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Introduction à lalgèbre. En utilisant des lettres, elle permet de généraliser les calculs et les situations. Larithmétique est la partie des mathématiques.

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1 Introduction à lalgèbre

2 En utilisant des lettres, elle permet de généraliser les calculs et les situations. Larithmétique est la partie des mathématiques qui effectue des calculs avec des nombres. Il existe donc beaucoup de calculs. Lalgèbre est la partie des mathématiques qui effectue des calculs Elle est donc très utile. avec des nombres et des lettres.

3 Aire Exemple Calcule laire de ces rectangles X 2 = 67 x 4 = 288 X 5 = 4010 X 2 = 20 Calculer laire de ces rectangles se fait toujours de la même manière. On peut donc généraliser les calculs par : A = L x l Longueur largeur Cette formule est algébrique. En utilisant des lettres, elle permet de généraliser la manière de calculer laire des rectangles. Ces calculs sont arithmétiques.

4 Lalgèbre est donc la partie des mathématiques servant à généraliser les situations. Pour ce faire, elle utilise :- des lettres; - des nombres; - des opérations mathématiques; - des LOIS; - des ÉQUATIONS. Examinons ce que cela veut dire !

5 Égalité et équation En arithmétique, on utilise beaucoup le signe = Le signe signifie que lon a la même quantité de chaque côté. = Exemple :3 + 5 = 8 On pourrait aussi écrire : 8 = Comme les deux quantités sont égales de chaque côté du signe ( = ), on appelle cette expression : = 8 une égalité. Voici quelques égalités : = = 8 x 1 8 x 1 = 4 x 2 4 x 2 = 16 ÷ 2 16 ÷ 2 =

6 En algèbre, on peut remplacer un nombre par une lettre. Exemple : + 5 = 8 x On pourrait aussi écrire : 8 = + 5 x Comme on retrouve une lettre, on appelle cette expression : + 5 = 8 x Une équation. Le travail consistera alors à trouver la valeur de x. Dans léquation : + 5 = 8 x x = 3 En résumé : = 8est une égalité. + 5 = 8 x est une équation; Remarque : Dans les problèmes algébriques, lobjectif est donc de trouver la valeur de la lettre qui transformera léquation en égalité.

7 Des lettres Les deux lettres les plus utilisées sont x et y La lettre : x. La lettre joue plusieurs rôles en algèbre. x 1 er rôle :Représenter une inconnue 3 e rôle :Représenter un ensemble de nombres 2 e rôle : Créer des relations Examinons ce que cela veut dire !

8 Dans léquation suivante : + 5 = 8 x Quelle est la valeur de ? x On ne connaît pas la valeur de x cest donc une mais on peut trouver cette valeur. Ici, = 3. x 3 est donc la solution de cette équation. Ici, cest assez facile ! Il nest pas toujours facile de trouver linconnue ! Exemple 44 = 2 ( - 5 ) 2 – 6 x Dans léquation : quelle est la valeur de ? x Pour trouver la solution de cette équation, il faut connaître beaucoup de lois. inconnue, 1 er rôle :Représenter une inconnue

9 Dans léquation suivante : Quelle est la valeur de ? x 2 = 8 x Réponse : x = 4 Cest la solution. Remarque Fais attention, car et x se ressemblent, mais nont pas la même signification. x 2 Remarque :En algèbre, un nombre suivi dune lettre signifie quils se multiplient entre eux. signifie x 2 X 2 = 8, x Donc, dansquelle est la valeur de ? x X Xest le symbole de la multiplication. x est le symbole pour représenter une inconnue.

10 Dans léquation suivante : Quelle est la valeur de ? x = 8 x 2 Réponse : Cest la solution. x = 16 Dans chacun de ces problèmes, + 5 = 8 x 2 = 8 x = 8 x 2 x = 4 = 3 x x = 16 x na quune seule valeur.

11 x : x 2 e rôle :Créer des relations À laide des lettres, on peut établir des relations dans des situations particulières. Exemple : Un bureau de médecin offre 20,00$ de lheure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une équation permettant de calculer le salaire de la secrétaire. Dans cette équation, ety :représentera le salaire de la secrétaire. On peut donc écrire la relation suivante : Le salaire=20 $/hX le nombre dheures travaillées y = 20 $/h X Ici, on a besoin dune autre lettre ( y ), représentera le nombre dheures travaillées car le salaire et les heures travaillées sont deux choses différentes. Cette équation signifie quil y a une relation entre le nombre dheures travaillées et le salaire de la secrétaire. y = 20 x

12 Heures travaillées : x x Ici, les deux lettres peuvent prendre plusieurs valeurs différentes. Il y a donc une relation entre et x y : Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. Salaire ($) : y En donnant des valeurs à, on peut calculer des valeurs pour y. x Dans ce genre de situations, les lettres (ici, et y ) sont appelées des variables, car elles varient (elles prennent plusieurs valeurs) x est appelée la variable indépendante :elle ne dépend daucune autre. y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec x. dans une même situation. x = 20 Léquation y = 20 permet de généraliser la façon de calculer le salaire. x le salaire dépend du nombre dheures travaillées.

13 3 e rôle :Représenter un ensemble de nombres Exemple Dessinons un ovale. Appelons-le N. N Inscrivons une série de nombres à lintérieur. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Question :Peux-tu énumérer lensemble des nombres inscrits dans N ? x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Au lieu de les énumérer un par un, on pourrait écrire simplement : N Les nombres qui nous intéressent appartiennent à lensemble N. Ce qui signifie : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

14 x N ici, représente x x N est une forme de langage qui permet aux mathématiciens de toute la planète de parler entre eux quils soient Chinois, Allemands, Français, Anglais, etc. Ce langage permet aux mathématiciens de décrire avec quelques mots (des symboles) des situations parfois complexes. Ce langage permet donc de généraliser les situations. Voici quelques exemples : Il faut donc apprendre ce langage tout comme la langue française. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. plusieurs valeurs. dom f = { x ( x, f(x) ) f(x) }. x [ a, b ] : f (x) > 0 x 1, x 2 [ a, b ] : x 1 < x 2 f (x 1 ) < f(x 2 )

15 Conclusion Comme tu peux le constater, lalgèbre est utile pour représenter (généraliser) plusieurs sortes de situations. Lalgèbre utilise plusieurs lois arithmétiques, mais elle possède aussi ses propres lois. Il est donc important que tu comprennes et que tu mémorises chaque nouvelle loi. Dans les prochaines présentations, nous allons découvrir ces procédés algébriques.


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