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Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 1 Chapitre 4 Mécanique des fluides En.

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1 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 1 Chapitre 4 Mécanique des fluides En arrière plan: études de Leonardo sur le mouvement de leau.

2 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 2 Contenu du chapitre 4 (1) 1. Introduction Les caractéristiques mécaniques des fluides Les types de fluides Équation de continuité 2. Hydrostatique La Poussée dArchimède Les forces sur une paroi 3. Fluides idéaux Équation de mouvement Le Théorème de Bernoulli Quelques applications simples Le Théorème dEuler

3 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 3 Contenu du chapitre 4 (2) 4. Fluides visqueux incompressibles Fluides newtoniens Équations de Navier-Stokes Expérience de Reynolds Pertes dénergie Le mouvement des fluides en conduite Les actions dynamiques des fluides 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet

4 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 4 Chapitre 4 1. Introduction Les caractéristiques mécaniques des fluides Les types de fluides Équation de continuité En arrière plan: études du tourbillon. Newton, Principia Mathematica, 1687.

5 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 5 Les caractéristiques mécaniques des fluides Les fluides sont des milieux continus qui dun point de vue mécanique, sont caractérisés par ne pas avoir une forme propre; être des milieux homogènes et isotropes; ne pas pouvoir développer des contraintes de traction; avoir une loi de comportement qui ne sexprime pas comme une relation entre le tenseur de la contrainte et celui de la déformation, mais plutôt entre le tenseur de la contrainte et la variation temporelle du tenseur de la déformation; en gros, ce ne sont pas les déformations mais les vitesses de déformation qui entrent en jeu. de ce fait, les fluides seront caractérisés par dautres paramètres mécaniques que E et. Ici, on se bornera à une présentation très succincte de la mécanique des fluides, en renvoyant aux textes en bibliographie pour un approfondissement.

6 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 6 Les types de fluides (1) Les fluides se divisent classiquement en deux catégories: fluides parfaits ou non visqueux; pour ces fluides, le seul type de contrainte interne est de type normal, en toute situation possible: ils ne sont pas en mesure dexercer des contraintes tangentielles; fluides réels ou visqueux; ce sont les fluides qui peuvent exercer, outre les contraintes normales, aussi les contraintes tangentielles. A leur tour, ces 2 catégories peuvent être divisées en: fluides incompressibles: leur densité est une constante; fluides compressibles: leur densité peut varier avec les contraintes appliquées. Un fluide parfait incompressible est parfois indiqué comme fluide idéal.

7 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 7 Les types de fluides (2) A stricte rigueur, tout fluide est visqueux et compressible. Toutefois, dans nombreuses applications on peut considérer un fluide comme parfait, incompressible etc.; en particulier: les liquides sont pratiquement incompressibles; les gaz sont compressibles, mais si la vitesse est inférieure à environ les 2/3 de la vitesse du son, on peut les considérer avec bonne approximation comme incompressibles; dans les écoulements en conduite, sur des parcours brefs on peut considérer les fluides comme parfaits, mais pas sur des parcours longs, où il faut considérer les effets de la viscosité; encore, pour les écoulements autour dobjets (écoulements extérieurs, p. ex. le vent autour dune voiture ou dun avion) on peut diviser lécoulement en deux parties: celle loin du corps, où le fluide se comporte comme non visqueux, et celle proche du corps, où le fluide se comporte comme visqueux.

8 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 8 Les types de fluides (3) Donc, le type de fluide ne dépend pas seulement du milieu, mais aussi de la situation de lécoulement. En fait, quand on parle de fluide parfait ou visqueux, en réalité on parle dun modèle mécanique: le modèle doit être bien adapté à décrire la situation, mais il se peut que dans une autre circonstance le même modèle ne soit pas le plus indiqué (voir ce quon a dit au chapitre 2 au sujet du modèle de corps rigide etc.). Un problème majeur en mécanique des fluides est que le type de modèle employé décide aussi du type déquations du mouvement; or, ces équations, tout en ayant une même racine, sont très différentes dun point de vue strictement mathématique. Ceci résulte en une grande différence dans les méthodes mathématiques utilisées pour traiter les différents modèles, mais dans tous les cas il y a une caractéristique commune: la grande difficulté de solution des équations de la mécanique des fluides.

9 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 9 Les types de fluides (4) En fait, on connaît un faible nombre de solutions exactes, toutes concernant des situations simples dun point de vue géométrique. Pour les situations courantes, il faut faire appel à des méthodes numériques ou expérimentales (utilisation des simulations numériques, des souffleries ou des bassin hydrauliques pour la simulation expérimentale). Dans cette brève présentation de la mécanique des fluides, après une introduction à lhydrostatique, on ne parlera que de fluides idéaux et de fluides visqueux incompressibles; en fait, une présentation correcte de la mécanique des gaz comporte lintroduction nécessaire de lénergie interne et donc de concepts propres à la thermodynamique, ce que on a na pas souhaité faire dans ce module de présentation de la mécanique.

10 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 10 Équation de continuité Quoi quil en soit du modèle de fluide, léquation de continuité (conservation de la masse) est la même, celle quon a trouvé au chapitre 3: Cette équation lie la densité à la vitesse v. Pour les fluides incompressibles, la densité est constante et donc: Cette dernière est donc léquation qui caractérise les fluides incompressibles (elle joue le rôle de loi constitutive des fluides incompressibles).

