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Analyse Dominique Allainé Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive.

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1 Analyse Dominique Allainé Laboratoire Biométrie et Biologie Evolutive

2 Objectif général du cours Apprendre à utiliser le langage mathématique pour résoudre des situations où interviennent des phénomènes biologiques Apprendre les concepts de base et se familiariser avec les usages et les significations de ces concepts en fonction de la situation biologique

3 Déterminisme et Hasard Peut-on prédire lévolution au court du temps dun phénomène biologique ?

4 Etude de fonction Modéliser le phénomène par une fonction Déterminer les propriétés de la fonction Interpréter en termes biologiques

5 Chapitre 1 Fonctions - Généralités

6 La température dune souris (z) en laboratoire est approximativement avec c constante La température dun lézard (y) en fonction de la température de l'air à l'ombre (x) est approximativement Application de dans qui à un point x de fait correspondre un point UNIQUE y = f(x) dans.

7 Fonctions polynômes Fonctions polynômes Fonctions homographiques Fonctions homographiques Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques La fonction logarithme népérien : ln La fonction logarithme népérien : ln La fonction exponentielle : e La fonction exponentielle : e Fonctions puissances Fonctions puissances Fonctions usuelles

8 Polynômes Polynôme de degré 4 Polynôme de degré 3 Trinôme de degré 2 Fonction linéaire

9 Fonctions trigonométriques

10 La fonction logarithme népérien Mesurer la magnitude dun tremblement de terre A: amplitude des oscillations, T: période Japon 1906 Chili 1960 M = ln(A/T ) A/T

11 La fonction exponentielle Croissance dune population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi lEurope dEst en Ouest et arrivent en Grande Bretagne :1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964

12 Fonctions puissances m = 1.54

13 Fonction réciproque

14 Fonction composée

15 Plan détude dune fonction A. D f B. Symétrie C. Limites/continuité D. Asymptotes E. Sens de variation F. Concavité/convexité G. Tableau de variation H. Graphe

16 A. Domaine de définition D f = Domaine de définition Ensemble de départ (ensemble des antécédents) = lensemble des x f f(D f ) = Ensemble darrivée (ou ensemble des images) = lensemble des y

17 Fonction paireFonction impaire B. Symétrie : paire ou impaire ?

18 Une fonction est continue en x 0 si elle est continue à droite et à gauche en x 0 C. Limite - Continuité

19 Théorème des valeurs intermédiaires Soit f continue sur [a;b]

20 C. Limite - Continuité Si les valeurs successivement attribuées à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, alors cette dernière est appelée la limite de toutes les autres. Cauchy, 1821

21 Opérations sur les limites Formes indéterminées

22 D. Asymptotes Si il y a une asymptote verticale passant par x = x 0 Si il y a une asymptote verticale passant par x = x 0 Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote horizontale passant par y = l Si il y a une asymptote oblique déquation y = ax+b Si il y a une asymptote oblique déquation y = ax+b si

23 Asymptotes Si la courbe de f sapproche infiniment près dune droite, celle-ci sappelle une asymptote Asymptote oblique Asymptote verticale


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