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Analyse Numérique Problèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles.

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1 Analyse Numérique Problèmes Pratiques Résolution d'équations différentielles

2 Ph. LerayAnalyse Numérique1 Introduction

3 Ph. LerayAnalyse Numérique2 Principes généraux zéquation différentielle : avec t I = [t 0,T] zidée générale : discrétiser t t n = t 0 + nh avec h = (T-t 0 )/n = pas de la méthode trouver une suite itérative z n qui approche y n = y(t n ) Taylor : schéma d'Euler simple

4 Ph. LerayAnalyse Numérique3 Schémas à un pas 1/ zForme générique : (t n,z n ) calculé à partir de z n yexemples : on peut partir de la propriété : x calcul de l'intégrale I par : rectangle gauche I = hf(t n ) schéma d'Euler simple rectangle droit I = hf(t n+1 ) schéma d'Euler rétrograde ( z n+1 n'est plus donné directement, il faut résoudre le système) méthode implicite

5 Ph. LerayAnalyse Numérique4 Schémas à un pas 2/ calcul de l'intégrale I par : trapèzes schéma d'Euler centré I = h[f(t n )+ hf(t n+1 )]/2 xcomment éviter les méthodes implicites en gardant les avantages du schéma d'Euler centré ? on remplace le z n+1 "génant" du Euler centré par son estimation simple : schéma prédicteur/correcteur d'Euler-Cauchy méthode implicite

6 Ph. LerayAnalyse Numérique5 Schémas à un pas 3/ zles schémas de Runge-Kutta forme générique avec (t,z) défini par : un ordre q xles équations suivantes : yproblème = trouver les meilleurs i ij i

7 Ph. LerayAnalyse Numérique6 Schémas à un pas 4/ zRunge-Kutta d'ordre 2 1 =0 2 =1 1 = 11 =1/2 : schéma du point milieu 1 = 2 =1/2 1 = 11 =1 : schéma d'Euler-Cauchy

8 Ph. LerayAnalyse Numérique7 Schémas à un pas 4/ zRunge-Kutta d'ordre 4 il faut alors estimer f sur plusieurs valeurs intermédiaires (souvent coûteux)

9 Ph. LerayAnalyse Numérique8 Schémas multi-pas 1/ zles schémas d'Adams-Bashforth (t n,z n ) calculé à partir de z n z n-1... yOn repart de la propriété : x calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q (avec les points t n à t n-q ) L k = Polynômes de Lagrange

10 Ph. LerayAnalyse Numérique9 Schémas multi-pas 2/ zAdams-Bashforth à 2 pas pour n 1 problème : il faut calculer z 1 autrement … (avec une méthode à 1 pas comme Runge-Kutta)

11 Ph. LerayAnalyse Numérique10 Schémas multi-pas 3/ zAdams-Bashforth à 3 pas pour n 2 zAdams-Bashforth à 4 pas pour n 3

12 Ph. LerayAnalyse Numérique11 Schémas multi-pas 4/ zles schémas d'Adams-Moulton y calcul de l'intégrale I en remplaçant f par une interpolation polynomiale d'ordre q+1 (avec les points t n+1 à t n-q ) méthode implicite : z n+1 va dépendre de f(t n+1,z n+1 ) (à cause du k=-1)

13 Ph. LerayAnalyse Numérique12 Schémas multi-pas 5/ zAdams-Moulton à 1 pas pour n 0 (Euler centré) zAdams-Moulton à 2 pas pour n 1 z…

14 Ph. LerayAnalyse Numérique13 Schémas multi-pas 6/ yComment éviter le côté implicite de Adams-Moulton ? on remplace le z n+1 "génant" par son estimation par Adams-Bashford : Exemple : schéma prédicteur/correcteur d'ordre 4

15 Ph. LerayAnalyse Numérique14 Sujet de TD

16 Ph. LerayAnalyse Numérique15 Conclusion


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