11 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 11 Chapitre 4 2. Hydrostatique La Poussée dArchimède Les forces sur une paroi En arrière plan: le vol de la première montgolfière. Annonay, 4 juin 1783.

12 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 12 La Poussée dArchimède (1) Lhydrostatique est la partie de la mécanique des fluides qui soccupe de léquilibre des fluides et des corps immergés dans un fluide. Dans ce domaine, la loi la plus importante est connue sous le nom de: Voyons la signification, les conséquences et les applications de ce Principe (qui nest pas un vrai principe, car on peut le démontrer mathématiquement). Principe dArchimède: tout corps immergé dans un fluide reçoit une force vers le haut égale au poids du fluide déplacé.

13 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 13 La Poussée dArchimède (2) La poussée dArchimède est une force qui nest que la résultante des forces de pression. La pression est une force de contact: cest une contrainte normale de compression. En conditions déquilibre, létat de contrainte dans un fluide est du type p est un scalaire positif: la pression. On constate immédiatement que la contrainte t sur une facette de normale n est toujours la même: t= p n, donc de compression. (cest cohérente avec ce quon a dit à la page 5: pas de traction dans les fluides).

14 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 14 La Poussée dArchimède (3) A léquilibre, donc, létat de contrainte dans un fluide ne dépend pas de la direction, et ceci est rigoureusement vrai pour tout type de fluide. Or, on a déjà observé que la poussée dArchimède ce nest que la résultante de toutes les forces de pression qui agissent sur la surface mouillée du corps. Ce qui est étonnant, cest que cette force est toujours verticale: les composantes horizontales sannulent. Non seulement, mais le Principe dArchimède nous donne une façon extrêmement simple de calculer cette résultante: il suffit de calculer le volume immergé et de le multiplier par le poids volumique du fluide! Pas besoin de faire des compliquées intégrales de surface de la pression! p

15 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 15 La Poussée dArchimède (4) La poussée dArchimède est la force de flottaison: si le poids total du corps immergé est inférieur à la poussée, alors le corps flotte jusquà ce que les deux forces séquilibrent. En cas contraire, le corps coule! Cette force est celle qui permet au navires de flotter, aux aérostats de voler et au sous-marins de «voler dans leau». En fait, le poids total dun bateau est exactement égal à celui de leau déplacé. Si on ajoute du chargement, le poids du navire augmente et il senfonce jusquà ce que le nouveau volume deau donne une poussée dArchimède suffisant à équilibrer le nouveau poids.

16 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 16 C B La Poussée dArchimède (5) La poussée dArchimède est une force appliquée en un point qui est le barycentre du volume immergé, le centre de carène C, alors que le poids du bateau est appliqué en correspondance du barycentre B du bateau même. Le bateau alors est en équilibre stable seulement si C est supérieur à B: en fait, seulement dans ce cas le couple formé par le poids du bateau et la poussée dArchimède a un moment qui tend a redresser le bateau lorsquil oscille. Cest pour ça quon ajoute la dérive aux voiliers, pour baisser la position de C et rendre stable le bateau! (et aussi pour contraster, avec le même effet, la poussée horizontale du vent sur la voilure). C B C B C B

17 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 17 La Poussée dArchimède (6) Dans une montgolfière, on gonfle le ballon avec de lair qui est chaud, et donc dilaté par rapport à lair ambiant: son poids spécifique est donc mineur et le poids du volume dair ambiant déplacé par le ballon est supérieur au poids du ballon gonflé dair chaud plus la nacelle: la montgolfière vole! Dans les dirigeables, on utilise plutôt un gaz plus léger de lair: lhélium. Dans les deux cas, la nacelle baisse la position du barycentre de laérostat, comme la dérive pour les voiliers, en rendant ainsi stable la position de laérostat.

18 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 18 La Poussée dArchimède (7) Pour un sous-marin, la poussée dArchimède est réglée de façon à faire immerger ou émerger le navire. Cela est fait en utilisant des réservoirs qui sont remplis dair lorsque le sous-marin est en émersion, et qui sont inondés pour aller en immersion. Une fois la condition neutre obtenue (poussée égale au poids), le navire est en équilibre vertical et il est guidé à laide de surfaces de direction verticales et horizontales. Pour refaire surface, on injecte de lair comprimé dans les réservoirs; leau est expulsé et le poids diminue: la poussée dArchimède, qui na pas changé, pousse le navire en haut jusquà ce quil émerge.

19 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 19 Les forces sur une paroi (1) La force hydrostatique quun fluide exerce sur une paroi mouillée est lintégrale de la pression sur la surface. Or, en conditions statiques, la pression varie linéairement avec la profondeur: Dans cette équation, z est la profondeur mesurée à partir de la surface libre. Donc, tracer la variation de la pression avec la profondeur est simple, et simple est aussi calculer la valeur de la force hydrostatique et déterminer son point dapplication.

