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Mathématiques SN Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 3 nouveaux rapports trigonométriques Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - sin sin 1 = cosec cosec COSÉCANTE : SÉCANTE : COTANGENTE : cos cos 1 = sec sec tan tan 1 = cotan cotan

3 Les 3 identités trigonométriques Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - 1 1yx 1 P( ) = (, ) x y x y cos cos sin sin Par Pythagore : x 2 + y 2 = 1 2 Donc : cos 2 + sin 2 = 1 IDENTITÉ # 1

4 cos 2 + sin 2 = 1 À partir de lidentité #1 : IDENTITÉ # 2 cos 2 cos tan 2 = sec tan 2 = sec 2 RAPPELRAPPEL cos cos 1 = sec sec sin sin 1 = cosec cosec tan tan 1 = cot cot À partir de lidentité #1 : cos 2 + sin 2 = 1 IDENTITÉ # 3 sin 2 sin 2 cot = cosec 2 cot = cosec 2

5 Ex. #1 : Démontrer sec 2 sec cosec 2 cosec 2 1 = = 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 sin = 1 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 = 1 1 Ce symbole signifie que la démonstration est terminée ! On peut aussi écrire CQFD (ce quil fallait démontrer).

6 Ex. #2 : Démontrer cos x tan x = sin x = sin x cos x cos x cos x sin x = Ex. #3 : Simplifier (1 + tan 2 x) cos 2 x (sec 2 x) cos 2 x cos 2 x 1 1

7 Ex. #4 : Démontrer tan 2 x – tan 2 x sin 2 x = sin 2 x tan 2 x (1 – sin 2 x) = sin 2 x tan 2 x (cos 2 x) = sin 2 x (cos 2 x) = sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x = sin 2 x

8 Ex. #5 : Démontrer – sin x = cot x cos x – sin x = cot x cos x sin x 1 – sin 2 x = cot x cos x – sin 2 x = cot x cos x sin x 1 1 – sin 2 x = cot x cos x 1 – sin 2 x = cot x cos x sin x cos 2 x = cot x cos x sin x cos x cos x = cot x cos x sin x cot x cos x = cot x cos x

9 Résolutions déquations à laide didentités trigonométriques Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Exemple : Résoudre sin x = 2 cos 2 x – 3 sin x = 2 (1 – sin 2 x) – 3 sin x = 2 – 2 sin 2 x – 3 sin x = 2 sin 2 x – 1 0 = 2 sin 2 x + sin x – 1

10 Exemple : Résoudre sin x = 2 cos 2 x – 3 sin x = 2 (1 – sin 2 x) – 3 sin x = 2 – 2 sin 2 x – 3 sin x = 2 sin 2 x – 1 0 = 2 sin 2 x + sin x – 1 Posons sin x = a. Il faut donc résoudre : 0 = 2a 2 + a – 1 a 1 = 1 2 et a 2 = -1 sin x 1 = 12 et sin x 2 = -1

11 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

12 Exemple : Résoudre sin x = 2 cos 2 x – 3 sin x = 2 (1 – sin 2 x) – 3 sin x = 2 – 2 sin 2 x – 3 sin x = 2 sin 2 x – 1 0 = 2 sin 2 x + sin x – 1 Posons sin x = a. Il faut donc résoudre : 0 = 2a 2 + a – 1 a 1 = 12 et a 2 = -1 sin x 1 = 12 et sin x 2 = -1 3 x 1 = 53 et

13 1 1yx P( ) = (, ) P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

14 Exemple : Résoudre sin x = 2 cos 2 x – 3 sin x = 2 (1 – sin 2 x) – 3 sin x = 2 – 2 sin 2 x – 3 sin x = 2 sin 2 x – 1 0 = 2 sin 2 x + sin x – 1 Posons sin x = a. Il faut donc résoudre : 0 = 2a 2 + a – 1 a 1 = 12 et a 2 = -1 sin x 1 = 12 et sin x 2 = -1 x 2 = x 2 = et P = 2 | b | 2 | 1 | = Période = 2 = 2 3 x 1 = 53 et Réponse : x + 2 n, + 2 n, + 2 n où n x + 2 n, + 2 n, + 2 n où n 3 53

15 Autres identités trigonométriques Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) Somme de u et v cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v)

16 sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) Somme de u et v cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v =, calculer précisément sin (u + v). 4 3 sin ( + ) = 43 sin ( ) 4 cos ( ) 3 + sin ( ) 3 cos ( ) 4 sin ( ) = 712 ( ) sin ( ) = 712 ( ) sin ( ) = tan (u + v) = tan(u) + tan(v) 1 – tan(u) tan(v)

17 24 sin (u – v) = sin(u) cos(v) – sin(v) cos(u) Différence entre u et v cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v =, calculer précisément cos (u – v) cos ( – ) = cos ( ) sin ( ) cos ( ) = 12 ( ) cos ( ) = 12 ( ) cos ( ) = 12 tan (u – v) = tan(u) – tan(v) 1 + tan(u) tan(v)


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