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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Zénon Les paradoxes.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Zénon Les paradoxes

2 Le philosophe grec Zénon est né à Élée, une ville du sud de lItalie, entre ~495 et ~480. Tout comme son maître Parménide, il fut probablement pythagoricien avant que, sous la direction de Parménide, ne soit fondée lÉcole dÉlée, dont les membres sont appelés les Éléates. Zénon a énoncé plusieurs paradoxes dont quatre portent sur le problème de la relation entre le discret et le continu. Notes biographiques Ces paradoxes nous sont connus par les écrits dAristote, qui cite Zénon pour en faire la critique mais également pour étoffer ses propos sur linfini. Cependant, le libellé exact des paradoxes, tel que Zénon les avait formulés, ne nous est pas vraiment connu. Dans cet présentation, nous verrons ces paradoxes et tenterons de saisir leur influence sur le développement des mathématiques grecques.

3 Élée, Italie du sud -

4 Pour bien comprendre le contexte dans lequel ces paradoxes ont été construits, il nous faut préalablement décrire les conceptions du temps et de lespace dans les enseignements des deux principales écoles de lépoque. Matière, temps et espace Pour Pythagore et ses disciples, le temps et lespace sont constitués de parties indivisibles. Ainsi, un segment de droite est un ensemble de points. Cette représentation ne se limitait pas aux segments de droite. Les surfaces et les volumes sont également constitués de parties indivisibles. En se fondant sur cette représentation, ils considéraient que toutes les grandeurs de même nature sont commensurables. Enseignements de Pythagore

5 On peut donc, entre les longueurs, entre les aires et entre les volumes, déterminer des rapports qui sexpriment par des quotients de nombres entiers. De plus, lorsquil existe un rapport simple entre le volume de deux solides, par exemple, il doit également exister un rapport entre les longueurs et les aires des faces de ces solides. Matière, temps et espace Pour Anaxagore et ses disciples, lunivers est continu et le continu ne peut être constitué de petits éléments séparés les uns des autres. Le concept de parties indivisibles était pour eux analogue à une poignée de sable, sans lien et sans consistance, sans continuité. Cette représentation nétait pas compatible avec la perception quils avaient du temps et de lespace. Enseignements dAnaxagore

6 Ils professaient la divisibilité infinie de la matière, de lespace et du temps. Pour eux, lunivers est continu et le continu ne peut être constitué de petits éléments séparés les uns des autres. Matière, temps et espace Les paradoxes de Zénon portent sur ces deux représentations du temps et de lespace. Zénon cherche à montrer, à laide de quatre paradoxes : la dichotomie, Achille et la tortue, la flèche, le stade, quaucune de ces conceptions de lunivers nest conforme à la réalité. Paradoxes de Zénon

7 Le paradoxe de la dichotomie est formulé de la façon suivante : La dichotomie Si un segment de droite est infiniment divisible, alors le mouvement est impossible, car pour parcourir ce segment, il faut dabord en atteindre le point milieu. Mais, avant den atteindre le point milieu, il faut dabord parcourir le quart de la distance. Avant de parcourir le quart de la distance, il faut en parcourir le huitième et ainsi de suite à linfini. Il sensuit que le mouvement ne peut jamais commencer. En dautres mots, si on accepte lhypothèse de la divisibilité infinie, une longueur finie contient un nombre infini de points. Pour que le mouvement soit possible, cest-à-dire pour aller dun point à un autre, il faudrait parcourir un nombre infini de points en un temps fini. Le mouvement est donc impossible.

8 Ce souci dAristote de montrer linconsistance du paradoxe sest perpétué. Plusieurs formulations du paradoxe ont été données pour en faire la critique en utilisant des notions mathématiques plus modernes. Cest le cas de la formulation suivante : Réfutation dAristote Pour Aristote, qui cite ce paradoxe dans sa Physique, une chose peut être infinie selon la divisibilité ou selon létendue. Il explique que dans un temps fini, il est possible de venir en contact avec une chose infiniment divisible car le temps est alors infiniment divisible lui aussi. Dans un temps fini, il est donc possible de parcourir une distance finie.