20 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 20 La résultante R (par unité de longueur de barrage) est égale à la surface du diagramme de chargement: Cette force est orthogonale à la paroi (comme la pression) et appliquée en correspondance du barycentre du diagramme de la pression: à 1/3 du bas de la paroi. Les forces sur une paroi (2) Voyons ça avec un exemple classique, le calcul de la force sur un barrage. Le diagramme de la pression sur la paroi mouillée est linéaire (en forme de triangle). La pression la plus forte est celle en bas, égale à gh (h étant la profondeur du bassin). z R l/3l/3 l h p= g h

21 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 21 Les forces sur une paroi (3) Cest important de comprendre que ce nest pas la quantité de fluide qui détermine la résultante de la force, mais seulement la pression. Donc, deux barrages de la même hauteur sont soumis à la même force, même si dans un cas le las artificiel est plus grand que dans lautre. Cest la paradoxe du tonneau: pour faire éclater un tonneau il suffit dajouter un petit tube vertical quon rempli de fluide: quand le niveau est suffisant, la pression est si forte que le tonneau éclate, et ceci tout en nayant ajouté quune petite quantité de fluide! Dailleurs, ceci est exploité dans les vérins hydrauliques: la force exercée par le vérin est proportionnelle à la pression et à la surface du vérin. En utilisant des surfaces suffisantes, on obtient des forces considérables même avec des pressions pas trop importantes.

22 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 22 Chapitre 4 3. Fluides idéaux Équation de mouvement Le Théorème de Bernoulli Quelques applications simples Le Théorème dEuler En arrière-plan: machine hydraulique. Planche de lEncyclopédie de Diderot et dAlembert, 1751.

23 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 23 Équation de mouvement (1) Les fluides parfaits ne sont pas capables dexercer des contraintes tangentielles. De ce fait, le tenseur de la contrainte est toujours comme dans le cas statique: il nest formé que par la pression: Seulement que maintenant la pression est liée au mouvement (même si elle nest pas déterminée par le mouvement de façon unique).

24 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 24 Équation de mouvement (2) Léquation de mouvement pour les fluides parfaits (et a fortiori pour les idéaux) a été trouvée par Euler: Pour les fluides idéaux, est constante et la même partout. Cette équation, qui est léquation de mouvement par unité de volume, est à confronter avec léquation générale du mouvement vue au chapitre 3 (page 30).

25 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 25 Équation de mouvement (3) Elle montre que les causes de la variation de la vitesse ce sont les forces de volume et la variation spatiale de la pression (la divergence de se traduit dans le gradient de la pression dans le cas où est du type «hydrostatique»). Les équations dEuler sont très compliquées et on ne connaît pas une solution générale de ces équations. Ceci est dû essentiellement au terme à 2 ème membre; en fait, la dérivée totale par rapport au temps, devient, une fois que tout à été écrit en prenant comme variables indépendantes le temps et la position actualisée (approche eulérienne):

26 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 26 Équation de mouvement (4) Ces équations sont fortement non linéaires: en fait, les inconnues sont les composantes de la vitesse et la pression; or, au 2 ème membre on a un opérateur différentiel des inconnues mêmes… La quatrième équation est léquation de continuité, que pour les fluides idéaux est Il faut observer que la plupart des fois, les forces volumiques sont la pesanteur, qui est conservative. Une autre hypothèse souvent faite, est lirrotationnalité, cest-à- dire que le vecteur rotationnel de la vitesse est nul. Cette hypothèse est justifiée par un théorème de Lagrange, qui assure la conservation du rotationnel pour les fluides parfaits; mais alors, si un écoulement commence du repos, qui est sans doute irrotationnel, il restera toujours irrotationnel!

27 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 27 Le Théorème de Bernoulli (1) Dans le cas découlements de fluides idéaux soumis à des forces conservatives, D. Bernoulli a trouvé léquivalent de la conservation de lénergie mécanique totale pour unité de poids de fluide. En réalité, il faudrait parler de théorèmes de Bernoulli, car on a au moins trois cas possibles. Ici, on se bornera à introduire le grand théorème de Bernoulli, celui qui a à sa base toutes les hypothèses possibles, et qui est le plus souvent utilisé dans les applications; il est valable pour les écoulements irrotationnels et stationnaires (ou permanents; ce sont les écoulements dans lesquels la vitesse ne dépend pas explicitement du temps). En outre on lénoncera dans le cas où les forces de volume sont la pesanteur (cest pratiquement toujours le cas).

28 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 28 Le Théorème de Bernoulli (2) Voici donc le: Théorème de Bernoulli: dans un fluide parfait soumis à laction de la pesanteur, en écoulement irrotationnel stationnaire, la somme des hauteurs géométrique, de pression et cinétique est constante:

29 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 29 Le Théorème de Bernoulli (3) Les applications du théorème de Bernoulli sont pratiquement infinies. Son importance est centrale en mécanique et il est sans doute le plus important théorème de la physique mathématique, au moins pour ses applications. Comme déjà dit, ce théorème stipule la conservation de lénergie par unité de poids de fluide: la dimension de lénergie est donc celle dune hauteur: cest pour ça quon parle de hauteurs dans le trinôme de Bernoulli. En particulier, lhauteur géométrique z est lénergie potentielle de la pesanteur, lhauteur de pression p/ ( étant le poids volumique du fluide) est lénergie potentielle des efforts internes de pression et lhauteur cinétique v 2 /2g est lénergie cinétique, le tout par unité de poids de fluide.

