc. La relation est une relation dordre total dans IR.

38 V. DIDACTIQUE : 1/ L enseignement des nombres rationnels et décimaux à lécole primaire : Dans les programmes Problèmes et procédures Langage Cycle 2 Seuls les nombres entiers sont enseignés. Mais les élèves sont confrontés à la nécessité dutiliser plusieurs unités pour exprimer une mesure : 4 15, 2m 25cm Cycle 3 Fractions et nombres décimaux - Comparaison, encadrement, intercalation sur les décimaux. - Valeur approchée dun décimal. - Décomposition avec 1000; 100; 10 ; 0,1; 0,01… -Pour exprimer une mesure à laide dune seule unité ou le résultat dun partage; - Pour repérer des points sur une droite. - Pour approcher certains quotients dentiers. -Écritures fractionnaires et écritures décimales. -Lecture courante et lecture « signifiante ».

39 Au cycle 2, les élèves élaborent certaines connaissances issues de pratiques sociales sur : - les fractions simples : à travers des expressions comme « un demi », « un quart » - des expressions composées qui font intervenir plusieurs unités : 3h25min, 3m25cm…)et des expressions à virgules (comme 325). Toutefois, les nombres décimaux nont pas été introduits.

40 Au cycle 3 (plus particulièrement au CM): - les fractions apparaissent comme des nouveaux nombres, utiles pour traiter des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre. - Lélève doit être capable de désigner un nombre décimal par différentes écritures (à virgule ou fractionnaire). - Il acquiert progressivement une maîtrise de lordre sur les décimaux., développe une pratique de calcul exact ou approché et aborde des problèmes relevant de laddition et de la soustraction de deux décimaux, de la multiplication dun décimal par un entier. - Lenseignement sur les décimaux et les rationnels se poursuit au collège.

41 2/ Les principaux problèmes envisageables à lécole. a/ Les fractions et les décimaux pour exprimer une mesure. A lécole primaire, le plus souvent, les fractions et les écritures additives dentiers et de fractions sont introduites comme des outils pour communiquer des mesures (longueur, aire…) à partir dune unité dans des cas où cette mesure ne sexprime pas par un nombre entier dunités.

42 Exemple : première situation à laquelle sont confrontés les élèves.

43 b/ Les fractions et les décimaux pour repérer des points situés sur une droite. Exemple : CM2

44 c/ Les nombres décimaux et le système métrique. Un travail en relation avec le système dunités de mesure permet dutiliser les décimaux dans de nouveaux contextes en exprimant avec ces nombres des mesures formulées auparavant sous la forme dexpressions complexes faisant intervenir plusieurs unités comme 4m 7cm, qui sera désormais codé avec la seule unité mètre 4,07 m. D/ Fractions, décimaux et quotients dentiers. Au cycle 3, la fraction 4/3 est liée au fait quon a reporté 4 fois le tiers de lunité. Pour les élèves : 4/3 cest donc 4 x 1/3.

45 Lenseignant de 6 ème a donc à établir que « quatre fois 1/3 » est égal au « tiers de 4 ». Comment ? En proposant le problème suivant : « Trouver le nombre manquant pour que cette égalité soit vraie : 3 x … = 4 ». Ils penseront à diviser 4 par 3 et 4/3 est donc pensé comme le « tiers de 4 ».

46 3/ Erreurs d élèves. 2,4 + 3,6 = 5,10 2,6 x 4 = 8, 24 Entre 1,5 et 1,6 il ny a pas de nombres 1,5 < 1,16 Le chiffre des centièmes de 2,145 est 1 1,9 = 1/9 = un neuvième 2,9 x 10 = 20,9 2,9 x 100 = 20,90

47 Taux de réussite - EVA6eme06 80% - 77 % - 77%

48 Taux de réussite - EVA6eme06 50%

49 Taux de réussite - EVA6eme06 34% - 20% - 22%

50 Taux de réussite - EVA6eme06 90% - 30%

51 Bibliographie : - Les mathématiques au concours de professeur des écoles, Alain Descaves, Hachette Mathématiques Tome 2, Roland Charnay & Michel Mante, HATIER CONCOURS Quelques extraits du cours de préparation au CRPE (session ) de Michel Bourguet, ancien formateur de mathématiques de lIUFM de Polynésie française. - CD « Microsoft Encarta » 2006

52 FIN David Rolland, IUFM de la Polynésie française Cours sur les nombres non entiers


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