Analyse statistique des données expérimentales

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1 Analyse statistique des données expérimentales
Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor

2 Plan Introduction : incertitudes sur les données Probabilités
Distributions de probabilités Incertitudes, propagation des incertitudes Ajustement de courbes

3 Mesure et incertitude Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie La science de la mesure consiste à mesurer à la meilleure précision possible d’évaluer l’incertitude sur la mesure

4 Erreur vs incertitude Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue) Incertitude : écart probable Les barres d’incertitude contiennent probablement la valeur vraie Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse

5 Mesure et incertitude Chiffres significatifs et mesure
Quelle est la signification de : Albert a 22 ans J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo Le LEP mesure 26,66 km de circonférence Ce pointeur laser éclaire à 50 m This laser pointer shines to 54,68 yards

6 Mesure et incertitude Quelle est la signification de:
G = (6,67428 ± 0,00067) × m3 kg-1s-2 me = (9, × kg) ± 50 ppb

7 Chiffres significatifs
a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte) a = 7,3 ± 0,3 a = 7,356 ± 0,04 a = 7,3568 ± 0,005 a = 7,35678 ± 0,0007 On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

8 Chiffres significatifs (exemple)
Soit a = 3 m et b = 7 m a/b = 0, ? a/b = 0,4

9 Incertitude Erreur de mesure Erreur systématique Incertitude aléatoire
Incertitude sur une quantité dérivée Propagation des incertitudes Distribution de probabilité

10 Erreur de mesure Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres: La précision ~ ½ mm Mesure de tension avec un multimètre: La précision dépend de l’appareil L’appareil est très précis mais la tension varie

11 Erreur systématique Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm
Mais la règle est fausse de 10% ! Vous avez mesuré une tension à 0,01% Mais l’appareil est décalibré de 5% Vous avez fait une mesure avec grand soin Mais un des appareils était débranché

12 Incertitude aléatoire (statistique)
Vous répétez une mesure 100 fois Les résultats se ressemblent mais ...

13 Incertitude L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement L’incertitude = 1 déviation standard

14 Incertitude Quelle est la signification de:
G = (6,67428 ± 0,00067) × m3 kg-1s-2 me = (9, × kg) ± 50 ppb L’incertitude = une déviation standard La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68%

15 Exemple de mesures Fréquence d’un pendule (~ 1 s)
Chronomètre très précis (~ 1s par an) À quelle précision puis-je mesurer la période ? quelques dixièmes de seconde L’histogramme présente une fluctuation Je peux moyenner sur plusieurs périodes

16 Exemple de mesures Fréquence de ma respiration
Même précision de mesure que précédemment L’histogramme est plus large Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure Je peux moyenner

17 Est-ce la meilleure façon de mesurer la période ?

18 Non Je compte 100 périodes ~ 100 s ± 0,2 s
Plus facile et plus précis qu’avec plusieurs mesures 100 mesures de ~2 s à ± 0,2 s donnent

19 Incertitude relative ou fractionnaire
G = (6,67428 ± 0,00067) × m3 kg-1s-2 G = 6,67428 × m3 kg-1s-2 dG = 0,00067 × m3 kg-1s-2 dG/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 % me = (9, × kg) ± 50 ppb d me / me = 5 × 10-8 d me = 4,6 × kg

20 Propagation des incertitudes Additions et soustractions
a = 9 ± 3 a entre 6 et 12 b = 7 ± 2 b entre 5 et 9 s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21 d = a - b = 2 ± 5 car d entre -3 et 7

21 Propagation des incertitudes Produits et quotients
a = 29 ± 3 a entre 26 et 32 b = 37 ± 2 b entre 35 et 39 ab = 1073 et est entre 910 et 1248

22 Propagation d’incertitudes pour une somme
Soit 2 mesures x ± dx et y ± dy z = x + y dz = dx + dy (provisoire) La règle est provisoire car on exagère un peu x ± dx contient ~68% y ± dy contient ~68% z ± dz contient ~90%, ce qui surévalue dz

23 Propagation d’incertitudes pour un produit
b = 37 ± 2 z = ab = 1073 ± 169

24 Propagation d’incertitudes pour un quotient
z=a/b On trouve le même résultat : (règle provisoire)

25 Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas l’incertitude absolue
Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas l’incertitude relative 4 x (7,3 ± 0,2) = 29,2 ± 0,8

26 Puissance et on additionne les incertitudes relatives
a une incertitude 4 fois celle de a ça ressemble à une dérivée

27 Règle générale (ou presque)

28 Incertitudes indépendantes
z = x + y dz = dx + dy surestime l’incertitude sur z si les dx et dy sont indépendants l’erreur sur x a autant de chance d’être + ou - l’erreur sur y a autant de chance d’être + ou -

29 Propagation d’incertitudes

30 Incertitudes indépendantes
x et y sont des variables indépendantes Et dx et dy sont des erreurs indépendantes Leurs effets s’additionnent quadratiquement

31 Incertitudes indépendantes
pour des incertitudes indépendantes

32 Propagation d’erreurs
(sans corrélations) Fin #3 29 janvier 2003

33 Probabilités et Statistiques

34 Probabilité Probabilité qu’un événement X se produise
Où N = nombre d’essais

35 Probabilité On lance un dé 6 résultats possibles
Chaque résultat a un pi = 1/6 Normalisation

36 Complément p = la probabilité que X se produise
1 - p = la probabilité que X ne se produise pas q = 1 - p est le complément de p

