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Rappel... Matrices bloc. Décomposition des matrices: - décomposition LU - application: réseau de résistances.

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1 Rappel... Matrices bloc. Décomposition des matrices: - décomposition LU - application: réseau de résistances

2 Aujourdhui Solution itérative de systèmes linéaires. –Méthode de Jacoby –Méthode de Gauss-Seidel Application à linfographie.

3 6. Solution itérative de systèmes linéaires Solutions dun système linéaire –méthodes directes (triangularisation,…) –méthodes itératives (approchent numériquement la solution)

4 Pourquoi les méthodes itératives? Si la matrice est grande et avec beaucoup dentrées nulles (« sparse »), le calcul itératif peut savérer beaucoup plus efficace.

5 Problème à résoudre On veut résoudre: Ax = b On pose: A = M - N On a alors: (M - N)x = b Mx - Nx = b Mx = Nx + b

6 Récurrence De façon générale, on cherche à calculer: Mx (k+1) = Nx (k) + b, k = 0, 1, 2,… avec A = M - N

7 Récurrence (suite) On veut avoir: x (k+1) x * (la solution) Il faut choisir M afin que x (k+1) soit facile à calculer.

8 Méthode de Jacoby On suppose que la diagonale de A na pas déléments nuls. Soit D la matrice diagonale formée à partir de la diagonale de A. M = D, N = D - A

9 Méthode de Jacoby (suite) Dx (k+1) = (D - A)x (k) + b, k = 0, 1, 2,… On pose x (0) = 0. –En pratique, on peut utiliser autre chose selon les informations disponibles.

10 Méthode de Gauss-Seidel On pose M = partie triangulaire inférieure de A. Mx (k+1) = (M - A)x (k) + b, k = 0, 1, 2,…

11 Jacoby c. Gauss-Seidel Jacoby est quelques fois plus rapide que Gauss-Seidel, mais en général, cest le contraire. Traitement parallèle: Jacoby est plus rapide.

12 Convergence Parfois, lune ou les deux méthodes ne convergent pas. Une condition permet de garantir la convergence: –la valeur absolue dun élément de la diagonale est plus grande que la somme des valeurs absolues des autres éléments de la ligne correspondante.

13 Calcul manuel Pour le calcul manuel, il est plus simple dutiliser la récursion: x (k+1) = M -1 Nx (k) + M -1 b, k = 0, 1, 2,… On évite ainsi davoir à résoudre en système n n à chaque itération.

14 Calcul manuel (suite) La façon la plus rapide de calculer M -1 N et M -1 b est de faire: [ M N b] ~ [I M -1 N M -1 b]

15 7. Application à linfographie On retrouve un peu partout des applications de linfographie: –jeux sur ordinateurs –effets spéciaux au cinéma –logiciel de dessin On représente parfois, de façon simplifiée, des figures par un ensemble de lignes: « wire frame »

16 Exemple: canette

17 Exemple 2D La lettre N peut être représentée par deux vecteurs de coordonnées: x = [ ] y = [ ] Il faut aussi spécifier les lignes entre les points.

18 Transformations linéaires La transformation linéaire dun segment donne un autre segment. On peut effectuer des opérations sur les figures en multipliant les coordonnées par une matrice 2 2.

19 Coordonnées homogènes Avec les matrices 2 2, on ne peut pas faire de translation. Solution: coordonnées homogènes.

20 Coordonnées homogènes (suite) À chaque point (x, y) dans R 2, on peut faire correspondre un point (x, y, 1) dans R 3. Ces coordonnées peuvent être modifiées par une matrice 3 3.

21 Rotations y x (cos( ), sin( )) (-sin( ), cos( ))

22 x z y (0.866, 0, -0.5) (0, 1.0, 0) (0.5, 0, 0.866) Rotation de 30 o autour de laxe y

23 z x y 0 (x*, y*, 0) (x, y, z) (0, 0, d) z 0 d - z x x* Projection de (x, y, z) sur (x*, y*, 0)

24 Projection en perspective (x, y, z) (x*, y*, 0). x*/d = x/(d - z) x* = x/(1 - z/d) y*/d = y/(d - z) y* = y/(1 - z/d)

25 Projection en perspective (suite) La projection transforme (x, y, z, 1) (x/(1 - z/d), y/(1 - z/d), 0, 1) Si on multiplie par (1 - z/d): (x, y, z, 1) (x, y, 0, 1 - z/d )

26 Applets Java Demo/lettre/ Demo/homog/

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28 Prochain cours... Sous-espaces de R n –Définition –Sous-espaces associés à une matrice –Bases –Coordonnées –Dimension –Rang


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