30 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 30 Quelques applications simples (1) Voyons deux applications classiques du théorème de Bernoulli. Vitesse de sortie dun réservoir: considérons un réservoir rempli deau, de profondeur h; au fond du réservoir il y a un trou pour lévacuation de leau. Supposons que le niveau du liquide soit constant dans le réservoir (voire, que la surface du réservoir est tellement plus grande du trou que la vitesse avec laquelle leau baisse dans le réservoir est totalement négligeable). Le problème est de trouver la vitesse de sortie de leau, et donc le débit volumique. Lapplication du théorème de Bernoulli entre les sections 1 (la surface libre) et la surface 2 (le trou) permet de résoudre le problème: h z 1 2

31 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 31 Quelques applications simples (2) Dans ce cas: z 1 =h, z 2 =0; p 1 =p 2 : cest la pression ambiante dans les deux cas (normalement, la pression atmosphérique): la pression nentre donc pas en jeu dans ce problème; v 1 =0 (par lhypothèse faite) et v 2 est linconnue du problème. Le théorème de Bernoulli devient donc: On retrouve la vitesse de Torricelli, déjà vue au chapitre 2 (page 61) pour la chute libre (cétait à prévoir, derrière il y a toujours la conservation de lénergie mécanique…). Pour avoir le débit volumique, il suffit maintenant de multiplier la vitesse par laire du trou.

32 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 32 Quelques applications simples (3) Le tube de Venturi: cest un dispositif utilisé pour mesurer le débit volumique dans une conduite. Le dispositif consiste en un rétrécissement de la section. En correspondance dune section amont et de la section rétrécie on capte la pression, à laide p. ex. de deux piézomètres. Un piézomètre est simplement un tube dans lequel le fluide peut remonter: lhauteur du fluide est simplement lhauteur de pression (donc une mesure de la pression). Si le tube de Venturi est en horizontal, comme en figure, le théorème de Bernoulli appliqué entre les sections 1 et 2 donne simplement (z 1 =z 2 ): D1D1 D2D2 1 2 p 1 p 2

33 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 33 Quelques applications simples (4) Dans cette équation il y a deux inconnues, les deux vitesses (les hauteurs de pression sont mesurées à laide des piézomètres). Il faut donc une autre équation: léquation de continuité. Celle-ci exprime, pour un fluide idéal, la conservation de la densité. Dans le cas dun écoulement stationnaire en conduite, ceci se traduit dans le Théorème de Leonardo: le débit volumique est constant: Ce théorème montre, entre autres, que la vitesse est plus grande où la section est plus petite (A est la section droite du tube). Léquation qui manque est donc

34 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 34 Quelques applications simples (5) La solution du problème est donc vite trouvée: Le débit volumique sera donc donné par la formule Il suffit donc de mesurer la différence dhauteur de pression, les caractéristiques géométriques du tube de Venturi étant connues, pour obtenir le débit volumique.

35 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 35 Le Théorème dEuler (1) Le Théorème dEuler exprime le bilan de la quantité de mouvement non pas pour une partie matérielle (constituée toujours par les mêmes particules) mais pour un volume de contrôle, cest–à–dire pour un volume spatial fixe, dans lequel la matière peut circuler. Ce théorème est plutôt important, car il permet le calcul des actions dynamiques quun écoulement donne aux parois du solide qui le contient. Donc, il est à la base du calcul des turbines et des pompes, mais il sert aussi dans de nombreuses autres circonstances, p. ex. pour calculer laction sur un tube qui change de géométrie. Dans sa forme la plus générale, le théorème dEuler est Ici, V est le volume de contrôle et n la normale externe unitaire à sa frontière.

36 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 36 Voyons une application simple de ce théorème: il sagit de calculer la poussée dun jet deau sur une aube courbe. Cette poussée F est la partie de lintégrale de surface de t faite sur la paroi de laube. En faisant lhypothèse que le jet conserve sa section droite (et donc, par le théorème de Leonardo, v 1 =v 2 ) et que les forces de volume sont négligeables, on obtient (A est la section droite du jet): La force est donc selon la bissectrice de laube et sa valeur est Le Théorème dEuler (2) v 2 1 n1n1 n2n2

37 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 37 Le Théorème dEuler (3) Cette valeur est maximale pour =180°; dans ce cas la force vaut 2 v²A. Les aubes des turbines Pelton sont conformés ainsi, avec une déviation de 180°, pour maximiser la poussée du jet. A cet effet sinspire aussi le système dinversion de la poussée utilisé par les avions à réaction pour freiner en phase datterrissage.

38 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 38 Chapitre 4 4. Fluides visqueux incompressibles Fluides newtoniens Équations de Navier-Stokes Expérience de Reynolds Pertes dénergie Le mouvement des fluides en conduite Les actions dynamiques des fluides En arrière-plan: le premier vol des frères Wright, 17 décembre 1903.

39 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 39 Fluides newtoniens (1) La propriété fondamentale des fluides réels est la viscosité. Celle-ci fait apparaître les efforts tangentiels dans le comportement des fluides. Une expérience simple qui met en évidence lexistence de la viscosité est le glissement dun fluide réel sur un plan. Dans le cas dun fluide parfait, labsence defforts tangentiels implique que, à part la pression, le fluide nexerce aucune action sur le plan, qui donc nest pas entraîné en mouvement. Si le fluide est visqueux, les efforts tangentiels que le fluide exerce sur le plan tendent à entraîner le plan en mouvement avec le fluide. Si le plan est bloqué, ces efforts ont comme résultat celui de freiner le mouvement du fluide, qui donc, si la cause de son mouvement cesse (p. ex. une différence de pression) au bout dun moment sarrêtera.

