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La distribution normale. Plan Distribution de fréquences: page 3 Distribution de fréquences: page 3 Distribution normale: page 14 Distribution normale:

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1 La distribution normale

2 Plan Distribution de fréquences: page 3 Distribution de fréquences: page 3 Distribution normale: page 14 Distribution normale: page 14 Théorème central limite: page 26 Théorème central limite: page 26 Utilisation de la distribution normale standardisée: page 33 Utilisation de la distribution normale standardisée: page 33

3 Idée de la distribution normale On lance 2 dés et on regarde la somme On lance 2 dés et on regarde la somme = 7 Le nombre totale de possibilités est de : 6x6=36 possibilités

4 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 10

5 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 50

6 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 200

7 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 1000

8 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 5000

9 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais =

10 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais =

11 Résultats théoriques SommePossibilité 2(1,1) 3(1,2)(2,1) 4(1,3)(2,2)(3,1) 5(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 6(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) 7(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 8(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 9(3,6)(4,5)(5,4)(6,3) 10(4,6)(5,5)(6,4) 11(5,6)(6,5) 12(6,6)

12 Probabilité%SommePossibilités 1/362,782(1,1) 2/365,563(1,2)(2,1) 3/368,334(1,3)(2,2)(3,1) 4/3611,115(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 5/3613,896(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1) 6/3616,677(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 5/3613,898(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) 4/3611,119(3,6)(4,5)(5,4)(6,3) 3/368,3310(4,6)(5,5)(6,4) 2/365,5611(5,6)(6,5) 1/362,7812(6,6) Somme=36/36Somme = 100

13 Simulation par Monte Carlo Distribution déchantillonnage de la somme de 2 dés

14 Distribution normale Ce type de distribution est rencontrée régulièrement dans la nature (grandeur, poids, habiletés, propriétés psychologiques, etc.) Existe-il une formule mathématique qui pourrait ajuster ces données empiriques ?

15 Distribution normale Distribution déchantillonnage de la somme de 2 dés

16 Distribution normale Définition: fonction mathématique qui décrit des phénomènes pour un n élevé. Propriétés: - Unimodale et symétrique (autour de la moyenne) - Mode = Médiane = Moyenne - Asymptotique à labscisse (la courbe ne touche jamais laxe des x) = 50 = 2 Fonction de densité

17 Probabilité dobservation Quelle est la probabilité dobtenir une somme de 8 ? p(8) =Aire du bâtonnet p(8) = base hauteur p(8) = 1 5/36 = 5/36 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/

18 Probabilité dobservation Supposons que la taille des bâtonnets est divisée en 2 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/ /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/

19 Probabilité dobservation Encore et encore … 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/ /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/

20 Probabilité dobservation … infini 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/ /36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/

21 Probabilité dobservation Quelle est la probabilité dobtenir une somme de 8 ? p(8) =Aire du bâtonnet p(8) = 0 hauteur p(8) = 0 5/36 = 0 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/ On ne peut donc plus connaître la probabilité dune somme donnée !

22 Fréquences cumulatives Solution: Fréquences cumulatives Si on veut p(8), alors on fait la différence entre 2 fréquences cumulatives => f.c.(8)-f.c.(7) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/ f.c.(8) = ( )/36=26/36 f.c.(7) = ( )/36=21/36 => f.c.(8) - f.c.(7) = (26-21)/36 = 5/36

23 Distribution normale De façon similaire, pour connaître la probabilité dun score x quelconque sous la courbe normale, il faut calculer laire sous la courbe (intégrer) de - jusquà x. Fonction de densité cumulée x x

24 Distribution normale standard Comme il existe une infinité de valeurs que peuvent prendre les paramètres et, par convention on parle de distribution normale standard si = 0 et = 1. Z PDF

25 Distribution normale standard Ex. z = -1,75

26 Théorème central limite Même si la distribution initiale nest pas normale, la distribution des moyennes déchantillonnage le sera Ex.: x={1, 1, 1, 2, 2, 3}

27 Théorème central limite Exemple x={1, 1, 1, 2, 2, 3} On tire des échantillons n=10 un très grand nombre de fois. Pour chaque série on calcul la moyenne. t1={2,2,3,2,3,3,2,2,1,3}=> moyenne = 2.3 t2={3,2,2,2,1,2,1,2,2,2} => moyenne = 1.9 t3={1,1,3,2,1,2,1,2,1,1} => moyenne = 1.5 t = {1,2,1,3,2,1,3,1,3,3} => moyenne = 2.0 Puis, on regarde la distribution de ces moyennes.

