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Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles Lobjectif est de passer d'un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) à la formulation.

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1 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles Lobjectif est de passer d'un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) à la formulation variationnelle du problème (équation intégrale) La présentation est animée, avancez à votre vitesse par un simple clic Les formulations variationnelles sont la base de la MEF elles sont présentées dans le chapitre 4 du cours. Bonne lecture

2 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles Système physique continu Formulation mathématique du problème (PTV) Forme Variationnelle (EDP) Formes différentielles Problème aux limites Mise en équations formulation mathématique du problème Résidus pondérés Discrétisation Formes intégrales forme matricielle Méthodes dapproximation : généralités Système physique discret Discrétisation du milieu Méthodes des éléments finis Formulation mathématique du problème (éq. de Lagrange) Méthodes Numériques

3 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles 1ère forme intégrale Ne tient pas compte des conditions aux limites du problème Il faudra utiliser une approximation qui vérifie les CL fonction de pondération Annulation du Résidu pondérée sur le domaine Si u solution approchée R(u) : résidu (erreur commise) Conditions aux limites Résoudre sur D Résidus Pondérés :Modèle math. posé sur un domaine continu Système déquations différentielles "EDP"

4 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles En satisfaisant léquation pour un nombre fini de f ct de pondération Système matriciel est une équation à n inconnues Comment construire un système matriciel ? Attention u* doit vérifier toutes les conditions aux limites en pratique cest impossible pour un Pb de lingénieur F cts de forme Paramètres Soit une approximation à n paramètres:

5 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles Problème aux limitesFormulation variationnelle 1 Objectif : transformer la Formulation variationnelle 1 pour faire apparaître les CL Fait apparaître les CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u Formulation variationnelle Fv 1Fv 2 TH d'Ostrogradsky intégration par parties

6 Diaporama : Résidus pondérés – Méthodes variationnelles Applications Conduction thermique dans un milieu homogène isotrope Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite Avec des applications aux modèles de lingénieur barre & poutre : pour faire le lien avec les premiers chapitres contraintes et déformations planes (élasticité 2D) problèmes à symétrie de révolution Formulations variationnelles en mécanique Toutes ces Formulations Variationnelles sont directement utilisables dans la Méthode des Éléments Finis


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