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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs géométriques et forces Vecteurs géométriques et forces

2 Introduction Dans cette présentation, nous étudierons les conditions déquilibre de translation de systèmes de forces à laide de vecteurs géométriques. La méthode danalyse par les vecteurs géométriques consiste à construire le polygone des forces du système. Pour un système en équilibre, le polygone est fermé et les longueurs des côtés des polygones sont proportionnelles à lintensité des forces. Par la résolution du polygone, en utilisant les ressources de la trigonométrie, on détermine alors lintensité des forces en cause. Les situations que nous allons présenter ne comporteront que trois forces car, lorsque le système comporte plus de trois forces, lapproche géométrique devient plus complexe et on utilise alors la méthode dite des composantes en utilisant les vecteurs algébriques (chapitre 8). En préparation à cette étude, nous rappelons les lois du mouvement de Newton.

3 Lois du mouvement Tout corps au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, reste au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, aussi longtemps quil ne subit pas laction dune force extérieure. Première loi Deuxième loi Une force extérieure sexerçant sur un corps lui communique une accélération proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse du corps. La deuxième loi se décrit mathématiquement par la relation : Troisième loi À toute force daction correspond une force de réaction de même grandeur, de même direction et de sens contraire. ou a = FmFm F = m a

4 Action et réaction Dans cette présentation, nous utiliserons plus spécifiquement la troisième loi dans les cas suivants : Lorsquune force est appliquée pour tirer sur un câble, celui-ci réagit en tirant dans le sens contraire. Le câble est alors en tension. Lorsquune force pousse sur une tige dans le sens de sa longueur, celle-ci réagit en poussant dans le sens contraire. La tige est alors en compression.

5 Équilibre de translation Un corps soumis à un système de forces concourantes est en équilibre de translation si : DÉFINITION F 0 = Leffet sur un corps libre de forces dont les lignes daction sont concourantes est une translation. Lorsque la somme de ces forces est nulle, le corps est en équilibre de translation, ce qui signifie quil ne subit pas daccélération, il est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme.

6 Équilibre de rotation Un corps soumis à un système de forces non concourantes est en équilibre de rotation si : M 0 = Équilibre de translation Lorsque les lignes daction ne sont pas concourantes, la translation saccompagne dune rotation du corps sur lui-même. Lorsque la somme des moments est nulle, le corps est en équilibre de rotation. Léquilibre de rotation signifie que le corps ne tourne pas sur lui- même ou quil tourne à une vitesse constante. La notion de moment sera étudiée au chapitre 9 sur les produits de vecteurs. M où est le moment dune force agissant sur le corps. DÉFINITION

7 Résultante et équilibrante DÉFINITION La résultante dun ensemble de forces est la force qui peut, à elle seule, remplacer toutes les autres. Force résultante et force équilibrante Léquilibrante est la force qui équilibre laction de la résultante : elle est de même grandeur et de même direction que la résultante, mais de sens contraire.

8 Analyse des forces Pour analyser une situation à laide des vecteurs, que ce soit pour connaître les conditions déquilibre ou pour trouver la résultante, il faut repérer toutes les forces agissant sur le corps (ou la structure). En approche géométrique, on procède à lanalyse en construisant un polygone des forces. Lorsque le système est en équilibre, le polygone des forces est fermé (la résultante et nulle). Dans un tel polygone, le poids de lobjet, sil nest pas négligeable, est représenté par le vecteur Les tensions sont représentées par P. Les compressions sont représentées par De plus, pour simplifier lécriture, lusage est de représenter lintensité dune force par une lettre en caractère gras, Il est à remarquer que dans ce diaporama, tout est déjà en caractères gras. Dans le livre, la distinction est plus facile. T. C. F = F.

9 Exemple La masse suspendue dans lassemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 700 N. S a)Construire le diagramme des forces agis- sant au point A. b)Trouver géométriquement lintensité des forces agissant au point A. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de A vers B. La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de C vers A. SS Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons le triangle des forces. Lintensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : tan 40° = PCPC = 700 C doù C = 700 tan 40° 834 N C 834 N S sin 40° = P T = 700 T doù T = 700 sin 40° N et T N La tension dans le câble est donc de N et la pression sur la barre rigide est de 834 N.

