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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Interpolation de fonctions u Faiblesse de linterpolation polynomiale u Interpolation par splines cubiques u.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Interpolation de fonctions u Faiblesse de linterpolation polynomiale u Interpolation par splines cubiques u Travail pratique 3 b) –Affichage de 2 courbes avec xgraph u Mini-test #2

3 Faiblesse de linterpolation polynomiale u Le nombre de points de contrôle influence directe- ment le degré du polynôme dinterpolation u Si nous avons n points de contrôle, le polynôme dinterpolation sera alors de degré n-1

4 Faiblesse de linterpolation polynomiale

5 Faiblesse de linterpolation polynomiale

6 Faiblesse de linterpolation polynomiale Correction possible: interpolation par bout

7 Interpolation par splines cubiques u Pour un ensemble de points de contrôle (x i,f(x i )), i=1,...,n nous savons quun polynôme de degré maximal n-1 peut être utilisé comme fonction dinterpolation u La précision de linterpolation est généralement améliorée en augmentant le degré du polynôme dinterpolation u Par contre, si f(x i ) change brusquement pour des variations constantes de x i la précision de linterpo- lation avec un polynôme de degré supérieur diminue

8 Interpolation par splines cubiques u Le polynôme dinterpolation oscille alors autour de ces changements abruptes u Dans ces circonstances nous devrions employer des polynômes dinterpolation dordre inférieurs tels que des splines

9 Interpolation par splines cubiques u Splines linéaires –Les points de contrôle (x i,f(x i )), i=1,...,n sont interpolés par des droites reliants chaque paire de points de con- trôle adjacente et leur forme respective est donnée par:

10 Interpolation par splines cubiques u Splines linéaires –De plus, pour être valide lensemble des splines linéaires doivent satisfairent

11 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Plutôt que dutiliser une droite comme fonction inter- polante de chaque intervalle (x i,x i+1 ) nous pouvons utiliser une fonction de degré 3 de la forme:

12 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Nous cherchons lensemble des splines cubiques S i (x) qui interpolent chaque intervalle (x i,x i+1 ), i= 1,...,n-1

13 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Les splines S i-1 et S i sont reliées au point de contrôle x i, i = 2,...,n-1, alors

14 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Les dérivées première et seconde S' et S'' sont aussi supposées continues aux points x i. –Pour trouver les splines S i (x) sur chaque intervalle [x i,x i+1 ], nous posons dabord:

15 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Puisque S i est cubique sur lintervalle [x i,x i+1 ], S i '' est alors linéaire sur lintervalle i et prend la forme:

16 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –En intégrant deux fois S i ''(x) nous obtenons: – Sachant que S i (x i ) = f(x i ) = y i et S i (x i+1 ) = f(x i+1 ) = y i+1, nous pouvons déduire les constantes c et d

17 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Nous pouvons alors réécrire S i (x): – Cherchons maintenant les inconnues z i sachant que:

18 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –En dérivant S i (x) nous obtenons:

19 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –En égalant ces 2 expressions dérivées: – Cette dernière équation est calculée pour chaque point de contrôle i=2,....,n-1

20 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Nous pouvons alors déduire un système déquations linéaires de n-2 équations et n inconnus z 1,...z n. –Ce système étant sous-déterminé nous posons alors z 1 = z n = 0 –Ce qui représente les conditions aux frontières de lintervalle [x 1, x n ]

21 Interpolation par splines cubiques u Splines cubiques –Nous pouvons alors écrire ce système déquations linéaires de n-2 équations

22 Interpolation par splines cubiques u Algorithme Lire les x i Lire les y i Pour m valeurs de x dans lintervalle [minx, maxx] FAIRE Trouver lintervalle i dans lequel se trouve la valeur de x Calculer S i (x) Écrire x et S i (x) dans un fichier FIN POUR

23 Mini-test #2 u Faire la partie 3 b) sur les splines u Réviser les méthodes de recherche de zéros de fonction

24 Travail pratique 3 b) u Recherche du chemin interpolant un ensemble de points par les splines cubiques(exemple du taxi)


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