9 Achille et le javelot Achille lance un javelot vers une cible. Pour atteindre la cible, le javelot doit dabord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de la distance restante, et encore la moitié de la distance restante, ainsi de suite. Puisque la longueur est infiniment divisible, il reste toujours une moitié de distance à parcourir et le javelot natteint jamais la cible. Le mouvement est donc impossible.

10 Le javelot dans le talon Le paradoxe découle du fait que lon considère implicitement que la longueur est infiniment divisible et le temps ne lest pas. Pour parcourir chacune des divisions de la longueur, il faut alors une unité indivisible de temps. Dans sa réfutation, Aristote dit que si on considère que létendue est infiniment divisible, alors le temps lest également. Il est alors possible de parcourir une distance finie en un temps fini.

11 Lutilisation inconsidérée de la divisibilité infinie du temps ou de lespace peut engendrer différents paradoxes. Au lieu de considérer la divisibilité dune distance comme le fit Zénon, considérons plutôt la divisibilité du temps pour engendrer un paradoxe. Divisibilité du temps On dispose dune heure pour nommer les nombres naturels en procédant comme suit : durant la première moitié de lheure, on nomme le premier nombre naturel. Durant le quart dheure suivant, on nomme le deuxième. On poursuit lénumération en divisant chaque fois par 2 lintervalle de temps restant. Puisquil reste toujours un intervalle de temps, on peut nommer tous les nombres naturels en une heure.

12 Que peut-on conclure? Peut-on prétendre quil y a un nombre infini de nombres naturels parce quil y a un nombre infini dintervalles de temps et quà chaque intervalle de temps, on associe un nombre naturel? Peut-on prétendre quil y a un nombre fini de nombres naturels puisquil suffit dun temps fini pour les énumérer? On est en plein paradoxe. Ô temps suspend ton vol, Si on y regarde de plus près, on constate que lintervalle de temps, en minutes, dont on dispose pour nommer le nombre 100 est : 60/2 100 = 4, x 10 –29 minute

13 On peut prétendre quen suivant la procédure décrite, on disposera toujours dun intervalle de temps pour nommer un autre nombre naturel. Cependant, pour pouvoir nommer en une heure tous les nombres naturels de cette façon, il faudra assez tôt que lélocution soit plus rapide que la lumière, il faudra rapidement parler à une vitesse infinie. et vous, heures propices... Dans le paradoxe de la dichotomie, Zénon exploite le fait quintuitivement la somme dun nombre infini de termes devrait donner linfini. En réalité, cela dépend des termes que lon additionne.

14 Une somme infinie? Dans la figure ci-contre, on divise le carré en 4 et on colore en vert ceux de la diagonale principale. En procédant de même pour les carrés encore jaunes, on a un processus itératif dont la somme nest certainement pas infinie puisquon ne colorera jamais plus que la surface du carré. On peut cependant prétendre quil restera toujours une partie à colorer, si minime soit-elle. On divise alors les carrés jaunes en 4 et on colore à nouveau. La conviction intuitive que la somme dun nombre infini de termes donne linfini repose sur les situations les plus usuelles que lon rencontre avec les nombres, mais ce nest pas toujours le cas.

15 Une somme convergente Si le côté du carré est égal à 1. Laire en vert est : En poursuivant, on aura : Après n étapes, on a : Cette écriture indique que la surface en vert sera de plus en plus proche de la surface du carré, détape en étape. Il y a convergence, la somme infinie donne un nombre fini. Dans lexpression dune limite, le signe « = », a un sens plus large que dans une équation. La partie gauche décrit une somme infinie, jamais complétée, et la partie droite indique ce que serait cette somme si on pouvait compléter le processus.

16 Le deuxième paradoxe sur la divisibilité infinie est connu comme le paradoxe dAchille et la tortue. Il sénonce ainsi : Achille et la tortue Achille fait une course avec une tortue à qui on a donné une longueur davance, lorsquAchille atteint le point de départ de la tortue, celle-ci a, pendant ce temps, parcouru une distance. Pendant quAchille va parcourir la distance qui le sépare encore de la tortue, celle-ci séloigne à nouveau et elle est encore à une certaine distance dAchille. Achille aura toujours une distance à parcourir pour rejoindre la tortue, le mouvement est donc impossible.