10 Système de forces en équilibre pour analyser géométriquement un système en équilibre de translation 1.Représenter par un vecteur chaque force du système. 2.Construire le triangle des forces en respectant les directions des forces du système (le triangle est fermé lorsque le système est en équilibre). 3.Utiliser la trigonométrie du triangle pour trouver lintensité des forces. Procédure 4.Interpréter les résultats selon le contexte.

11 Exemple Considérons lassemblage en équilibre ci- contre. S a)Déterminer si les barres légères (barres dont la masse est négligeable) du montage sont en tension ou en compression. b)Trouver géométriquement la valeur de leffort dans chacune des barres. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. La barre AB est en tension et exerce au point B une force de réaction dont le sens est de B vers A. La barre CB est en compression et exerce au point B une force de réaction dont le sens est de C vers B. SS Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. Lintensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : tan D = 1,41 0,82 doù D = arctan = 58,819…° On a alors : S T = 1,25 tan D = 2,149… 2,15 kN 1,41 0,82 C = 1,25 sec D = 2,486… 2,49 kN La tension dans la barre horizontale est donc de 2,15 kN et la pression sur la longueur de la barre oblique est de 2,49 kN.

12 Exercice La masse suspendue dans lassemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 1,24 kN. S a)a)Construire le diagramme des forces agis- sant au point A. b)b)Trouver géométriquement lintensité des forces agissant au point A. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de A vers B. La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de C vers A. SS Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons le triangle des forces. Lintensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : tan 32° = P C = 1,24 C doù C = 1,24 tan 32° 1,98 kN C 1,98 kN S sin 32° = P T = 1,24 T et T 2,34 kN doù T = 1,24 sin 32° 2,34 kN La tension dans le câble est donc de 2,34 kN et la pression sur la barre rigide est de 1,98 kN.

13 Exemple Les trois câbles de la situation illustrée ci- contre supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. À laide des vecteurs géométriques, déterminer la tension dans chacun des câbles. S La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. Les câbles sont en tension et exercent au point A des forces de réaction notées T d etT g. S Le système étant en équilibre, la résultante des forces est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. Par la loi des sinus, on a alors : SS TdTd sin 38° Td Td = = P sin 85°, cela donne : 2,54 sin 38° sin 85° = 1,569… 1,57 kN TgTg sin 57° Tg Tg = = P sin 85°, cela donne : 2,54 sin 57° sin 85° = 2,138… 2,14 kN La tension est donc de 1,57 kN dans le câble de droite et de 2,14 kN dans celui de gauche.

14 Exercice La masse suspendue dans lassemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 900 N. S La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dirigée de A vers B La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dirigée de C vers A. SS À laide des vecteurs géométriques, déter- miner les forces agissant au point A. Le système étant en équilibre, la résultante des forces est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. Par la loi des sinus, on a alors : T sin 70° T = P sin 60°, cela donne : 900 sin 70° sin 60° = 976,55… 977 N C sin 50° C = = P sin 60°, cela donne : 900 sin 50° sin 60° = 796,09… 796 N La tension est donc de 900 N dans le câble vertical, de 977 N dans lautre câble et la barre rigide subit une pression de 796 N. =

15 Conclusion À laide des vecteurs géométriques, on peut faire lanalyse dun système de forces en équilibre. Pour ce faire, on doit construire le polygone des forces. Celui-ci doit être fermé pour que le système soit en équilibre, ce qui est équivalent à une résultante nulle. En pratique, cette approche est rarement utilisée lorsquil y a plus de trois forces en cause parce que la résolution géométrique du polygone devient assez complexe lorsque le nombre de forces augmente. Lorsquil y a seulement trois forces, le polygone des forces est un triangle et, pour résoudre, il suffit de faire appel aux ressources de la trigonométrie.

16 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.4, p. 214 et 216. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.3, p.208 à 21.


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