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Projet Analyse numérique – 2 Réponse dun bâtiment soumis à une onde sismique.

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1 Projet Analyse numérique – 2 Réponse dun bâtiment soumis à une onde sismique

2 Introduction Les séismes peuvent détruire aisément des bâtiments Les séismes peuvent détruire aisément des bâtiments Nécessité de les protéger Nécessité de les protéger Il existe quatre types dondes sismiques Il existe quatre types dondes sismiques Notre projet : étudier la réaction dun batiment de quatre étages face à une onde sismique de type P Notre projet : étudier la réaction dun batiment de quatre étages face à une onde sismique de type P

3 Analyse du problème I.Modélisation du bâtiment Chaque étage peut être assimilé à un oscillateurChaque étage peut être assimilé à un oscillateur Chaque oscillateur possède une masse (mi), un coefficient damortissement (Ci) et un coefficient de flexion (ki)Chaque oscillateur possède une masse (mi), un coefficient damortissement (Ci) et un coefficient de flexion (ki) En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient quatre équations différentielles à résoudreEn utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient quatre équations différentielles à résoudre

4 Analyse du problème II.Énoncé du problème à résoudre En écrivant le principe fondamental de la statique pour chaque étage (en tenant compte des étages inférieurs et supérieurs) on obtient quatre équations différentielles du second ordre:

5 Résolution du problème I. Choix de la méthode Pour résoudre ce problème, nous avons décidé dutiliser la méthode de Runge Kutta à lordre 4 car : elle est stable elle est stable elle bénéficie dun bon rapport précision/rapidité de mise en oeuvre elle bénéficie dun bon rapport précision/rapidité de mise en oeuvre

6 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 I.Rappels rapides On ramène le problème à des équations différentielles du 1 er ordre : on obtient un système à résoudre On ramène le problème à des équations différentielles du 1 er ordre : on obtient un système à résoudre

7 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 I.Rappels rapides On définit la suite en posant : On définit la suite en posant :

8 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 I.Rappels rapides On écrit les coefficients de RK4 : On écrit les coefficients de RK4 :

9 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 II.Mise en œuvre sous Matlab I.Initialisation du programme Demande à lutilisateur le temps danalyse voulu et le pas désiré Demande à lutilisateur le temps danalyse voulu et le pas désiré Création de la matrice contenant les vitesses et deltas des étages : dim(Y)=[8x(t/pas)] Création de la matrice contenant les vitesses et deltas des étages : dim(Y)=[8x(t/pas)] Création dune matrice contenant les coefficients Création dune matrice contenant les coefficients Initialisation du temps Initialisation du temps

10 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 II.Mise en œuvre sous Matlab II.Résolution en cascade Double résolution en cascade à t donné et à étage donné Double résolution en cascade à t donné et à étage donné Création de la matrice colonne « aux » contenant les deltas vitesses augmentés par les coefficients de RK4 Création de la matrice colonne « aux » contenant les deltas vitesses augmentés par les coefficients de RK4 Calcul des coefficients de RK4 dans des sous- programmes Calcul des coefficients de RK4 dans des sous- programmes Mise à jour de la matrice principale à t donné pour létage concerné Mise à jour de la matrice principale à t donné pour létage concerné

11 Résolution du problème II. Mise en œuvre de RK4 II.Mise en œuvre sous Matlab III.Affichage du graphique Calcul de la courbe modélisant lexcitation du sol lors du séisme Calcul de la courbe modélisant lexcitation du sol lors du séisme Superposition à ce graphique des courbes modélisant les réponses des étages à lexcitation du sol Superposition à ce graphique des courbes modélisant les réponses des étages à lexcitation du sol Ajout de la légende Ajout de la légende

12 Résolution du problème III. Résultats La courbe obtenue est physiquement correcte.La courbe obtenue est physiquement correcte. Affiner le pas provoque une légère augmentation de lamplitude, augmentation qui devient dautant plus légère que lon affine davantage le pas.Affiner le pas provoque une légère augmentation de lamplitude, augmentation qui devient dautant plus légère que lon affine davantage le pas. Le bâtiment retrouve un équilibre assez lentementLe bâtiment retrouve un équilibre assez lentement


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