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Genèse des nombres complexes : Au siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à effectuer.

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1 Genèse des nombres complexes : Au siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à effectuer certaines « opérations interdites » sur les nombres réels. Pourtant, les méthodes en questions permettaient de trouver de manière efficace les solutions de certaines équations. Afin de « régulariser » cette situation, ils ont été amenés à créer un nouvel ensemble de nombres : XVI e

2 Le corps des nombres complexes

3 Le nombre imaginaire j On définit les nombres j et – j vérifiant: j 2 = (- j 2 ) = - 1

4 Forme algébrique des nombres complexes z = a + bj a : partie réelle du nombre complexe z b : partie imaginaire du nombre complexe z (a et b sont des nombres réels)

5 Le plan complexe M+M+ a : Abscisse du point M b Ordonnée du point M: z = a + jb Affixe du point M

6 Module & Argument dun nombre complexe M (z) + a b ρ Module de z θArgument de z Notations:Module de z:|z| Argument de z:arg(z)

7 ρ 2 = a 2 + b 2 b = ρ sin (θ) a = ρ cos (θ)

8 Forme trigonométrique dun nombre complexe z = ρ cos (θ) + j ρ sin (θ) z = [ ρ;θ ] Autre notation de la forme trigonométrique:

9 Conjugué dun nombre complexe z = a + jb z = a - jb

10 (z)(z) ( - z ) (-z)(-z) ( z )

11 |z| = |z| arg (z) = - arg (z) zz = (a + jb)(a – jb) = |z| 2

12 Addition de deux nombres complexes z et z + M (z) M (z)+M (z)+ M ( z = z + z ) + aaa + a b b b + b

13 z = a + jbz = a + jb z + z = (a + a) + j (b + b)

14 Multiplication de deux nombres complexes z et z z=a+jb=[ρ;θ]z=a+jb=[ρ;θ] zz = (aa – bb) + j (ab + ab) zz = [ ρρ ; θ + θ]

15 M (z) + M (z) + P (zz) + θ θ θ + θ ρ ρ ρρ

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