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Exemple en dynamique de population Q1 Quel est le taux daccroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?

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Présentation au sujet: "Exemple en dynamique de population Q1 Quel est le taux daccroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?"— Transcription de la présentation:

1 Exemple en dynamique de population Q1 Quel est le taux daccroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ? Q2 La structure en âge est-elle stable ? Au bout dun certain temps, le rapport des deux classes dâge se stabilise :

2 Exemple en dynamique de populaiton Q1 Quel est le taux daccroissement de cette population ? Q2 La structure en âge est-elle stable ? t grand

3 Diagonalisation dune matrice : exemple Au bout dun certain temps, le rapport des deux classes dâge se stabilise donc

4 Diagonalisation dune matrice : exemple Léquation vérifiée par une structure en âge stable est M N = N M N - N = 0 (M – Si det non nul alors une solution unique Si det = 0 (matrice non inversible) : soit 0 solution, soit une infinité Or N = 0 est forcement solution, donc si on veut des solutions N non nul, il faut que det (M –

5 Diagonalisation dune matrice : exemple det (M – On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 valeur propre vecteur propre

6 Diagonalisation dune matrice : exemple On a deux valeurs possibles : = 2 et = -1 valeur propre vecteur propre

7 Diagonalisation dune matrice : exemple Réponse à la question Q1 : Que devient cette population à long terme ? On écrit le vecteur N 0 dans la base des vecteurs propres N 1 et N 2 associés aux deux valeurs propres 1 = 2 et 2 = -1 : N 0 = a N 1 + b N 2 Avec M N 1 = 1 N 1 et M N 2 = 2 N 2

8 Diagonalisation dune matrice : exemple Que devient cette population à long terme ? La plus grande des deux valeurs propres (en valeur absolue) est le taux daccroissement de la population : la population augmente si ce taux est >1 1 = 2, 2 = -1 t grand

9 Diagonalisation dune matrice : exemple Réponse à la question Q2 : Structure en âge stable ? si la population double chaque année ( = 2) alors la structure en âge tend à se stabiliser au bout dun certain temps : il y a 4 fois plus dindividus de 1 an que dindividus de 2 ans. (Lautre valeur, = -1, na pas de signification biologique) Problèmes 3.1 et 3.2 fascicule TT

10 Diagonalisation dune matrice Réduction des endomorphismes Généralités Une application en génétique

11 Un exemple en génétique Une espèce autogame diploïde Auto-fécondation Aa, AA ou aaUn gène bi-allélique Aa, AA ou aa Quelle est lévolution de la structure génétique de cette population à long terme ? AA (p k )aa (r k )Aa (q k ) 1/4 1/2 1/4 AAaaAAAaaa Cf. Problème 3.3 en TT

12 Les équations

13 Objectif On dit alors que f est diagonalisable On peut associer une application linéaire à la matrice A : f Trouver une base telle que la matrice de f devienne diagonale : (P matrice de passage)

14 Vecteurs et valeurs propres Théorème f : E-> E est diagonalisable si/si il existe une base de E formée de vecteurs propres. (V est la matrice colonne des coordonnées du vecteur )

15 1. Recherche des valeurs propres Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique :

16 Retour à lexemple en génétique

17 2. Recherche des vecteurs propres Théorème f est diagonalisable si/si pour chaque valeur propre i de multiplicité i, on a dim E = i.

18 Suite de lexemple A est diagonalisable

19 3. Diagonaliser Rq 1 : Les vecteurs propres forment une base. P est bien une matrice de passage Rq 2 : Lordre des valeurs propres dans D dépend de celui des vecteurs propres dans P.

20 Calculer A k On a D = P -1 A P, quelques rappels :

21 Conclusion de lexemple = 1 = 1/2 Rq2

22 Conclusion biologique de lexemple Problème 4.2 en TT Que deviennent les fréquences p (AA), q (Aa) et r (aa) à long terme : quand k tend vers linfini ?

23 Application en génétique et application en dynamique de population La plus grande des valeurs propres EX en dynamique de population : 1 est le taux daccroissement et les vect.p. {n i } représentent la structure en âge de la population, à long terme. EX en génétique (ou le blé) : 1 = 1 et les vect.p. représentent les fréquences, à long terme.

24 Produit scalaire et orthogonalité MathSV chapitre 5

25 Le produit scalaire canonique Lespace vectoriel muni de son produit scalaire canonique est appelé espace euclidien de dimension n. Notation matricielle :

26 Norme

27 Normalisation

28 Orthogonalité La base canonique de lespace euclidien est une base orthonormale : (Exercice : verifier que la base canonique de IR 2 est orthonormée)

29 Projecteur orthogonal Le vecteur projeté de sur est le vecteur :

30 Distance euclidienne


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