17 Analyse du paradoxe Tout en considérant que le temps est infiniment divisible, Zénon décrit la situation en faisant comme si chaque intervalle avait même durée. Si on représente la situation en utilisant un système daxes, il reste toujours une distance entre Achille (violet) et la tortue (bleu). Les courbes obtenues sont asymptotiques. En représentant les intervalles de temps par des longueurs qui sont proportionnelles à la durée, on obtient une toute autre représen- tation.

18 Il existe une autre formulation qui permet de critiquer ce paradoxe en ayant recours à des représentations modernes. Cest la suivante : Achille et le 100 mètres Achille fait la course avec une tortue qui a 100 m davance sur lui. Achille court 10 fois plus vite que la tortue. LorsquAchille a parcouru 100 m, la tortue en a parcouru 10. Pendant quAchille parcourt cette nouvelle distance, la tortue parcoure 1 m. À chaque fois quAchille franchit une distance, la tortue séloigne et il reste toujours une distance séparant Achille de la tortue.

19 Distances et vitesses On peut décrire les distances parcourues par des modèles affines, ce qui, en notant v la vitesse de la tortue, donne : d T = vt et d A = 10vt, où t est le temps, d T la distance parcourue par la tortue et d A la distance parcourue par Achille. Ces distances sont égales lorsque 10vt = vt + 100, ce qui donne t =100/9v. Connaissant la vitesse de la tortue, on peut donc calculer le temps nécessaire pour quAchille la rattrape. Il suffit alors de quelques notions de géométrie analytique pour faire la critique du paradoxe. On peut même calculer le temps nécessaire pour quAchille rejoigne la tortue lorsque la vitesse de celle-ci est connue.

20 Distances et vitesses Ces deux premiers paradoxes font appel à deux convictions intuitives erronées. La première est que la somme dun nombre infini de quantités positives est infinie, même si chaque quantité est extrêmement petite. En écriture moderne, Zénon considère que : Pour lui, toutes les sommes de cette forme sont divergentes, ce qui est faux. La deuxième conviction erronée est que la somme infinie de segments de longueur nulle est égale à zéro. En écriture moderne, il considère que : x 0 = 0, ce qui est également faux.

21 Les deux paradoxes suivants sont formulés en prenant comme hypothèse que le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles, conformément aux enseignements des pytha- goriciens. La flèche Si le temps est fait dinstants indivisibles, alors une flèche en mouvement est toujours arrêtée, car à tout instant la flèche est en une position donnée et occupe un espace égal à elle-même. Puisque cela est vrai en tout instant, il sensuit que la flèche ne se déplace jamais parce quun corps qui occupe toujours le même espace ne se déplace pas.

22 Dans la formulation de ce paradoxe, Zénon se sert du fait que la perception que lon a du mouvement de la flèche nest pas saccadé mais continu. Ce qui, selon lui, ne peut être le cas si le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles. Il serait très étonné de voir quau cinéma il nest nul besoin dune infinité dimages pour créer lillusion du mouvement. La flèche

23 Le quatrième paradoxe est un peu plus complexe à décrire que les trois premiers. Le stade Supposons que le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles. Considérons trois corps A, B et C constitués du même nombre de particules indivisibles. Considérons de plus que A est stationnaire, alors que B se déplace vers la gauche et que C se déplace vers la droite. Puisque le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles, la plus petite vitesse de déplacement est dune unité despace par unité de temps.

24 Le stade Après une unité de temps, les corps seront alors dans la position suivante. On constate que lélément indivisible B 1 se sera déplacé de deux unités de C. Par conséquent, linstant considéré ne peut être la plus petite unité de temps. En effet, on peut alors considérer une plus petite unité, soit le temps pour que lélément indivisible B 1 se déplace de deux unités de C. Si le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles, le mouvement est donc impossible.

25 Le paradoxe est fondé sur la relativité de la vitesse dun objet au point dobservation. La vitesse relative de C par rapport à B est différente de la vitesse relative de C par rapport à A. Le stade Cependant, en considérant que le temps et lespace sont constitués dinfimes parties indivisibles, il faut admettre que ces deux vitesses sont égales pour les parties indivisibles. Le mouvement est donc impossible, à moins de rejeter lhypothèse qui entraîne cette contradiction. Or, la seule hypothèse considérée est la supposition que le temps et lespace sont constitués déléments indivisibles.