37 Calcul de la probabilité
1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S 3) p = S/N

38 Calcul de probabilité Probabilité de tirer 3 avec 1 dé
1) N = 6 possibilités 2) S = 1 seule bonne combinaison 3) p = 1/6

39 Calcul de probabilité Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés
1) N = 6 x 6 = 36 possibilités 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1) 3) p = 3/36 = 1/12

40 Calcul de probabilité Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés
2) S = 6 (énumérez les) 3) p = 6/36 = 1/6

41 Distribution de probabilité
Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement Se présente sous forme graphique

42 Distribution pour 1 dé

43 Somme de 2 dés Fin #1 le 1er février 2002

44 Distributions Propriétés des distributions
Moyenne, mode, médiane Valeur attendue Moments Distributions de probabilité particulières Binôme, Gauss, Poisson, ...

45 2 types de distributions
Distributions discrètes Distributions continues

46 Distributions discrètes
(comme on a déjà vu) P(xi) > 0 pour des xi discrets P(xi) = 0 partout ailleurs

47 Somme de 2 dés

48 Distributions continues
Le nombre de résultats permis est  Chaque résultat a une probabilité = 0 On définit la densité de probabilité f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx Normalisation:

49 Distribution continue

50 Mode Valeur la plus probable = 7 pour la somme de 2 dés
Non défini pour un dé Non défini pour pile ou face

51 Médiane Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales
= 7 pour la somme de 2 dés = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)

52 Moyenne Ou valeur attendue Discrète : Continue :

53 Pour une distribution symétrique
Moyenne = Mode = Médiane

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55 Valeur estimée Moyenne = La moyenne de x est la valeur estimée de x
est la valeur attendue (ou estimée) de x Notée La moyenne de x est la valeur estimée de x La valeur attendue de toute fonction f(x) est Fin #1 22 janvier 2003

56 Normalisation La normalisation représente la valeur attendue de 1
qui est bien sûr égale à 1

57 Propriétés de la valeur attendue

58 Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes
Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

59 Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes
Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe

60 Moments Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes

61 Moments On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments Normalisation Moyenne ...

62 Moments centrés ... On soustrait la moyenne pour recentrer
Normalisation Moyenne recentrée = 0 Variance = s ...

63 Écart-type Représente la largeur de la distribution
s = Écart quadratique moyen = Déviation moyenne

64 Mesure et incertitude Je mesure une quantité 5 fois
x = 17, 16, 18, 17, 18 Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?

65 Probabilité de N événements
Obtenir 25 piles en 35 lancers Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle

66 Distribution binômiale
On lance un dé 100 fois La valeur attendue du nombre de 6 est ~17 Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?

67 Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables
La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6 Chaque combinaison de r succès et n- r échecs a une probabilité Il y a combinaisons de r succès Probabilité pour r succès et n- r échecs =

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70 Désintégration radioactive
1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10-8 µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes

71 Probabilité de r désintégrations =
Mais n! est impossible à calculer n est très grand p est très petit np = µ est fini On remplace p par µ/n

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73 Pour la première relation, on note que pour µ=0, ça fonctionne et que par la suite, les deux expressions ont la même dérivée df/dµ.

74 Distribution de Poisson

75 n = 10, p = 0,5 µ = 5 n = 100, p = 0,05 µ = 5

76 Propriétés de la distribution de Poisson
Normalisation Écart-type

77 Rayons cosmiques 180 rayons cosmiques / (m2 min)
Combien en passe-t-il en 10 secondes ? µ = 180*10/60 = 30 On peut prédire qu’il passera rayons cosmiques en 10 secondes

78 Fin #2 6 février 2002

79 Distributions de Poisson
Nombre de fautes de frappe dans une page Nombre d’individus vivant plus de 100 ans Nombre de a émis par une source Nombre d’incendies à Montréal par semaine Nombre de gens tirant le numéro gagnant

80 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

81 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

82 Distribution gaussienne
La distribution de Poisson est asymétrique Mais devient plus symétrique pour µ grand Pour µ>30, la distribution est symétrique Fin #2 23 janvier 2003

83 Fin #2 6 février 2002

84 Distribution gaussienne
Abraham de Moivre 1733 Distribution continue de à Maximum en x = µ Forme en cloche D’application très générale Théorème de la limite centrale Approximation de pour µ grand

85 Distribution gaussienne
Taille des individus QI Incertitudes Vitesse des molécules

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87 Distribution gaussienne
2 paramètres : µ et s Symétrique autour de µ

88 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

89 Distribution normale Distribution gaussienne µ = 0 s = 1
Fonction tabulée Fonction standard

90 Distribution normale

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93 Largeur à mi-hauteur

94 Distribution gaussienne

95 Fonction erreur erf(x)

96 Fonction erreur

97 Théorème de la limite centrale
Sans démonstration Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne

98 Théorème de la limite centrale
Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des si Alors, est distribuée selon une gaussienne avec

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100 Lorentz Pas de lien avec les autres distributions
Phénomènes de résonance Circuits RLC

101 Lorentz s est infini On utilise G

102 Lorentz