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Angles et parallèles. Pris deux à deux, des angles ont entre eux différents noms et différentes propriétés. Angles opposés par le sommet : ces angles.

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1 Angles et parallèles

2 Pris deux à deux, des angles ont entre eux différents noms et différentes propriétés. Angles opposés par le sommet : ces angles sont isométriques ( congrus ) : Angles adjacents : ils ont un côté commun. Angles adjacents complémentaires : la somme de leur mesure = Angles adjacents supplémentaires : la somme de leur mesure = ~ =

3 Il existe également dautres paires dangles importants créées par une sécante qui traverse des parallèles. Les angles alternes-internes; Les angles alternes-externes; Les angles correspondants. Ils alternent de chaque côté de la sécante à lintérieur des parallèles. soit Ils alternent de chaque côté de la sécante à lextérieur des parallèles. Ils sont du même côté de la sécante un à lintérieur des parallèles et lautre, à lextérieur.

4 Ces angles ont comme particularité d`être isométriques entre eux, deux à deux. Démonstration : B F A C D G EH Traçons les droites AD et CG sécantes en C; Traçons langle ACB ; Faisons subir à cet ensemble une translation oblique ; Nommons cette nouvelle droite : EH et nommons le point dintersection de la droite avec la sécante : F. t

5 B F A C D G EH Affirmations Justifications La droite EH est parallèle à la droite AD. 1) Une translation transforme une droite en une droite parallèle. 2)ACB ~ = EFC 2)Une translation conserve la mesure des angles. doncles angles correspondants formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.

6 B F A C D G EH Affirmations Justifications 1)GFH ~ = EFC 1) Ce sont des angles opposés par le sommet. 2)ACB ~ = GFH 2) Mêmes mesures dangles. doncles angles alternes-externes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques.

7 Affirmations Justifications 1)GCD ~ = ACB 1) Ce sont des angles opposés par le sommet. 2)EFC ~ = GCD 2) Mêmes mesures dangles. doncles angles alternes-internes formés par une sécante et des parallèles sont isométriques. B F A C D G EH

8 B F A C D G EH Ces trois paires dangles : - angles alternes-internes; - angles alternes-externes; - angles correspondants. ne sont isométriques entre eux que si les droites traversées par la sécante sont parallèles entre elles. Si les droites ne sont pas parallèles, les trois paires dangles portent les mêmes noms mais ils ne sont pas isométriques entre eux. Ces nouvelles propriétés nous aideront à démontrer de nouvelles situations.

9 Exemple :La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = Prenons le triangle ABC ; A B C traçons la droite DE parallèle à AC et passant pas le sommet B. DE On voit apparaître des angles alternes-internes isométriques. En traçant langle ABC, nous obtenons un angle plat ( ). donc la somme des mesures des angles intérieurs dun triangle =

10 Problème 32 0 F G D E J B A C 1)Si on ignore le segment AC, JBD ~ = GHI on observe que H I car ce sont des angles alternes-externes; Dans la figure suivante : - les segments DE et FG sont parallèles; - le segment AC est perpendiculaire au segment DE; Quelle est la mesure de langle JBA ? - la sécante JI forme un angle de 32 0 avec la droite FG. donc m JBD = ) m ABD = 90 0 ; car les segments DE et AC sont perpendiculaires. 3) m JBA = 58 0 ; car il est adjacent-complémentaire de langle JBD ?

11 Dans la figure ci-contre, la droite IM coupe la droite JK en formant un angle JOI de ; les droites DE et FG sont parallèles. De plus, m GCK = Quelle est la mesure de IAE ? Justifie chaque étape de ta démarche ? Affirmations Justifications m AHO = ) Il est correspondant à GCK. 2) m HAO = ) La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = ) m IAE = ) Il est opposé par le sommet à HAO J A D E O F B M C G K I H ?

12 EBD ACF Dans la figure ci-contre: Quelle conclusion peut-on tirer du fait que m 1 =m 2 ? A) Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites AB et CD sont parallèles. B) De plus, m 3 =m 4. Quelle autre conclusion peut-on tirer ? Pourquoi ? Les droites ED et AF sont parallèles. m 1 =m 2m 3 =m 4, et doncm 1 +m 4m 2 +m 3, = Ce sont des angles alternes-internes isométriques donc les droites ED et AF sont parallèles. C) Quel type de quadrilatère est alors ABCD ? Un parallélogramme car ABCDEDAF. et

13 5 cm 3 cm A D C B E 10 cm De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD. A) Quelle est la mesure de langle ACB ? m ACB = 30 0 car m ABC = 90 0 ; le triangle ABC est rectangle et comme un côté mesure la moitié de lhypoténuse, alors langle qui lui fait face vaut B) Quelle est la mesure de langle AED ? m AED = 30 0 ; il est correspondant à langle ADE. il est correspondant à langle ACB. ? ? 30 0

14 De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD. C) Quelle est la mesure du côté BC ? m BC 8,66 cm m BC = ( m AC ) 2 - ( m AB ) 2 5 cm 3 cm A D C B E 10 cm car m BC = ,66 cm 30 0

15 Remarque: A C B c b a La relation de Pythagore est : c 2 = a 2 + b 2 Si on utilise des lettres minuscules pour identifier les côtés. Si on utilise les sommets du triangle, elle devient : m AB = ( m BC ) 2 + ( m AC ) 2 ou c = a 2 + b 2 c = a 2 + b 2

16 De plus, m AB = 5 cm, m BD = 3 cm et m AC = 10 cm. Dans la figure ci-contre, BC est parallèle à DE et perpendiculaire à AD. AE : D)Quelle est la mesure de chacun des côtés suivants ? m AE = 16 cm dans un triangle rectangle possédant un angle de 30 0, la mesure du côté qui fait face à langle de 30 0 vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse. CE :m CE = 6 cm par soustraction de la m AE et de la m AC. DE :m DE 13,86 cm m DE = ( m AE ) 2 - ( m AD ) 2 5 cm 3 cm A D C B E 10 cm car 30 0

17 52 0 ( 5x + 7 ) 0 8y 0 A G E B C HD F Sachant que AB CD, détermine les valeurs de x et y. m AGE = m DHF carce sont des angles alternes-externes formés par des parallèles = ( 5x + 7 ) 0 52 = 5x = 5x 9 0 = x m CHF = = car 8 y 0 = y = 16 0 il est adjacent - supplémentaire à DHF Pour y : Pour x :


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