28 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 10 Moyenne = Écart-type = 0.225

29 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 100 Moyenne = 1,663 Écart-type = 0,232

30 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = 1000 Moyenne = 1,666 Écart-type = 0,240

31 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = Moyenne = 1,668 Écart-type = 0,235

32 Simulation par Monte Carlo Nombre dessais = Moyenne = 1,668 Écart-type = 0,235

33 Utilisation de la distribution normale Solution: Transformation en score z Quelle est la proportion de données qui est en dessous dun score spécifique ? Logique de cette transformation :Soustrait une quantité de la distribution. Moy = 50 É.-t. = 2 Pour utiliser la table des z, il faut transformer toute distribution normale en une distribution normale standardisée ( =0, =1) Moy = 0 É.-t. = 1

34 Utilisation de la distribution normale Moy = 50 É.-t. = 2 Moy = 0 É.-t. = 1 distribution-10 distribution-20 Moy = 30 É.-t. = 2 Moy = 40 É.-t. = 2

35 Utilisation de la distribution normale Moy = 0 É.-t. = 1 distribution-30 distribution-40 Moy = 30 É.-t. = 2 Moy = 20 É.-t. = 2 Moy = 10 É.-t. = 2

36 Utilisation de la distribution normale Moy = 0 É.-t. = 1 distribution-50 Moy = 10 É.-t. = 2 Moy = 0 É.-t. = 2 Donc, si on soustrait la moyenne de la distribution, sa nouvelle moyenne sera effectivement 0.

37 Utilisation de la distribution normale (distribution-50)/1.25 -On divise le résultat de la soustraction par une autre quantité Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 2 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 1.75

38 Utilisation de la distribution normale (distribution-50)/1.5 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 1.5 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = Divise le résultat de la soustraction par une autre quantité

39 Utilisation de la distribution normale (distribution-50)/1.75 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 1. 5 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = Divise le résultat de la soustraction par une autre quantité

40 Utilisation de la distribution normale (distribution-50)/2 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 1 - Divise le résultat de la soustraction par une autre quantité

41 Utilisation de la distribution normale (distribution-50)/2 Moy = 0 É.-t. = 1 Moy = 0 É.-t = 1 Donc, si on soustrait la moyenne de la distribution, sa nouvelle moyenne sera effectivement 0. Et si on divise le résultat de cette soustraction par lécart- type, alors le nouvel écart-type de la distribution sera de 1. - Divise le résultat de la soustraction par une autre quantité

42 Utilisation de la distribution normale suite Solution: Transformation en score z (nombre décart types standards entre x et la moyenne) Quelle est la proportion de données qui est en dessous dun score spécifique ? Ex.1 : x = 3,70 moy = 2,93 é.t. = 0,33

43 Utilisation de la distribution normale suite Quelle est la proportion de données qui est au dessus dun score spécifique ? Ex.2 : x = 2,50 moy = 2,93 é.t. = 0,33

44 Utilisation de la distribution normale suite Quelle est la proportion de données qui est comprise entre 2 scores spécifiques ? Ex.3 : x 1 = 3,00 ; x 2 = 2,85 moy = 2,93 é.t. = 0,33

45 Utilisation de la distribution normale suite Quelle est la proportion de données qui est comprise entre 2 scores spécifiques ?

46 Utilisation de la distribution normale suite À quel score correspond une proportion de 85% en dessous de la moyenne ? Ex.4 : x = ? moy = 2,93 é.t. = 0,33


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