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Résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue.

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1 Résoudre une équation du 1 er degré à une inconnue

2 Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans lesquelles on ne retrouve qu Exemples + 5 = 8 x 2 = 8 x = 8 a = 29 2x2x 4b = 51,2 2s + 5 = 3s - 29 = x 2 4 x Dans chacune de ces équations, il ny a quune inconnue. Résoudre léquation consiste donc à trouver la valeur de linconnue qui transformera léquation en égalité. une seule inconnue.

3 Exemples + 5 = 8 x ici, x = = 8 Égalité. 4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 Égalité. Certaines équations sont faciles à résoudre, dautres sont plus difficiles, mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques. = x 2 4 x = 8 51,2 = 51,2 ici, x = 2,5 = 2,5 2 4 X 2, Égalité. 1,25 = 1,25

4 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut dabord bien saisir les termes de léquation. Exemples Dans léquation : x + 3 = 8 on retrouve 3 termes. Chaque terme est séparé des autres par les signes daddition ou de soustraction et le signe dégalité. Dans léquation : = x + 6 on retrouve 4 termes.

5 Exemples Dans léquation : 2 x = 8 on retrouve 2 termes. Dans léquation : on retrouve 2 termes. 15 = 2 x Remarque : 2 x signifie 2 X x ; Lorsquun nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors quun seul terme. Remarque : 2 x = x X Lorsquun nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors quun seul terme.

6 16 = 2 x 3 x Exemple Dans léquation : on retrouve 3 termes. Remarque : Lorsquun nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors quun seul terme. 2 X 3 x 3 7 = 6x6x = 6x

7 Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce quest une équation. Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation. = On peut déposer les quantités que lon veut de chaque côté, mais les opérations doivent être équivalentes afin de garder léquilibre de la balance. Exemples X 210 ÷ X 612 x x4x 28 Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder léquilibre, cest-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

8 = X = 15 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer léquilibre de la balance.

9 = 2 X 612 ÷ 2 = 6 6 On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer léquilibre de la balance.

10 = x On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer léquilibre de la balance. = x 5

11 = 4 x = x 7 Cest le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue. On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer léquilibre de la balance.

12 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur. Attention Une inconnue est complètement isolée quand : x - le numérateur du coefficient est 1; - le dénominateur du coefficient est 1; - son exposant est 1; - elle est positive On lécrit alors simplement comme ceci : x

13 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur. Dans léquation suivante : + 3 = 8, x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diminuer lexpression + 3 = 8 x - 3 Pour ne pas changer léquilibre de léquation (la balance), on doit également soustraire la même quantité de lautre côté du signe égal. Il en résulte que : x + 0 = = 8Égalité. Validation : soit x = 5 x + 3 = 8 Inconnue isolée. de 3.

14 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur. Dans léquation suivante : - 4 = 9, x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc augmenter lexpression - 4 = 9 x + 4 Pour ne pas changer léquilibre de léquation (la balance), on doit également additionner la même quantité de lautre côté du signe égal. Il en résulte que : x + 0 = – 4 = 9Égalité. Validation : soit x = 13 x – 4 = 9 Inconnue isolée. de 4.

15 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur. Dans léquation suivante : = 8, 2x2x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diviser le terme par 2. = 8 2x2x Pour ne pas changer léquilibre de léquation (la balance), on doit également diviser la même quantité de lautre côté du signe égal. Il en résulte que : 2 X 4 = 8 Égalité. Validation : soit x = 4 2 x = 8 Inconnue isolée x = 8 22

16 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur. Dans léquation suivante : quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc multiplier le terme par 5. Pour ne pas changer léquilibre de léquation (la balance), on doit également multiplier la même quantité de lautre côté du signe égal. Il en résulte que : Égalité. Validation : soit x = 150 Inconnue isolée. x = 30, 5 x = XX 5 x = XX 5 x = = 30 5

17 1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant linconnue. 2) On peut soit simplifier le terme contenant linconnue. Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se produire. En résumé On le fait alors en utilisant les opérations :addition ou soustraction. On le fait alors en utilisant les opérations :multiplication ou division. + 3 = 8 x - 3 x = = 9 x + 4 x = 13 = 8 2x2x 22 x = 4 x = XX 5 x = 150

