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Résolution déquation du second degré Deux exercices résolus détaillés et expliqués Accessible dès la quatrième!

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1 Résolution déquation du second degré Deux exercices résolus détaillés et expliqués Accessible dès la quatrième!

2 Problème n°1 Résoudre léquation (x-1) 2 – 9 = 0

3 Ainsi on remarque mieux que 9 est le carré de 3 et donc quon est en présence dune différence de deux carrés. Lidentité remarquable a 2 - b 2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (x-1) et b = 3 donc : (x-1) 2 -9 = [(x-1)+3] [(x-1)-3] Pour factoriser (x-1) on peut dabord transformer léquation de la façon suivante (x-1) = (x-1) ère étape : Factorisation

4 On peut maintenant enlever les parenthèses à lintérieur des crochets pour simplifier lexpression ce qui nous donne : (x-1) 2 -9 = [x-1+3] [x-1-3] = (x-1+3) (x-1-3) doù(x-1) 2 -9 = (x+2) (x-4)

5 Pour quun produit soit nul il suffit quun des deux membres du produit soit nul. On recherchera donc la solution de x+2 = 0 et la solution de x-4 = 0 pour obtenir les deux solutions de léquation complète. Résoudre (x-1) 2 -9 = 0 revient donc à résoudre léquation (x+2) (x-4) = 0 2 nde étape : Résolution de léquation

6 Il faut prendre une équation comme une balance à deux plateaux. Ceux-ci contiennent chacun le même poids puisquil y a égalité. Si on veut garder léquilibre on peut ajouter nimporte quel poids sur un plateau à la condition de rajouter le même poids sur lautre plateau. 2 nde étape : Résolution de léquation

7 Pour ne garder que X sur le plateau de gauche il faut annuler 2 en ajoutant –2 (son opposé) Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –2 sur le plateau de droite X+20 = X =

8 Il ny a plus quà simplifier les deux termes de légalité Pour obtenir la première solution de léquation X = X-2 =

9 2 nde étape : Résolution de léquation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre léquation X + 2 = 0 x + 2 – 2 = 0 – 2 x = -2 X - 4 = 0 x – = x = 4

10 2 nde étape : Résolution de léquation Lensemble des solutions de léquation (x-1) 2 – 9 = 0 est donc S = {-2;4}

11 Problème n°2 Résoudre léquation (2x-3) 2 – 16 = 0

12 Ainsi on remarque mieux que 16 est le carré de 4 et donc quon est en présence dune différence de deux carrés. Lidentité remarquable a 2 - b 2 = (a+b) (a-b) est utilisable avec a = (2x-3) et b = 4 donc : (2x-3) = [(2x-3)+4] [(2x-3)-4] On peut maintenant enlever les parenthèses à lintérieur des crochets pour simplifier lexpression ce qui nous donne : (2x-3) = [2x-3+4] [2x-3-4] = (2x-3+4) (2x-3-4) doù(2x-3) = (2x+1) (2x-7) Pour factoriser (2x-3) on peut dabord transformer léquation de la façon suivante (2x-3) = (2x-3) ère étape : Factorisation

13 Pour quun produit soit nul il suffit quun des deux membres du produit soit nul. On recherchera donc la solution de 2x+1 = 0 et la solution de 2x-7 = 0 pour obtenir les solutions de léquation complète. Résoudre (2x-3) = 0 revient donc à résoudre léquation (2x+1) (2x-7) = 0 2 nde étape : Résolution de léquation

14 Réutilisons notre principe de la balance à deux plateaux. Sans oublier quil faut garder léquilibre entre les deux plateaux. 2 nde étape : Résolution de léquation

15 Pour ne garder que 2X sur le plateau de gauche il faut annuler 1 en ajoutant –1 (son opposé) Puis rééquilibrer la balance en ajoutant –1 sur le plateau de droite 2X+10 = 2X =

16 Il ny a plus quà simplifier les deux termes de légalité Ce nest pas encore suffisant puisque cest la valeur de X et pas de 2X que nous cherchons 2X = 2X =

17 Pour ne garder que X sur le plateau de gauche il faut multiplier 2 par son inverse, soit ½ Puis rééquilibrer la balance en multipliant par ½ sur le plateau de droite, ce qui peut aussi sécrire : ½. 2X½. (-1) = ½. 2X =

18 Il ny a plus quà simplifier les deux termes de légalité Pour obtenir la première solution de léquation (½. 2)X - (½.1) = X- ½ =

19 2 nde étape : Résolution de léquation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre léquation 2X + 1 = 0 2x + 1 – 1 = 0 – 1 2 x = -1 ½. 2x = ½. (-1) x = - ½ Pour le premier terme de léquation

20 2 nde étape : Résolution de léquation Voilà une façon un peu plus classique pour résoudre léquation 2X - 7 = 0 2x – = x = 7 ½. 2x = ½. (7) x = 7 / 2 Pour le second terme de léquation

21 2 nde étape : Résolution de léquation Lensemble des solutions de léquation (2x-3) 2 – 16 = 0 est donc S = {-1/2;7/2}

22 Petits conseils Nous navons utilisé que lidentité remarquable a 2 – b 2 = (a-b)(a+b) pour notre petite démonstration. Noubliez pas les autres a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 et a 2 – 2ab + b 2 = (a - b) 2 Cherchez toujours à factoriser à chaque fois que vous voudrez résoudre une équation dun degré supérieur ou égal à 2.

23 Remarques Quand vous cherchez à résoudre une équation, pensez au principe de la balance à deux plateaux et noubliez pas les deux règles dalgèbre indispensables à la résolution déquations : La somme dun nombre et de son opposé est égale à 0 Le produit dun nombre et de son inverse est égal à 1


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