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Chapitre 4: Caractérisation des systèmes. Performances d un système asservi Comportement d un « bon » système asservi : –après un changement de consigne.

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1 Chapitre 4: Caractérisation des systèmes

2 Performances d un système asservi Comportement d un « bon » système asservi : –après un changement de consigne ou une perturbation, la mesure doit atteindre la consigne, le plus rapidement possible et sans oscillations intempestives 3 notions fondamentales à caractériser : –la précision statique (la mesure doit atteindre la consigne) –la rapidité (le plus rapidement possible) –la stabilité (sans oscillations intempestives)

3 Nécessité d une caractérisation A partir de la connaissance de la FT ou d essais expérimentaux, il s agit de déterminer certaines grandeurs représentatives des performances du système asservi. 2 approches peuvent être utilisées : –temporelle –fréquentielle

4 4.1 Approche temporelle

5 Principe –Si le système ne comporte pas d intégration, 2 types de réponse sont possibles : Système t e(t)A y(t) ? Réponse apériodique Réponse oscillatoire amortie

6 Réponse temporelle –La réponse peut être décomposée en deux parties : t y(t) Régime transitoire Régime permanent

7 Le gain statique - détermination temporelle –Le gain K caractérise le régime permanent : t y(t) t e(t) e y

8 Caractérisation du régime transitoire –Attention à la détermination de t r et t D1 et D 1 : t y(t) 105 % 100 % 95 % trtr t D1 Ici D 1 = 8 %

9 4. 2 Approche fréquentielle

10 Approche fréquentielle On s intéresse : –au rapport d amplitude (le gain) : –au déphasage : entre les signaux d entrée-sortie en fonction de la pulsation : Le gain et le déphasage sont respectivement le module et l argument du nombre complexe H(j ) correspondant à la FT H(p) :

11 Diagrammes Dans l approche fréquentielle, on utilise 2 types de diagramme : –diagramme de Bode :

12 Diagramme de Bode 2 courbes : – G, le module de H, exprimé en dB en fonction de –, le déphasage, exprimé en degré en fonction de

13 La bande passante Bande passante, B, domaine fréquentiel à l intérieur duquel le module de H reste compris entre 2 bornes : La pulsation correspondant à l atténuation de - 3 dB est appelée pulsation de coupure, c plus la bande passante est élevée, plus le système est rapide

14 4.3 Systèmes du premier ordre

15 Remarque préalable Mathématiquement, un système du 1 er ordre est régit par une équation différentielle du 1 er ordre :

16 3.2.1 Systèmes du premier ordre de type K/(1+Tp)

17 Fonction de transfert Système régit par une équation différentielle du 1 er ordre sur la sortie : Exemple : filtre RC –K : gain statique –T : constante de temps

18 Réponse à un échelon Echelon d amplitude A : Régime permanent Transitoire

19 Diagramme de Bode 2 asymptotes qui se coupent pour = 1/T = c -20 dB / décade Le déphasage évolue entre 0 et - 90° ( c ) = - 45°

20 4.2.2 Autres systèmes du premier ordre

21 Système de type K(1+Tp) Les systèmes de ce type ne représentent pas des systèmes physiques ; ils correspondent à des filtres ou des correcteurs. Dans ce contexte, ils ne sont pas utilisés seuls. Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/(1+Tp)

22 Système intégrateur Equation différentielle : Exemple : Système « instable » Système de type 1 (une intégrale) 1/p Vitesse axe moteur Position axe moteur t e(t)A t y(t)At

23 Système intégrateur Diagramme de Bode : –pente -20 dB/décade –déphasage = -90° Gain statique en dB Gain statique K

24 Système intégrateur Diagramme de Nyquist Demi-droite sur l axe imaginaire négatif

25 Système dérivateur Equation différentielle : Exemple : Génératrice tachymétrique –Pour obtenir le diagramme de Bode, il suffit de changer les signes du gain et du déphasage des résultats obtenus pour K/p. De même pour Nyquist : demi-droite sur l axe imaginaire positif. K p Position arbre Tension génératrice

26 3.3 Systèmes du deuxième ordre

27 Forme générale Système régit par une équation différentielle du 2 ème ordre sur la sortie : Exemple : partie mécanique d un galvanomètre : angle de déviation J : moment d inertie k : coefficient de raideur du ressort f : coefficient de frottement : couple exercé sur le galvanomètre

28 Fonction de Transfert K : gain statique n : pulsation propre non amortie Z : facteur d amortissement Selon Z, le dénominateur admet : 2 racines réelles, c est un système apériodique 2 racines complexes conjuguées, c est un système résonant

29 3.3.1 Réponse temporelle

30 Réponse indicielle 2 comportements distincts selon Z : * - { } -- Mode non oscillatoire Mode oscillatoire amorti

31 Système apériodique Produit de 2 systèmes du 1 er ordre : Réponse à un échelon d amplitude A : Temps de réponse : Régime permanent Transitoire

32 Pseudo-pulsation Système oscillatoire amorti Echelon d amplitude A : Temps de réponse : Amplitude et temps du 1 er dépassement : Régime permanent Transitoire

33 Réponse indicielle en fonction de Z Il n existe pas de relation simple pour exprimer le temps de réponse t r. Il est minimum pour Z = 0.7 Z = 0.1 Z = 5

34 Réponse indicielle en fonction de n Plus la pulsation est grande, plus le système est rapide n = 1 n = 0.3 n = 3

35 La tangente à l origine 1 er ordre : tangente verticale 2 ème ordre : tangente horizontale

36 3.3.2 Réponse fréquentielle

37 Grandeurs caractéristiques Pulsation de coupure Pulsation de résonance Facteur de résonance

38 Diagramme de Bode Système apériodique 2 asymptotes qui se coupent pour = n les asymptotes sont toujours « sur » la courbe - 40 dB/décade Le déphasage évolue entre 0 et - 180° ( n ) = - 90° n

39 Diagramme de Bode Système oscillatoire amorti 2 asymptotes qui se coupent pour = n - 40 dB/décade Le déphasage évolue entre 0 et - 180° ( n ) = - 90° n r

40 Diagramme de Bode fonction de Z Z = 0.1 Z = 5 Z = 0.1 Z = 5

41 Diagramme de Bode fonction de n n = 0.3 n = 1 n = 3 n = 0.3 n = 1

42 Diagramme de Nyquist Limite de résonance Apériodique : Oscillatoire amorti : Tangente horizontale pour

43 Diagr. de Nyquist fonct. de Z et n Z = 0.1 Z = 0.3 À Z et K constants, le tracé ne change en fonction de n


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