40 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 40 Fluides newtoniens (2) On comprend donc une autre caractéristique de la viscosité: la dissipation de lénergie; le théorème de Bernoulli nest donc plus valable. Newton avait déjà proposé une loi qui lie la contrainte tangentielle à la paroi, due à la viscosité, au champ de vitesse: Dans cette formule, v est la vitesse tangentielle à une paroi et z lordonnée normale à celle-ci. La dérivée est calculée en correspondance de la paroi même. est la viscosité (dynamique) du fluide. Contrairement au cas dun fluide parfait, la couche de fluide à contact avec la paroi est immobile: la viscosité la freine totalement (hypothèse de ladhérence). z v(z)v(z)

41 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 41 Fluides newtoniens (3) Le comportement des fluides visqueux classiques est décrit par la relation générale: Le tenseur est le tenseur des contraintes visqueuses. On remarque que celles-ci sajoutent à la contrainte due à la pression, la seule quon a pour un fluide parfait. Le tenseur des contraintes visqueuses est donné par la loi constitutive suivante: Cette loi constitutive caractérise les fluides newtoniens, qui sont la grand part des fluides visqueux classiques. et sont les deux coefficients de viscosité. Le premier concerne les contraintes visqueuses liées aux changements de volume, alors que le deuxième, comme déjà vu, est lié aux glissements des couches de fluide.

42 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 42 Fluides newtoniens (4) A remarquer que, comme pour les fluides incompressibles la loi constitutive des contraintes visqueuses se réduit à et donc pour ces fluides il ny a que comme coefficient de viscosité. Le tenseur est le tenseur de stretching: cest le tenseur qui a comme composantes les dérivées temporelles de celles de. Pour terminer, on remarque aussi la correspondance, même dans les symboles utilisés, entre cette loi constitutive et celle de Lamé, qui décrit le comportement des solides élastiques isotropes. Finalement, si on applique la loi des fluides newtoniens au cas de la figure de page 40, on trouve, comme contrainte à la paroi, exactement la valeur déjà trouvée. Donc, par rapport aux contraintes tangentielles, ce qui compte ce nest pas la vitesse elle même, mais la variation spatiale de la vitesse.

43 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 43 Équations de Navier-Stokes (1) Dans le cas des fluides newtoniens incompressibles, les équations du mouvement deviennent: En composantes, on a Si la viscosité est nulle, on retrouve bien les équations dEuler pour les fluides parfaits.

44 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 44 Équations de Navier-Stokes (2) Ces équations sont dun ordre plus grand que celles dEuler: il y a en fait les dérivées spatiales secondes de la vitesse. Ce sont des équations fortement non linéaires, pour les mêmes raisons que celles dEuler, et encore plus difficiles à résoudre. En fait, la solution des équations de Navier-Stokes est encore aujourdhui un challenge mathématique important, qui nécessite de grandes compétences et puissances de calcul. On connaît par ailleurs quelque solution exacte de ces équations, dans des cas particulièrement simples (voir ci-après, p.ex., le cas de lécoulement de Poiseuille).

45 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 45 Expérience de Reynolds (1) Lexpérience de Reynolds met en évidence un effet important lié à la viscosité: la transition entre régime laminaire et turbulent. Lexpérience est la suivante: dans un tube en verre, on fait passer de leau. En un point donné du tube on injecte un colorant. Ce quon observe est que: pour des valeurs «petites» de la vitesse de leau, le colorant trace une trajectoire rectiligne bien précise, et ceci pour nimporte quel point dinjection sur la section; en faisant croître la vitesse de leau, la veine fluide du colorant commence dabord à osciller rapidement et ensuite se casse complètement, pour se mélanger à leau du courant.

46 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 46 Expérience de Reynolds (2) Dans le 1 er cas on parle de régime laminaire, car les filets fluides restent parallèles et ne se mélangent pas: lécoulement a donc une structure en couches superposées, des laminae justement; Dans le 2 ème cas on parle de régime turbulent: dans lécoulement on perd toute organisation régulière du flux, chaque particule suit une trajectoire chaotique, imprédictible, avec une vitesse qui change beaucoup en valeur et direction, à chaque instant; lécoulement est donc chaotique, turbulent justement, et la capacité de mélanger très forte. Reste toutefois un écoulement moyen, globalement selon laxe du tube; la vitesse moyenne des particules est égale au débit volumique divisé par la section droite du tube. La transition entre un régime et lautre est déterminée par la valeur dun paramètre adimensionnel, le nombre de Reynolds Re:

47 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 47 Expérience de Reynolds (3) Dans cette formule, U est la vitesse moyenne du flux, D est une dimension linéaire caractéristique de lécoulement (pour les flux en conduite cest évidemment le diamètre du tube) et est la viscosité cinématique: La transition entre les deux régimes se situe aux alentours de Re= Physiquement, le nombre de Reynolds représente le rapport entre les ordres de grandeur des forces inertielles et visqueuses. Donc, pour des bas Re, les forces visqueuses prévalent sur les forces inertielles et le régime est laminaire: en quelque sorte, la viscosité stabilise, régularise lécoulement. Au contraire, si Re>~2500, les forces inertielles prévalent sur les visqueuses et tendent à déstructurer lécoulement, qui devient chaotique, turbulent.

48 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 48 Expérience de Reynolds (4) Le comportement global de lécoulement en résulte très affecté, en particulier pour ce qui concerne la distribution de la vitesse sur la section droite, le débit volumique et les pertes dénergie. Il faut dire que cette dualité de comportement, laminaire ou turbulent, on la retrouve non seulement pour les écoulements en conduite, mais aussi pour tout type découlement. Létude de la turbulence pose en général beaucoup de problèmes, de par son caractère chaotique intrinsèque, et lapproche généralement suivie est une approche sur base statistique tendant à récupérer des grandeurs moyennes du flux turbulent (théorie de Reynolds et Kolmogorov). Mathématiquement, la transition entre régime laminaire et turbulent correspond à une perte de stabilité: la solution laminaire, toujours possible pour Re>2500, devient instable, et la moindre perturbation, irrégularité, suffit à casser la symétrie de lécoulement et à passer donc en régime turbulent.

