Quelques propriétés des figures géométriques

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1 Quelques propriétés des figures géométriques

2 Triangle Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de même mesure. Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux. Si ABC est isocèle en A alors, la hauteur issue de A, la bissectrice de Â, la médiane issue de A, la médiatrice de [BC] sont confondues. Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même mesure. Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux à 60°. Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices sont confondues.

3 Triangles Inégalité triangulaire : un triangle n'existe que si la somme des longueurs des 2 plus petits côtés est supérieure ou égale à la mesure du plus grand côté. En cas d'égalité, le triangle est plat: les 3 points sont alignés. Angles : dans un triangle, la somme de la mesure des 3 angles est égale à 180°.

4 Triangle Hauteur : Une hauteur d'un triangle est la droite (ou segment) perpendiculaire à un côté qui passe par un sommet. Dans un triangle les hauteurs sont concourantes en l'orthocentre du triangle. Médiane : Dans un triangle la médiane est le segment joignant un sommet au milieu du côté opposé. Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point nommé le centre de gravité du triangle.

5 Triangle Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes au centre du cercle inscrit au triangle. Le cercle inscrit est le cercle tangent aux 3 côtés du triangle.   Dans un triangle, les médiatrices des 3 côtés sont concourantes au centre du cercle circonscrit au triangle. Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par tous les sommets.

6 Triangle rectangle Si un triangle est rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.

7 losange Définition : Un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même mesure est  un losange. Propriétés: Les diagonales du losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Les côtés opposés du losange sont 2 à 2 parallèles. Le losange est un parallélogramme. Le losange est un trapèze.

8 Pour montrer que l'on a un losange
Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu est un losange. Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange. Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur est un losange. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs (qui se suivent) de même mesure est un losange.

9 Carré Définition : Un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même mesure et 3 angles droits (4 en fait) est un carré. Propriétés Le carré a ses diagonales de même longueur, qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires. Le carré a ses côtés opposés 2 à 2 parallèles. Le carré est un rectangle. Le carré est un losange. Le carré est un parallélogramme.

10 Pour montrer que l'on a un carré
Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires, de même longueur qui se coupent en leur milieu est un carré. Un rectangle qui a ses diagonales perpendiculaires est un carré. Un losange qui a ses diagonales de même longueur est un carré. Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires qui sont de même longueur est un carré.

11 Théorèmes usuels

12 Thalès Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors:

13 Réciproque de Thalès Soient d et d' deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de d distincts de A. Soient C et N deux points de d' distincts de A. Si et si les points A,B,M et les points A,C,N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

14 Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit. Dans le triangle ABC rectangle en A : BC²= AB² + AC² Réciproque: Si dans un triangle le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des autres côtés alors ce triangle est rectangle.