26 Pour réfuter les arguments de Zénon, Aristote cherche dabord à expliquer que le continu ne peut être une somme dindivisibles, cest-à-dire quune ligne ne peut être formée de points et quun intervalle de temps ne peut être constitué dinstants. Indivisibilité et non continuité Il base son raisonnement sur le fait quun point, comme un instant, na pas dextrémités car une extrémité nest pas de même nature que ce dont elle est lextrémité. Ainsi, un point est lextrémité dune ligne. Il est donc de nature différente de la ligne. Linstant est lextrémité dun intervalle de temps et il en diffère pour la même raison.

27 Il appelle continu « ce qui est divisible en parties toujours divisibles ». La ligne est infiniment divisible et lintervalle de temps est infiniment divisible. Ce sont donc des continus. Le point est lextrémité dune ligne et linstant lextrémité dun intervalle de temps. Continuité et divisibilité Le point et linstant ne sont pas divisibles, car ce ne sont pas des grandeurs. En effet, selon lui, la limite est indivisible et la chose limitée est divisible. Pour pouvoir réfuter les paradoxes, Aristote distingue donc le point, qui est un indivisible, de la ligne, qui est un continu. Le point est la limite dune ligne et la limite est indivisible alors que la chose limitée est un continu infiniment divisible. De la même façon, il distingue linstant qui est un indivisible de lintervalle de temps qui est un continu. Linstant est la limite dun intervalle de temps et de ce fait ne représente pas une durée.

28 Pour réfuter ces paradoxes, Aristote pose comme hypothèse quil faut un temps infini pour parcourir une distance finie et à partir de cette hypothèse, il construit lui aussi un paradoxe, ou plus précisément, il démontre que cela entraîne une contradiction. Distance finie, temps fini ou infini Dans les deux premiers paradoxes, Zénon considérait comme hypothèse quune distance finie est infiniment divisible et concluait quil faudrait un temps infini pour la parcourir, donc que le mouvement est impossible. Il fait un raisonnement par labsurde pour montrer que lhypothèse dun temps infini pour parcourir une distance finie ne peut être retenue. Voyons ce raisonnement.

29 Supposons quil faut un temps infini G pour parcourir une grandeur rectiligne AB (à vitesse constante). Raisonnement dAristote Soit GD une partie finie du temps G et AC, la partie de la grandeur rectiligne parcourue durant ce temps. Puisque AC et AB sont finis et que AC est une partie de AB, il existe un multiple de AC qui dépasse AB. Par conséquent le temps G serait inférieur au même multiple du temps GD. Le temps G serait donc fini. Ce qui est une contradiction.

30 Pour réfuter le paradoxe sur la flèche, Aristote signale que ce paradoxe est une conséquence de la supposition erronée que le temps est composé dinstants. Un instant nest pas une durée et aucun mouvement ne peut avoir lieu dans linstant. Réfutations dAristote Il réfute le dernier paradoxe en signalant que la vitesse relative de deux objets en mouvement est différente de la vitesse relative par rapport à un objet fixe. Puisque lhypothèse dun temps infini pour parcourir une distance finie entraîne une contradiction, cela signifie quil faut rejeter cette hypothèse.

31 Aristote sest beaucoup intéressé à linfini même sil considérait que cétait un sujet délicat, à cause notamment des paradoxes de Zénon. Il se rendait compte quil nest pas simple de rejeter ou daccepter lexistence de linfini. Selon lui, le rejet comme lacceptation de linfini est source de paradoxes. Il donne dailleurs différentes raisons pour croire à lexistence de linfini : Aristote et linfini linfinité du temps; la divisibilité infinie des grandeurs mathématiques; le fini se bute toujours à quelque chose et il ny a pas de limite au fini; il ny a pas de limite à ce que la pensée peut concevoir. En particulier, il ny a pas de limite aux nombres ou aux grandeurs mathématiques.

