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ELG3575 3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales.

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1 ELG La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités spectrales

2 Transformée de Fourier dun signal périodique Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe. Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors : Sa transformée de Fourier est donnée par:

3 Exemple

4 |X(f)| f A/ 2A/3 2A/5 2A/ 2A/3 2A/5

5 Réponse en fréquence dun système linéaire et invariant en temps Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t). Pour un signal dentré x(t), la sortie du système y(t) est Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F {y(t)} qui est donné par : où X(f) = F {x(t)} est le spectre de lentrée et H(f) = F {h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI. La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :

6 Exemple H(f) = ?

7 Solution H(f) = F {h(t)} = 20log|H(f)| f 0dB 1/(2 RC) -20dB/decade

8 Exemple 2 Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2 f o t. –Solution Le spectre de la sortie est: Y(f)Y(f)

9 Réponse en amplitude et réponse en phase Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence f o du système et est sa réponse en phase à la fréquence f o.

10 Réponse en amplitude et réponse en phase

11 Exemple La sortie dun système LTI est y(t) = (t) pour un entrée x(t) = (t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce que le système est causal? –Solution Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc 2 (f) et celui de lentrée est X(f) = sinc(f). Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) = sinc 2 (f)/sinc(f) = sinc(f). La réponse impulsionnelle est h(t) = F -1 {H(f)} = (t). Le système nest pas causal parce que h(t) 0 pour toutes valeurs de t < 0.

12 Energie et puissance La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) dun signal sur lintervalle t o t t o + T est : La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension. Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v 2 (t)/R où R est la valeur de la résistance. Sur lintervalle t o t t o + T, la puissance moyenne est :

13 Puissance normalisée La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc : Si nous prenons lintervalle de - t, lexpression ci-dessus devient :

14 Définition dun signal de puissance Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P <

15 Energie normalisée Puissance est lénergie par unité de temps. Donc, lénergie moyenne normalisée est donnée par :

16 Définition dun signal dénergie Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal dénergie si son énergie moyenne normalisée E <.

17 Exemple Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type sagit til. Energie, puissance où aucun des deux. –x(t) = Acos(2 f o t) –y(t) = (t) –z(t) = tu(t).

18 Lénergie dun signal périodique Si x(t) est périodique avec période T, lénergie sur une période est : Lénergie sur N périodes est E N = NE p. Lénergie moyenne normalisée est Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal dénergie.

19 La puissance dun signal périodique La puissance de x(t) sur une période est : Et sa puissance sur N périodes est : La puissance moyenne normalisée est Donc la puissance moyenne normalisée dun signal périodique est la puissance sur une période.

20 X * (f) si x(t) est réel

21 Théorème de Parseval Supposons que x(t) est un signal dénergie. Son énergie moyenne normalisée est :

22 Exemple

23 La fonction dautocorrélation dun signal d énergie La fonction dautocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t. Cette fonction est donné par : Nous remarquons que Aussi, on peut constater que

24 Densité spectrale dénergie Supposons que G x (f) = F { x ( )} Alors G x (f) = |X(f)| 2.

25 Densité spectrale dénergie de la sortie dun système LTI Pour le système démontré ci-dessous, lentrée du système, x(t), est un signal dénergie. Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t). La sortie y(t) = x(t)*h(t).

26 Densité spectrale dénergie de la sortie dun système LTI En supposant que la y(t) est aussi un signal dénergie, nous trouvons sa fonction dautocorrélation ci-dessous :

27 Densité spectrale dénergie de la sortie dun système LTI Alors G y (f) est donnée par: G y (f) = F { y ( )} = H(-f)H*(-f)|X(f)| 2 = H*(f)H(f)|X(f)| 2 = |H(f)| 2 G x (f)

28 Densité spectrale dénergie dun signal décrit la manière que lénergie est répartie dans le spectre du signal E y = 2|X(f)| 2 f f en Hz, alors |X(f)| 2 en J/Hz

29 Exemple Trouvez la fonction dautocorrélation, x ( ), pour x(t) = (t) et trouvez la densité spectrale dénergie à partir de x ( ). Démontrez que sa densité spectrale dénergie est égal à |X(f)| 2. Trouvez lénergie en x(t).

30 Exemple

31 Pour 1, x(t)x*(t+ ) = 0, alors x ( ) = 0. Pour -1 < < 0, x ( ) est : Pour 0 < < 1, x ( ) est :

32 Exemple La densité spectrale dénergie de x(t) est G x (f) = F { x ( )}. Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que G x (f) = sinc 2 (f). Aussi, F {x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)| 2 = G x (f) = sinc 2 (f).

33 La fonction dautocorrélation dun signal de puissance En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux dénergie, définissons la fonction dautocorrélation pour les signaux de puissance comme : Nous voyons que P x = R x (0).

34 Densité spectrale dénergie La transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation F {R x (t)} = S x (f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).

35 Exemple Trouvez la fonction dautocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2 f o t). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.

36 Exemple La puissance P x est :


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