49 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 49 Expérience de Reynolds (5) Or, considérons le cas de leau: si lon prends les valeurs caractéristiques de leau ( = 1,1×10 6 m 2 /s) et une vitesse moyenne du flux de 1 m/s (valeur assez courante), alors, on voit que le régime est laminaire seulement pour D<~ 2,75 mm. Donc, avec un fluide, peu visqueux, comme leau, lécoulement est pratiquement toujours turbulent (il est laminaire seulement pour des diamètres et des vitesses très petites, circonstance très rare. Avec lair ( = 1,5×10 5 m 2 /s) il faudrait D<~ 37,5 mm: même lair est pratiquement toujours en régime turbulent. Pour une huile, fluide très visqueux ( 1,1×10 4 m 2 /s), on trouve D<~ 275 mm: le régime est facilement laminaire. Cest le cas de la lubrification, où on utilise des huiles et les dimensions sont normalement très petites (<1 mm): le régime est donc laminaire.

50 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 50 Pertes dénergie (1) On a déjà dit que lun des effets de la viscosité est la dissipation de lénergie mécanique: le problème qui se pose est donc le calcul de ces pertes dénergie mécanique dues à la viscosité. Dans la suite on considérera toujours, pour simplicité, le cas dun écoulement dans une conduite circulaire de diamètre D. Il faut souligner que la perte dénergie est une perte dhauteur piézométrique e: En fait, dans le trinôme de Bernoulli, qui représente lénergie totale (ce quon appelle souvent la hauteur ou charge totale) lhauteur cinétique ne dépend que de la vitesse, laquelle, en régime permanent, ne dépend que de la section, comme le prescrit le théorème de Leonardo. Ce calcul se fait de façon différente selon le régime, laminaire ou turbulent.

51 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 51 Pertes dénergie (2) Dans ce cas, la solution existe en forme analytique: cest la solution de Poiseuille. Le problème est le suivant: dans une conduite cylindrique de diamètre D, un fluide de caractéristiques données sécoule sous une chute de pression connue. Il sagit de trouver le champ de vitesse à lintérieur du tube et le débit volumique. La solution de Poiseuille donne un profil parabolique de la vitesse: J est la chute piézométrique, à savoir, la perte de e par unité de longueur: r x v(r)v(r) 2R2R p/ l

52 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 52 Pertes dénergie (3) J est donc une perte dénergie élémentaire, par unité de parcours. Le débit volumique Q est (A = section droite): et la vitesse moyenne La perte dénergie, représentée par J, est donc fonction linéaire de la vitesse moyenne (et donc de Q): Cette formule doit être interprétée ainsi: la différence de hauteur piézométrique par unité de longueur nécessaire pour écouler à vitesse U en régime laminaire le fluide de viscosité à travers un tube de rayon R est J. Cest ce quil faut «dépenser» pour avoir le débit voulu.

53 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 53 Pertes dénergie (4) En régime turbulent la situation change radicalement. Dabord, on ne peut pas trouver une solution en forme analytique et donc il faut faire appel à des lois empiriques, basées sur des essais de laboratoire, qui donnent la valeur de J en fonction des différents paramètres. Le profil de la vitesse est beaucoup plus aplati que dans le cas laminaire. Dans le cas turbulent entre en jeu aussi la rugosité de la paroi, qui évidemment favorise le passage au régime turbulent. Pour mieux comprendre le phénomène, on introduit le paramètre adimensionnel : est dit paramètre de résistance, car il est lié à, la valeur de la contrainte tangentielle à la paroi. Pour le régime laminaire, on montre facilement que =64/Re.

54 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 54 Pertes dénergie (5) En régime turbulent, contrairement à ce qui se passe en régime laminaire, dépend aussi de la rugosité, et plus précisément de la rugosité relative s, rapport entre lhauteur des grains de rugosité et le diamètre du tube. La formule universelle donne la relation entre Re, et s: On voit bien que pour Re qui tend vers linfini, ne dépend plus de Re: cest le régime turbulent pur. Sur un graphique log Re- log lallure est la suivante (abaque de Moody ou arpe de Nikuradse) Régime laminaire Régime transitoire Régime turbulent Tubes lisses Tubes rugueux

55 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 55 Pertes dénergie (6) J étant liée à, une fois connue celle-ci on peut calculer J; Toutefois, dans les applications on préfère souvent utiliser dautres lois empiriques, dusage plus simple. Une formule très utilisée est la formule de Chézy: Rm est le rayon hydraulique: Rm=section liquide/contour mouillé; Rm= R/2 pour une section circulaire. Le paramètre est déterminé grâce à des formules empiriques: formule de Bazin: s est le coefficient de rugosité de Bazin, tabulé en fonction du matériau du tube; formule de Manning-Strickler: avec c un autre coefficient de rugosité, lui aussi tabulé.

