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Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

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1 Première Partie : Deuxième partie : Troisième partie :

2 Première Partie : Résultats théoriques Loi uniforme Loi de Bernoulli Loi exponentielle Loi Normale Loi de Weibull Construction d un histogramme avec Excel

3 Résultat théorique : Lorsque X suit une loi de probabilité quelconque et si F est la fonction de répartition de X, alors F(X) suit une loi uniforme [0,1]. Exemple : La loi exponentielle Pour la loi normale : Le résultat de Box-Muller Si U 1 et U 2 sont deux lois uniformes[0,1] indépendantes, Alors, sont indépendantes de loi N (0,1).

4 échantillon de taille 500 d une loi uniforme obtenu avec EXCEL à l aide de la commande : A i =ALEA() échantillon de taille 500 d une loi de Bernoulli(0.7) obtenu a partir de l échantillon précédent avec la commande : C i =SI(A i <0,3;0;1)

5 échantillon de taille 500 d une loi normale (0,1) obtenu à partir de deux échantillons uniformes indépendants à l aide de la formule : C i =-RACINE(-2*LN(A i )) *COS(2*PI()*B i ). échantillon de taille 500 d une loi exponentielle (2) obtenu à partir d un échantillon uniforme à l aide de la formule : C i =-LN(A i )/2.

6 échantillon de taille 500 d une loi de Weibull (alpha=3,bêta=1) obtenu à partir d un échantillon uniforme à l aide de la formule : D i =beta*(-LN(A i ))^(1/alpha). Règle empirique de Sturges : exprime le nombre de classes en fonction de n (taille de l échantillon)

7 =MIN(C1:C500)+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15 =«cellule précédente »+(MAX(C1:C500)-MIN(C1:C500))/15 Échantillon de loi exponentielle et de taille 500 : colonne C On utilise la fonction histogramme d excel sur la dernière matrice obtenue. étape =FREQUENCE(C1:C500;F42:F56) } ( appuyer sur ctrl-shift-entrée )

8 Deuxième partie : La loi forte des grands nombres Le théorème central limite Illustrations

9 Loi exponentielle (2)Loi normale(0,1) 0, , , , , , n=50 n=100 n=500 Valeur théorique: 0,5 0.0

10 Conséquences

11 Donne l équivalent d un échantillon de loi normale ((SOMME(A1:A500)-500*0,5)*RACINE(12))/RACINE(500) On a généré 256 échantillons de taille 500 d une loi uniforme. Pour chaque échantillon on calcule : Moyenne=0.05 Variance=1,08

12 C est une procédure, pratique et simple, permettant de vérifier la présomption de normalité. Ne constitue pas un test statistique. Principe : Elle repose sur la liaison linéaire entre une variable normale X (moyenne m, écart type sigma ) et la variable centrée réduite U.

13 Limite sup. de la classe i n i F i 1, , , , , , , , , , m=5.8 sigma=1,8

14 plusieurs variables tests (dadéquation, moyenne, variance) présentation des données estimations Troisième partie :

15

16 Algèbre Analyse Algèbre Mécanique Analyse Mécanique Tableau des corrélations = COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;B1:B200)= COEFFICIENT.CORRELATION(A1:A200;C1:C200) = COEFFICIENT.CORRELATION(B1:B200;C1:C200)

17 Moyenne: Commande EXCEL : = moyenne(A1:A200) Variance: Commande EXCEL : = var(A1:A200)

18 On veut tester H 0 : L=L 0 contre H 1 : L L 0. Dans notre cas, L 0 est une loi normale: - pour lalgèbre, L 0 = N(9.058, ), - pour lanalyse, L 0 = N( , ), - pour la mécanique, L 0 = N(10.574, ). Commande EXCEL: = (A1-N*B1)^2/(N*B1) Pour lalgèbre, A=10,23 Pour lanalyse, A=12,45 Pour la mécanique, A=11,21 On accepte H 0 dans les 3 cas. On accepte H 0 si A < ² K-3, 1- A= somme(C1:CK) ² 7, ,1

19 Estimation de la moyenne pour le premier prof: Estimation de la variance pour le second prof: Estimation de la moyenne pour le second prof: Estimation de la variance pour le premier prof:

20 Variances égales ou non ? Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale et que les étudiants de prof2 suivent une loi normale On veut tester H 0 : contre H 1 : On refuse H 0 si B > F n 1 -1, n 2 -1, 1- /2 B < F n 1 -1, n 2 -1, /2 Commande EXCEL : = var(A1:A100)/var(B1:B100) On accepte H 0 B =1,25 F 99, 99, ,48 F 99, 99, ,68

21 Moyennes égales ou non ? Hypothèse : on suppose que les étudiants de prof1 suivent une loi normale et que les étudiants de prof2 suivent une loi normale On veut tester H 0 : m 1 m 2 contre H 1 : m 1 m 2. On accepte H 0 si |C| < Std n 1 + n 2 -2, 1- /2 Commande EXCEL : = ( moyenne(A1:A100)-moyenne(B1:B100) )/... … ( racine(1/n 1 +1/n 2 )*racine( ((n 1 -1)*var(A1:A100) … … +(n 2 -1)*var(B1:B100))/(n 1 +n 2 -2) ) ) On refuse H 0 |C|=2,33 Std 198, ,97

22 FIN


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