32 Aristote est pris dans un dilemme, il ne peut ni rejeter ni accepter linfini à cause des paradoxes que cela engendre. Pour se sortir de ce dilemme, il va distinguer deux sortes dinfini, linfini potentiel et linfini actuel. Dilemme et sortes dinfini Infini potentiel Linfini potentiel est un infini qui existe en puissance, en devenir. Cest un processus sans fin Linfini potentiel nexiste que comme concept, comme vue de lesprit. Il nexiste pas en réalité. La somme de tous les nombres entiers est un concept qui ne peut sactualiser

33 Dilemme et sortes dinfini Infini actuel Linfini actuel signifie un infini qui existe, qui est réalisé. Pour Aristote, linfini actuel nexiste que comme concept, comme représentation de lesprit. La somme de tous les nombres entiers nexiste que comme idée, la division infinie dun segment de droite nexiste que comme idée, pas dans les faits. Si on considère lhypothèse de lexistence de linfini en acte, on engendre toutes sortes de paradoxes. Cette hypothèse est donc à rejeter. Aristote ne reconnaît linfini en acte que comme idée, comme abstraction de lesprit. Linfini est considéré en opposition au fini, à lachevé. Il est associé à lincomplet, à linachevé, au devenir.

34 Pourquoi Zénon a-t-il formulé ces paradoxes? On sait que les Éléates professaient lunité et la permanence de lêtre. Pour eux, le monde des sens nest quune illusion. On a donc prétendu que Zénon voulait effectivement démontrer que le mouvement, tout comme ce qui nous vient des sens, est une illusion. Il est cependant douteux que Zénon ait sérieusement pu considérer limpossibilité du mouvement. Conclusion On sait également que les enseignements dAnaxagore et des Pythagoriciens furent contestés par les Éléates. Zénon cherchait peut-être à dénigrer les enseignements des autres écoles. Dans les deux premiers paradoxes, il montre que la divisibilité infinie de lespace et du temps professée par Anaxagore engendre une absurdité. Dans les deux suivants, il montre que la conception des Pythagoriciens est également erronée car elle entraîne elle aussi une contradiction.

35 À la suite de ces paradoxes et de la pensée dAristote, les mathématiciens et les philosophes grecs ont évité systématiquement lusage de linfini à cause des pièges que constitue le recours à des convictions intuitives fondées sur le fini, lorsquon traite de linfini. Il nétait plus possible dutiliser linfini dans un raisonnement sans le rendre suspect. Conclusion Ainsi, Euclide ne considère pas quil y a un nombre infini de nombres premiers, il considère quil y en a plus que tout nombre prédéterminé. La formulation de paradoxes sera pour plusieurs siècles la seule utilisation de linfini dans les raisonnements. Cest grâce aux travaux de Bernhard Bolzano ( ), de Karl Weierstrass ( ) et de Georg Cantor ( ) que linfini redeviendra objet détudes mathématiques, pour acquérir définitivement ses lettres de noblesse par larithmétisation de lanalyse.

36 Les paradoxes de Zénon et la découverte des irrationnels ont amené des changements importants dans les mathématiques grecques. Parmi ceux-ci, signalons la refonte de la théorie des proportions qui fut lœuvre dEudoxe. En effet, une théorie des proportions fondée sur la commensurabilité et la représentation des nombres par des points était devenue indéfendable avec la découverte de Hippasus. Conclusion La théorie dEudoxe, qui sera reprise par Euclide, est assez compliquée car il ne pouvait avoir recours aux nombres réels ni au système décimal de numération. De plus, Zénon a développé une approche dialectique, annonciatrice de celle de Socrate, qui utilisait les prémisses de ses adversaires pour démontrer que celles-ci entraînaient une absurdité. Cette méthode est devenue la méthode de preuve par réduction à labsurde.

37 Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Devlin, Keith, The Language of Mathematics, making the invisible visible, New York, W.H.Freeman and Company, 1998, 344 p. Dewdney, A.K. A Mathematical Mystery Tour, New York, John Wiley &218 p. Sons, Inc. 1999, Dhombres, Jean, Nombre, mesure et continu. Épistémologie et histoire. Publications de lIrem de Nantes, Paris, Cedic/Fernand Nathan, 1978, 338 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p.

38 Bibliographie Heath, Sir Thomas, L., The Thirteen Books of Euclids Elements, 3 vol. New York, Dover Publications, Inc Hersh, Reuben, What is Mathematics Really?, New York, Oxford University Press, Inc, 1997, 343 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. Fin


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