56 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 56 Le mouvement des fluides en conduite (1) Pour mieux comprendre, considérons un exemple: celui dune conduite qui relie à gravité deux réservoirs (par exemple: aqueduc dapprovisionnement dune ville). La chute piézométrique est fixée par la topographie (niveaux des réservoirs), et donc on connaît J= e/ l. On fixe le diamètre en connaissant le débit Q. z z p/ U²/2g ligne de lénergie totale piézométrique e l

57 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 57 Le mouvement des fluides en conduite (2) P. ex. avec la formule de Manning-Strickler, on a Léquation de continuité, Q= U A, donne alors D: Fixer le matériau du tube équivaut à fixer c; le problème est donc résolu. A remarquer que, si le tube est à diamètre fixe, lhauteur cinétique est constante et la pression est plus forte en correspondance des zones plus basses de la conduite: lépaisseur du tube doit être dimensionnée en conséquence.

58 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 58 Les actions dynamiques des fluides (1) Les actions dues aux fluides sont de différents types. On a déjà vu la poussée dArchimède, qui est la seule action à léquilibre. Mais lorsque le fluide est en mouvement, le scénario change et se complique beaucoup. Ici, on se bornera à une description qualitative des actions fluido- dynamiques sur un objet et de leurs procédures de calcul. Encore une fois, la distinction entre fluides parfaits et visqueux est essentielle. En fait, dans le cas des fluides parfaits, on peut montrer que la seule force quun fluide exerce sur un corps est de type inertiel: cest leffet de masse ajoutée. Cet effet se manifeste donc seulement en conditions de mouvement accéléré ou décéléré: p.ex. lorsquun corps se met en mouvement ou sarrête ou encore quand le corps est fixe et cest le fluide qui se meut.

59 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 59 Les actions dynamiques des fluides (2) Alors, la force est du type où m est la masse de fluide déplacée par lobjet et M A est le tenseur de masse ajouté, qui dépend essentiellement de la forme et des dimensions de lobjet. Cette force est importante seulement dans leau, car lair a une densité si faible que normalement F m est négligeable (sauf pour les aérostats, qui ont une masse inférieure à celle de lair déplacé!). P.ex. pour un cylindre qui se déplace perpendiculairement à son axe la masse ajoutée est exactement égale à la masse deau déplacée (cest le cas dun poteau figé verticalement et soumis à laction de la houle, mais aussi, en 1 ère approximation, dun bateau qui se déplace en direction orthogonale à son axe).

60 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 60 Les actions dynamiques des fluides (3) Évidemment, cette action disparaît lorsque le fluide (ou le corps) se déplace de vitesse uniforme. Dans ce cas, la théorie des fluides parfaits ne prévoit aucune autre action: cest le célèbre Paradoxe de dAlembert! En effet, cest une expérience de tous les jours que de constater que même lorsquon se déplace à vitesse constante, on est soumis à une action de la part du fluide. Ce paradoxe est la conséquence de lhypothèse de fluide parfait. Pour mettre en évidence lexistence dune force dinteraction en conditions de mouvement stationnaire il faut donc passer au modèle de fluide visqueux. Avant toutefois dexaminer ce cas, il faut citer un cas particulier: même pour les fluides parfaits, on peut démontrer lexistence dune autre force dinteraction, qui, elle, dépend essentiellement de la forme du corps et de lorientation de celui-ci par rapport au courant.

61 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 61 Les actions dynamiques des fluides (4) Cest la portance (Théorème de Kutta-Jukowski): Cette force est toujours orthogonale au vent; est la circulation du vecteur vitesse autour du corps: Cest cette force qui permet aux avions de voler! On a déjà observé que cette force est strictement liée à la forme et à lorientation de lobjet soumis au vent. Les formes qui permettent la naissance de cette force sont appelées profils porteurs. Le typique profil porteur est celui de laile davion: Si on linverse, on obtient le profile dun aileron pour avoir la force dappui au sol pour les voitures de sport! v FLFL

62 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 62 Les actions dynamiques des fluides (5) Une première force dinteraction qui est due à la viscosité est la force de frottement. Du moment que les fluides visqueux sont capables dexercer des contraintes tangentielles, la résultante de celles-ci, sur la surface du corps, est une force en direction contraire au courant (ou à la vitesse du corps, donc une résistance à lavancement). La théorie qui permet de calculer correctement la résistance de frottement est la théorie de la couche limite (Prandtl, 1905). Selon cette théorie, lécoulement autour dun corps solide peut se diviser en deux régions: la couche limite: une fine couche de fluide proche du corps, à lintérieur de laquelle la vitesse relative du fluide par rapport au corps change rapidement, jusquà la valeur nulle sur la surface du corps; la viscosité du fluide et le gradient de la vitesse donnent naissance aux contraintes tangentielles à la paroi et donc à la résistance par frottement;

63 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 63 Les actions dynamiques des fluides (6) la région extérieure, où lécoulement nest pas affecté par les effets de la viscosité, et donc le fluide peut être considéré comme parfait. La théorie de la couche limite permet donc de résoudre le Paradoxe de dAlembert: elle met en évidence lexistence dune résistance à lavancement même en conditions de mouvement stationnaire. Toutefois, la résistance par frottement est une résistance normalement assez faible, et ne correspond pas aux valeurs de résistance quon peut mesurer lors dexpériences de laboratoire. Pour comprendre pourquoi, il faut introduire la différence entre corps aérodynamiques et non. En général, on appelle aérodynamique un corps qui offre une résistance petite à lavancement dans un fluide. Il faut toutefois souligner que laérodynamicité dun corps dépend aussi de son orientation par rapport au courant.

