STT-3220 Méthodes de prévision Section 5 Estimation de la fonction dautocovariance (k) et de la fonction dautocorrélation (k) Version: 11 décembre 2008.

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1 STT-3220 Méthodes de prévision Section 5 Estimation de la fonction dautocovariance (k) et de la fonction dautocorrélation (k) Version: 11 décembre 2008

2 STT-3220; Méthodes de prévision 2 Cas où la moyenne est connue On veut estimer, où Un estimateur naturel de repose sur

3 STT-3220; Méthodes de prévision 3 Étude des c (k) On note: Ceci nous amène à poser:

4 STT-3220; Méthodes de prévision 4 Fonction dautocovariance échantillonnale ( connu) On dit que est la fonction dautocovariance échantillonnale. Cest une première définition. On se rappelle que est définie non- négative. Ce nest pas le cas pour. Pour retrouver cette propriété, on doit considérer de diviser par n et non pas n-k.

5 STT-3220; Méthodes de prévision 5 Étude des c(k) On pose alors: On perd labsence de biais, mais pour k fixé:

6 STT-3220; Méthodes de prévision 6 Étude des c(k) (suite) On obtient donc que les c(k) sont asymptotiquement sans biais (ASB). Pour estimer: Estimateur:

7 STT-3220; Méthodes de prévision 7 Fonction dautocovariance échantillonnale ( inconnu) On considère: Cest la fonction dautocovariance échantillonnale de délai k. On remarque que la variance échantillonnale est:

8 STT-3220; Méthodes de prévision 8 Propriétés des c(k) (i), où, où K est fixé par rapport à n. (ii) Si n est fixé, le biais est de lordre de 1/n, et le biais croît en général avec k. (iii) Lautocorrélation échantillonnale c(k) est convergente en moyenne quadratique pour (k). (iv) Si alors on a que:

9 STT-3220; Méthodes de prévision 9 Fonction dautocorrélation échantillonnale ( inconnu) On rappelle que lautocorrélation de délai k est donnée par: Afin destimer (k), on introduit les r(k):

10 STT-3220; Méthodes de prévision 10 Propriétés des r(k) Sous des hypothèses générales sur le processus, en particulier sur les hypothèses de moments (i), où, où K est fixé par rapport à n. (ii), Pour n fixé, le biais de r(k) est de lordre de 1/n, et il croît en général avec k. (iii) Lautocorrélation r(k) est un estimateur convergent en moyenne quadratique de r(k), pour.

11 STT-3220; Méthodes de prévision 11 Propriétés des r(k), (suite) (iv) La structure de covariance entre r(h) et r(k) est donnée par: (v) Si, alors on a que