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La fonction inversement proportionnelle f( x ) = x a.

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1 La fonction inversement proportionnelle f( x ) = x a

2 La fonction inversement proportionnelle est une fonction où la variable indépendante est au dénominateur. f( x ) = x a Pour obtenir les valeurs de la variable dépendante, il faut diviser une constante par la variable indépendante. Exemple :La distance entre 2 villes est de 100 km. On aimerait représenter le temps que prendrait ce trajet en fonction de la vitesse. - Variable indépendante ( x ) : la vitesse en km/h - Variable dépendante (f( x )) : le temps (h) La constante : 100 km/h.

3 La table de valeurs suivante traduit cette situation. 1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f( x ) : le temps (h) 100 1 La règle est : 100/ x. Voici le graphique : 1020304050607080901000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temps (h) Vitesse (km/h) Distance à franchir

4 1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f( x ) : le temps (h) 100 1 La constante = 100 km Pour calculer les différentes valeurs de f( x ), la règle est : f( x ) = 100 x f(5) = 100 5 = 20 f(25) = 100 25 = 4 etc.

5 Caractéristiques de la fonction inversement proportionnelle 1020304050607080901000 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Temps (h) Vitesse (km/h) Distance à franchir - La courbe de cette fonction est courbe. - Il ny a pas dordonnée à lorigine. - Elle ne traverse pas laxe des y. (Si la vitesse est nulle, on ne peut pas franchir de distance.) - Il ny a pas dabscisse à lorigine. - Elle ne traverse pas laxe des x. (Même si la vitesse est de plus en plus grande, il faudra toujours un certain temps pour franchir la distance.) - La variation est inverse, puisque lorsque x augmente, f( x ) diminue.

6 Caractéristiques de la fonction inversement proportionnelle 1 100 5 20 10 25 4 50 2 x : la vitesse (km/h) f( x ) : le temps (h) 100 1 La principale caractéristique de cette fonction est la suivante. Lorsque les valeurs de x sont multipliés par celles de f( x ), le produit est toujours identique. x X f( x ) = a 1 X 100 = 100 5 X 20 = 100 10 X 10 = 100 25 X 4 = 100 50 X 2 = 100 100 X 1 = 100 Cette fonction est donc une situation de proportionnalité. Exemples :

7 Cette fonction peut être écrite de deux manières : f( x ) = x a En utilisant une des propriétés des proportions : f( x ) = x a 1 x X f( x ) = 1 X a x. f( x ) = a La fonction inversement proportionnelle : f( x ) = x a ou x. f( x ) = a Cette forme décriture est intéressante pour savoir si une fonction représente bien une fonction inversement proportionnelle.

8 2 500 5 200 10 100 25 40 x : le nombre douvriers f( x ) : le temps (h) Exemple : Un entrepreneur veut construire une maison. Il désire évaluer le temps que prendrait la tâche en fonction du nombre douvriers. Il considère que la construction à effectuer demande 1 000 heures de travail. Cette situation correspond-elle à une fonction inversement proportionnelle ? x. f( x ) = a 2 X 500 = 1 000 5 X 200 = 1 000 10 X 100 = 1 000 25 X 40 = 1 000 Cest bien une fonction inversement proportionnelle.

9 Remarque : Dans une fonction inversement proportionnelle, le taux de variation nest pas constant. 2 500 5 200 10 100 25 40 x : le nombre douvriers f( x ) : le temps (h) y 2 – y 1 x 2 – x 1 = 200 - 500 5 - 2 = - 100 100 - 200 10 - 5 = - 20 40 - 100 25 - 5 = - 3


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