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Transformée de Laplace GPA535. (C) R. AISSAOUI1. Objectifs du cours Revoir les nombres complexes et le théorème dEuler Revoir la transformée de Laplace.

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1 Transformée de Laplace GPA535. (C) R. AISSAOUI1

2 Objectifs du cours Revoir les nombres complexes et le théorème dEuler Revoir la transformée de Laplace Détermination de la fonction de transfert Décomposition de la réponse en fractions partielles Introduction à la modélisation GPA535. (C) R. AISSAOUI2

3 Introduction Pour effectuer lanalyse et la synthèse dun système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs dentrée et ses grandeurs de sorties. Lensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système. GPA535. (C) R. AISSAOUI3

4 Introduction La mise en équations dun système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent. GPA535. (C) R. AISSAOUI4

5 Introduction des lois de la mécanique pour les mouvements des corps solides en translations et/ou en rotation des lois de lélectricité pour les circuits électriques (Les systèmes à composants passifs et actifs) des lois magnétiques (moteur à courant continu,…) des lois de lécoulement des fluides la thermodynamique… GPA535. (C) R. AISSAOUI5

6 Mécanique (Loi de Newton) En translation : somme des forces agissant sur un corps = accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment dinertie par rapport au centre de gravité GPA535. (C) R. AISSAOUI6

7 Loi de lélectricité (loi de Kirchhoff) Somme des tensions dans une maille est nulle Somme des courants traversant un nœud est nulle GPA535. (C) R. AISSAOUI7

8 8 Il sagit de trouver un formalisme qui permet de relier lentrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers dun système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade.

9 SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.) GPA535. (C) R. AISSAOUI9

10 Transformée de Laplace Cest une méthode opérationnelle pour la résolution des équations différentielles. Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous forme de fonctions algébriques à variable complexe. Lintégration et la dérivation peuvent être remplacées par une opération algébrique dans le plan complexe. La transformée de Laplace permet lutilisation de techniques graphiques pour prédire la performance dun système sans résoudre le système. La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent. GPA535. (C) R. AISSAOUI10

11 Transformée de Laplace GPA535. (C) R. AISSAOUI11 Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple : Conditions initiales nulles Conditions initiales

12 Variable complexe et fonction complexe GPA535. (C) R. AISSAOUI12 Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante: Complexe conjugué Complexe

13 Représentation géométriques des nombres complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI13 Im On définit alors: Module de s Phase de s Re 0 M s +

14 Opérations dans lensemble des complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI14 Addition: Multiplication:

15 Division de 2 nombres complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI15

16 GPA535. (C) R. AISSAOUI16 Exemples: déterminer le module et largument des complexes suivants

17 Fonctions TI - Matlab GPA535. (C) R. AISSAOUI17

18 THÉORÈME DEULER GPA535. (C) R. AISSAOUI18 Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus sécrivent:

19 THÉORÈME DEULER GPA535. (C) R. AISSAOUI19 Or on sait que la fonction e x se développe par Alors le théorème dEuler:

20 GPA535. (C) R. AISSAOUI20 Alors THÉORÈME DEULER

21 GPA535. (C) R. AISSAOUI21 Tout nombre complexe peut sécrire sous une forme exponentielle

22 VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite) GPA535. (C) R. AISSAOUI22 Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et sécrit: Où Fx et Fy sont des quantités réelles. +

23 GPA535. (C) R. AISSAOUI23 EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE

24 Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI24

25 Exemple - TI GPA535. (C) R. AISSAOUI25

26 GPA535. (C) R. AISSAOUI26 TRANSFORMÉE DE LAPLACE Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe Et L désigne lopérateur de la T.L. alors: Condition dexistence = convergence de lintégrale

27 GPA535. (C) R. AISSAOUI27 TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE Le processus inverse est définit: Où c est labscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de lintégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON NUTILISERA PAS CETTE FORME

28 GPA535. (C) R. AISSAOUI28 SIGNAUX DE COMMANDE ( Tableau 1.1 p.19)

29 GPA535. (C) R. AISSAOUI29 TRANSFORMÉE DE LAPLACE (Tableau 2.1p. 41)

30 GPA535. (C) R. AISSAOUI30 TRANSFORMÉE DE LAPLACE Fonction sinus amortie Fonction cosinus amortie

31 GPA535. (C) R. AISSAOUI31 Propriétés de la transformée de Laplace Linéarité (items 2 et 3) Décalage fréquentiel (item 4) Décalage temporel (item 5) Modification déchelle (item 6) Dérivation (items 7, 8 et 9) Intégration (item 10) Théorème de la valeur finale (item 11) Théorème de la valeur initiale (item 12)

32 GPA535. (C) R. AISSAOUI32 Propriétés des transformée de Laplace

33 GPA535. (C) R. AISSAOUI33 Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques. Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière. Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue. La transformée de Laplace sert à :

34 GPA535. (C) R. AISSAOUI34 FONCTION DE TRANSFERT

35 Étape à suivre pour déterminer la réponse dun système GPA535. (C) R. AISSAOUI35 1.Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties. 2.Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff) 3.Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s)) 4.Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s) 5.Déterminer la réponse à partir de C(s) 6.C(s) = N(s) / D(s) 7.Décomposer en fraction partielle 8.Identifier les composants et leurs transformée de Laplace inverse (Tables)

36 Décomposition en fraction partielle dune fonction complexe Les racines du dénominateur et distincts Les racines du dénominateur sont réelles et multiples Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires pures GPA535. (C) R. AISSAOUI36

37 Racines réelles distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI37 Pour déterminer K 1 On donne à s la valeur qui annule le terme de K 2 (s+1=0) donc s =-1

38 Racines réelles distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI38 La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t)

39 Racines réelles distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI39

40 Exemple GPA535. (C) R. AISSAOUI40

41 Réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI41

42 Racines réelles multiples et distinctes GPA535. (C) R. AISSAOUI42

43 GPA535. (C) R. AISSAOUI43

44 Racines complexes GPA535. (C) R. AISSAOUI44

45 Exemple 1 racines multiples (TI) GPA535. (C) R. AISSAOUI45

46 Exemple 1 (TI) GPA535. (C) R. AISSAOUI46

47 Racine complexe GPA535. (C) R. AISSAOUI47

48 Ça ne fonctionne pas ? GPA535. (C) R. AISSAOUI48

49 Utilisation de s_ à la place de s GPA535. (C) R. AISSAOUI49

50 La réponse GPA535. (C) R. AISSAOUI50

51 La réponse temporelle GPA535. (C) R. AISSAOUI51

52 Quelle est la forme de f(t)? GPA535. (C) R. AISSAOUI52 Sinusoide amortie

53 Exemple GPA535. (C) R. AISSAOUI53

54 Exemple -3 Soit léquation différentielle suivante : Déterminer la réponse C(s) dans le domaine de Laplace en fonction de R(s) (conditions initiales nulles) GPA535. (C) R. AISSAOUI54

55 Exemple -3 Déterminer la valeur de la réponse c(t) à linstant t tend vers linfini en supposant que lentrée r(t) est une fonction échelon de valeur 4 GPA535. (C) R. AISSAOUI55


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