18 Trouve la valeur de linconnue dans les équations suivantes. x + 9 = x = 8 x - 9 = x = 26 x + 35 = x = 23 3 x = x = 8 -2 x = x = -10 1,5 x = 4,5 x = 3 Ici, il faut diviser par -2, car x doit être positif. 1,5 x = 23 2 X 2 2 X x = 46 -x = 20 4 X X x = -80 Ici, il faut multiplier par -4, car x doit être positif. x 2,3 = 5,1 2,3 X X 2,3 x = 11,73

19 Maintenant, vers linfini et plus loin encore ! 2 x + 6 = 24 Priorités dexécution : 2 x + 6 = x + 0 = 18 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 2 x = x = 9 Validation : 2 x + 6 = 24 2 X = 24 Égalité. 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas linconnue. 24 = 24 Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin den déterminer la valeur.

20 3 x – 15 = 0 Priorités dexécution : 3 x + 0 = 15 3 x = x = 5 Validation : 3 x - 15 = 0 3 X = 0 Égalité. 3 x – 15 = = 0 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas linconnue.

21 5a + 18 = 3 Priorités dexécution : 5a + 0 = -15 5a = a = -3 Validation : 5a + 18 = 3 5 X = 3 Égalité. 5a + 18 = = 3 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas linconnue.

22 -9 x - 21 = 6 Priorités dexécution : -9 x + 0 = x = x = -3 Validation : -9 X = 6 Égalité. -9 x - 21 = Ici, il faut diviser par -9, car x doit être positif. -9 x - 21 = 6 6 = 6 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas linconnue = 6

23 7 x = 4 x + 12 Règles : 3 x = ) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 3 x = x = 4 Validation : 7 X 4 = 4 X Égalité. 1) Le terme contenant linconnue doit se retrouver du même côté du signe =. 7 x = 4 x x 7 x = 4 x = 28 Certaines situations créent des équations dans lesquelles linconnue se retrouve de chaque côté du signe égal. on annule le terme se trouvant de ce côté. Exemple : Ici, on nisole pas linconnue; Pour ne pas changer léquilibre de léquation (la balance), on doit également soustraire la même quantité de lautre côté du signe égal.

24 1)Les termes contenant linconnue doivent se retrouver du même côté du signe égal 2 x + 12 = 20 6 x + 12 = 4 x + 20 Règles : 2 x + 0 = 8 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 2 x = x = 4 Validation : 6 X = 4 X Égalité x + 12 = 4 x x 2 x + 12 = x + 12 = 4 x = 36 et de lautre côté, les termes qui ne contiennent pas linconnue.

25 5 x - 17 = x + 4 2) Lorsque le terme contenant linconnue se retrouve seul, on isole linconnue. 4 x = x = 5,25 Validation : 5 X 5,25 – 17 = 5, Égalité. 9,25 = 9,25 5 x - 17 = x x - 17 = 4 4 x + 0 = x - 17 = x x 4 x - 17 = et de lautre côté les termes qui ne contiennent pas linconnue. Règles : 1) Les termes contenant linconnue doivent se retrouver du même côté du signe =

26 3 x + 10 = 5 x x + 0 = 5 x x -2 x + 0 = Remarque On peut regrouper les termes semblables dun côté ou lautre du signe =. Ou transférer le terme 6 à gauche et le terme 3 x à droite = 2 x + 0 On peut transférer le terme 10 à droite et le terme 5x à gauche. Puis, isoler linconnue. 4 = 2 x = x Les deux démarches sont bonnes, puisquune équation est comme une balance. Terme négatif. Terme positif. Puis, isoler linconnue. -2 x = x = 2 Exemple 3 x + 4 = 5 x x

27 Équation avec fractions Exemple : 2 x + 6 = 14 5 Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre. Cependant, en utilisant un procédé déquivalence, on peut résoudre ces équations facilement. Voici la démarche : 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2 x x + 6 = = X 5 = = 14 = 1 = 5 X ) Enlever les dénominateurs. 2 x + 30 = 70 Enlever la même quantité de chaque côté de léquation, ne change pas léquilibre de léquation.