64 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 64 Les actions dynamiques des fluides (7) Voyons donc quelle est la différence entre corps aérodynamiques et non. Un corps aérodynamique est élancé par rapport au courant, avec bord dattaque (A) plus arrondi et bord de fuite (B) pointu. Le flux autour de lobjet est régulier, les filets fluides suivent lallure du corps et la couche limite reste attachée au corps. De ce fait, la distribution longitudinale de la pression autour de lobjet est équilibrée: la pression donne une force totale nulle. La seule force totale F f est lintégrale des contraintes. v région extérieure couche limite v A B FfFf

65 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 65 Les actions dynamiques des fluides (8) Pour un corps non aérodynamique, la situation est totalement différente: les filets fluides narrivent pas à suivre le contour du corps et la couche limite se détache du corps à larrière de celui- ci: cest le phénomène du décollement de la couche limite. Ceci provoque la formation de tourbillons à larrière du corps (la traînée), dont leffet principal est celui daltérer la distribution de la pression autour du corps entre lavant et larrière. Ceci se traduit par une force globale (la force de traînée ou de drag, F d ) due non pas au frottement mais au déséquilibre de la pression sur le corps. v traînée FdFd

66 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 66 Les actions dynamiques des fluides (9) Cette force est beaucoup plus grande de la force de frottement. Elle est donnée, en général, par une relation du type Ici, A est la section du corps orthogonale au courant et C d est un coefficient (de drag) fonction de la forme et de lorientation du corps. Il est intéressant de remarquer que cette force est proportionnelle au carré de la vitesse (ce qui explique pourquoi doubler la vitesse quadruple la résistance et multiplie par 8 la puissance de la résistance…). Cette force est constante dans le temps si la vitesse ne change pas. Toutefois, à côté de cette force, il y a une autre force, qui, elle, oscille dans le temps.

67 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 67 Les actions dynamiques des fluides (10) En fait, les tourbillons qui se forment derrière le corps se détachent de celui-ci, à intervalles de temps réguliers, une fois dun côté et une fois de lautre: cest lallée tourbillonnaire de Von Karman. Ceci provoque un déséquilibre transversal de la pression autour du corps, avec comme résultat une force transversale qui oscille dans le temps. Il sagit donc dun phénomène dynamique; le danger est que la fréquence de cette force soit proche de la fréquence propre de la structure, ce qui met en résonance la structure même, avec amplifications désastreuses des oscillations. v

68 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 68 Les actions dynamiques des fluides (11) Cest dailleurs pour ça quun poteau soumis au vent oscille dans un plan orthogonal au vent et pas dans sa direction! Les cheminées sont très sensibles à ce phénomène (beaucoup parmi elles en ont fait les frais…) et pour léliminer on met un escalier en colimaçon autour de la cheminée: il casse la régularité des tourbillons et élimine en partie le danger. Ce même phénomène était à lorigine de la rupture des tirants des ailes des biplans de la 1 ère Guerre (avec les conséquences qu lon peut imaginer…) et des snorkels des sous-marins. Laccouplement dynamique entre le vent et une structure peut être très délicat car il peut engendrer des phénomènes très dangereux, comme le flutter ou la divergence torsionnelle, capables de causer la ruine dune structure. Cest le domaine de laéroélasticité, qui étudie justement les interactions entre un fluide et une structure élastique très déformable (ailes davion, couvertures de stade, ponts suspendus ou haubanés, tours etc.).

69 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 69 Les actions dynamiques des fluides (12) Le cas le plus célèbre est celui du pont de Tacoma (USA, 1940): un vent denviron 60 km/h, soufflant sur une période suffisamment longue, fut suffisant pour la destruction du tout nouveau pont suspendu. La dynamique du désastre, filmé par un spectateur, met en évidence laccouplement dynamique entre le vent et la structure: la faible rigidité torsionnelle du pont engendre des déformations transversales qui facilitent encore plus laction du vent. Celle-ci est une action dynamique à fréquence proche de la résonance de la structure: les oscillations sont donc de plus en plus amplifiées… jusquà la rupture totale. Dun point de vue aéroélastique, il y a la superposition de différents phénomènes (flutter, divergence torsionnelle etc.).

70 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 70 Chapitre 4 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet En arrière plan: études de Leonardo sur le mouvement de leau autour dobstacles.

71 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 71 En librairie… H. Lamb: Hydrodynamics. Dover, G. K. Batchelor: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, A. J. Chorin, J. E. Marsden: A Mathematical introduction to fluid mechanics. Springer-Verlag, M. E. Gurtin: An introduction to continuum mechanics. Academic Press, G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Dunod, P. Germain, P. Müller: Introduction à la mécanique des milieux continus. Masson, C. Truesdell, K. R. Rajagopal: An Introduction to the mechanics of fluids. Birkhauser, 2000.

72 Copyright: P. Vannucci, UVSQ ________________________________ Mécanique – Chapitre 4 72 …et sur Internet J. Garrigues: Mécanique des milieux continus. Document à télécharger à ladresse M. Roques: Mécanique des fluides. Visiter le site nancy-metz.fr/enseign/physique/PHYS/Bts- Cira/mecaflu/mecaflu.htm. nancy-metz.fr/enseign/physique/PHYS/Bts- Cira/mecaflu/mecaflu.htm F. Plunian: Mécanique des fluides incompressibles. Visiter le site S. Chaussedent: Mécanique des fluides. Visiter le site:


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