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Transformée de Fourier discrète et et transformée de Fourier rapide Thomas LAMOTTE.

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1 Transformée de Fourier discrète et et transformée de Fourier rapide Thomas LAMOTTE

2 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 2 La transformée de Fourier discrète Signal analogique –La transformée de Fourier X( ) d ’un signal analogique x(t) est donnée par : t représente le temps et f les fréquences –C ’est une opération de projection de x(t) sur l ’exponentielle. Signal discrétisé et périodisé –Considérons une suite finie de N échantillons d’un signal discrétisé et périodisé. –On définit sa transformée de Fourier discrète (TFD) comme la suite

3 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 3 La transformée de Fourier discrète –De même, on définit la transformée de Fourier inverse (ITFD) par: Interprétation vectorielle : –Les éléments de la suite peuvent être vus comme les composantes d ’un vecteur x dans un espace à N dimensions. X est alors une combinaison linéaire de N vecteurs de base w k où les composantes de chaque vecteur w k sont donnés par la suite –Exemple : Considérons une TFD sur 16 valeurs, on peut tracer les parties réelles des composantes des cinq premier vecteurs de base w k

4 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 4 La transformée de Fourier discrète –La décomposition peut alors être exprimée sous la forme matricielle : X = Wx T où x T désigne la transposée de x

5 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 5 La transformée de Fourier rapide Complexité d ’une TFD –Pour la TFD, il y a N² multiplications complexes N(N-1) additions complexes –Les multiplications complexes ont une durée d ’exécution beaucoup plus longue que les additions. Algorithmes de transformée de Fourier rapide (TFR) ou Fast Fourier Transform (FFT) –Dans les algorithme de transformée de Fourier rapide, le nombre d ’opération est considérablement réduit. – Il en existe plusieurs : TFR avec entrelacement temporel TFR avec entralacement temporel TFR en base 4 TFR en base double –Le plus connu est l’algorithme de Cooley- Tukey. Algorithme de Cooley-Tuckey –Soit {X(k)}, la TFD d ’une suite {x(n)} de longueur N=2 M, –avec A(k) respectivement B(k) la transformée de Fourier de x(2n) respectivement x(2n+1)

6 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 6 La transformée de Fourier rapide Algorithme de Cooley-Tukey –La TFD peut s’écrire en séparant indices pairs et impairs: –On aboutit à deux transformées de longueur N/2. X p correspond à la transformée des indices d’échantillons pairs et X i à celle des indices impairs. –Il est possible de subdiviser encore X p en X pp et x pi en séparant les indices pairs et impairs et de même pour les indices impairs x i en x ip et x ii. Il est possible de réitérer plusieurs fois cette méthode.

7 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 7 La transformée de Fourier rapide Exemple : –Prenons 8 échantillons, qui ont les valeurs successives suivantes: x 0,x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 x 6,x 7,x 8. –La TFD se présente ainsi :

8 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 8 La transformée de Fourier rapide –Prenons la ligne X 1, en séparant les échantillons paires/impairs, puis en factorisant les échantillons impairs, on obtient: –Les termes des couples x 0 -x 1, x 2 -x 3, x 4 -x 5, x 6 -x 7 sont identiques à un facteur près, donc on peut encore subdiviser : –On peut montrer facilement, a) b) –D’où l’écriture suivante :

9 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 9 La transformée de Fourier rapide –Le calcul de certains terme revient plusieurs fois, on peut donc diminuer le nombre d’opérations à réaliser à l’aide d’ opérations « butterfly » – Opérations « Butterfly » ou papillon –Le calcul « Butterfly » est le suivant : ……. a b

10 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 10 Application à la FFT Remarque : –Ce schéma de calcul peut être implanté dans des DSP –Nombre de calculs N/2log 2 N La transformée de Fourier rapide x0x4x2x6x1x5x3x7x0x4x2x6x1x5x3x7 X0X1X2X3X4X5X6X7X0X1X2X3X4X5X6X7 cc Signal Transformée de Fourier

11 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 11 La transformée de Fourier rapide Incrément en « reverse carry » –Les couples d’échantillons doivent être choisis selon un ordre particulier. Cette incrémentation est appelée « reverse carry » (retenue inverse). –L’incrémentation conssite à additionner N/2 à l’indice puis à reporter la retenue à droite plutôt qu’à gauche. –Exemple: N= 8 N/2=4 soit 100 En retenue « non inverse » : = 1000 = 8 En retenue « inverse » : = 010 = 2 –Le 1 passe de la gauche vers la droite –On peut aussi arranger les valeurs de fréquence selon l’incrémentation « reverse carry » : Exemple pour 8 échantillons

12 Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide 12 La transformée de Fourier rapide X0X4X2X6X1X5X3X7X0X4X2X6X1X5X3X7 x0x1x2x3x4x5x6x7x0x1x2x3x4x5x6x7 cc Signal Transformée de Fourier


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