28 2 x + 30 = x + 0 = 40 2 x = x = 20 2 x + 6 = X + 6 = = 14 Preuve : 2 x + 30 = 70 2 X + 30 = = = = = 14 Les équations sont différentes, mais elles sont équivalentes, car la valeur de linconnue est la même. Validation : 20 Léquation 2 x + 30 = 70 est équivalente à léquation2 x + 6 = 14 5

29 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. Exemple 4 3 s = s s - 6 = 15s + 4 3) Isoler linconnue. - 15s Enlever la même quantité de chaque côté de léquation, ne change pas léquilibre de léquation. 20s – 6 = 15s + 4 5s - 6 = s + 0 = s = s = s - 6 = s + 4

30 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. Problèmes 10a a 20 + = a 20 3) Isoler linconnue. Enlever la même quantité de chaque côté de léquation, ne change pas léquilibre de léquation. 10a + 5a + 4a = 95 a 2 + a 4 + = 19 4 a 5 19a = a = 5

31 3 (t – 5) = 2 (t + 2) Ici, il faut commencer par développer léquation. 3t – 15 = 2t + 4 Effectuer une simple distributivité. 3 X t – 3 X 5 = 2 X t + 2 X 2 - 2t + 15 t = 19 Isoler linconnue.

32 3 (6b - 5) 2 (7b + 2) (7b + 2) 3 (6b - 5) 2 = 2 (7b + 2) 6 3 (6b - 5) 6 = Car, (7b + 2) 3 = 6 X 2 Car, (6b - 5) 2 = 6 X 3 2(7b + 2) = 3(6b - 5) 14b + 4 = 18b b = 4b 4,75 = b 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. 3) Effectuer une simple distributivité. 4) Isoler linconnue. 4 4

33 3 (2x + 1) 2 (5x + 6) (5x + 6) 3 (2x + 1) 2 = (5x + 6) 3 = 6 X 2 (2x + 1) 2 = 6 X 3 2 (5x + 6) + 24 = 3 (2x + 1) 10x = 6x x + 36 = 6x x x = -33 x = - 8,25 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. 3) Effectuer une simple distributivité. 4) Isoler linconnue X 6 = (5x + 6) 6 3 (2x + 1) 6 = x + 36 = 6x + 3

34 X 2 Les mêmes principes algébriques sappliquent lorsque lon veut isoler une lettre dans une formule. Dans la formule pour calculer laire dun triangle, isole la base. 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. A = B X H X A = B X H 2 2 2A = BH 3) Isoler la base. H H 2A H = B A A = 1 = 2 X 2 2A

35 Les mêmes principes algébriques sappliquent lorsque lon veut isoler une lettre dans une formule. V D t = Dans la formule pour calculer la vitesse moyenne, isole la distance. Vitesse : Distance temps V D t = 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. V t = D tt X t V V = 1 = t Vt

36 En électricité, la résistance (R) est égale à la tension (U) divisée par lintensité (I). R = U I Dans cette formule, isole I. 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. 3) Isoler lintensité. I I R = U I R R I = U R X I R R = 1 = I I R R = U I

37 C = 2 π rA = π r 2 Dans les formules calculant la circonférence et laire dun cercle, isole le rayon. 2 π C = r π π π A = r 2 = r π A

38 2A = B + b h A = (B + b) X h 2 Dans la formule pour trouver laire dun trapèze, isole la grande base (B). 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2) Enlever les dénominateurs. A = (B + b) X h A = (B + b) X h 3) Isoler la grande base (B). 2A = (B + b) X h h h ( ) 2A h = B + b - b 2A h - b = B Les parenthèses ne sont plus nécessaires.

39 Isole x dans cette formule. y = a x + b - b y – b = ax a a y – b = x a

40 Remarque Il y a autant de façons décrire une formule quil y a de lettres qui la composent. Exemple : V D t = D = V t Si on cherche la vitesse. Si on cherche la distance. D t V = Si on cherche le temps. 3 variables, donc 3 façons différentes décrire la même formule. Il suffit disoler linconnue que lon cherche.


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