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Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor.

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1 Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor

2 Plan Introduction : incertitudes sur les données Probabilités Distributions de probabilités Incertitudes, propagation des incertitudes Ajustement de courbes

3 Mesure et incertitude Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie La science de la mesure consiste à –mesurer à la meilleure précision possible –dévaluer lincertitude sur la mesure

4 Erreur vs incertitude Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue) Incertitude : écart probable Les barres dincertitude contiennent probablement la valeur vraie Attention de ne pas sous-évaluer lincertitude Mieux vaut une mesure présentant une grande incertitude mais qui contienne la valeur vraie que linverse

5 Mesure et incertitude Chiffres significatifs et mesure Quelle est la signification de : –Albert a 22 ans –Jai parcouru 100 kilomètres à vélo –Le LEP mesure 26,66 km de circonférence –Ce pointeur laser éclaire à 50 m –This laser pointer shines to 54,68 yards

6 Mesure et incertitude Quelle est la signification de: –G = (6,67428 ± 0,00067) × m 3 kg 1 s 2 –m e = (9, × kg) ± 50 ppb –www.physics.nist.gov/constants

7 Chiffres significatifs a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte) a = 7,3 ± 0,3 a = 7,356 ± 0,04 a = 7,3568 ± 0,005 a = 7,35678 ± 0,0007 On arrondit lincertitude à 1 chiffre significatif On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif

8 Chiffres significatifs (exemple) Soit a = 3 m et b = 7 m a/b = 0, ? a/b = 0,4

9 Incertitude Erreur de mesure Erreur systématique Incertitude aléatoire Incertitude sur une quantité dérivée Propagation des incertitudes Distribution de probabilité

10 Erreur de mesure Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres: –La précision ~ ½ mm Mesure de tension avec un multimètre: –La précision dépend de lappareil –Lappareil est très précis mais la tension varie

11 Erreur systématique Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm –Mais la règle est fausse de 10% ! Vous avez mesuré une tension à 0,01% –Mais lappareil est décalibré de 5% Vous avez fait une mesure avec grand soin –Mais un des appareils était débranché

12 Incertitude aléatoire (statistique) Vous répétez une mesure 100 fois Les résultats se ressemblent mais...

13 Incertitude Lensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité Lincertitude représente un intervalle à lintérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement Lincertitude = 1 déviation standard

14 Incertitude Quelle est la signification de: –G = (6,67428 ± 0,00067) × m 3 kg 1 s 2 –m e = (9, × kg) ± 50 ppb –Lincertitude = une déviation standard –La probabilité que la vraie valeur soit dans cet intervalle est de 68%

15 Exemple de mesures Fréquence dun pendule (~ 1 s) Chronomètre très précis (~ 1s par an) À quelle précision puis-je mesurer la période ? –quelques dixièmes de seconde Lhistogramme présente une fluctuation Je peux moyenner sur plusieurs périodes

16 Exemple de mesures Fréquence de ma respiration Même précision de mesure que précédemment Lhistogramme est plus large Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure Je peux moyenner

17 Est-ce la meilleure façon de mesurer la période ?

18 Non Je compte 100 périodes~ 100 s ± 0,2 s Plus facile et plus précis quavec plusieurs mesures 100 mesures de ~2 s à ± 0,2 s donnent –

19 Incertitude relative ou fractionnaire –G = (6,67428 ± 0,00067) × m 3 kg 1 s 2 –G = 6,67428 × m 3 kg 1 s 2 – G = 0,00067 × m 3 kg 1 s 2 – G/G = 0,00067/ 6,67428 = = 0,01 % –m e = (9, × kg) ± 50 ppb – m e / m e = 5 × 10 8 – m e = 4,6 × 10 8 kg

20 Propagation des incertitudes Additions et soustractions a = 9 ± 3a entre 6 et 12 b = 7 ± 2b entre 5 et 9 s = a + b = 16 ± 5car s entre 11 et 21 d = a b = 2 ± 5car d entre 3 et 7

21 Propagation des incertitudes Produits et quotients a = 29 ± 3a entre 26 et 32 b = 37 ± 2b entre 35 et 39 ab = 1073 et est entre 910 et 1248

22 Propagation dincertitudes pour une somme Soit 2 mesures x ± x et y ± y z = x + y z = x + y (provisoire) La règle est provisoire car on exagère un peu x ± x contient ~68% y ± y contient ~68% z ± z contient ~90%, ce qui surévalue z

23 Propagation dincertitudes pour un produit a = 29 ± 3 b = 37 ± 2 z = ab = 1073 ± 169

24 Propagation dincertitudes pour un quotient z=a/bOn trouve le même résultat : (règle provisoire)

25 Ajouter ou soustraire un nombre exact ne change pas lincertitude absolue a = 7,3 ± 0,2 b = 4 a + b = 11,3 ± 0,2 Multiplier ou diviser par un nombre exact ne change pas lincertitude relative 4 x (7,3 ± 0,2) = 29,2 ± 0,8

26 Puissance et on additionne les incertitudes relatives a une incertitude 4 fois celle de a ça ressemble à une dérivée

27 Règle générale (ou presque)

28 Incertitudes indépendantes z = x + y z = x + y surestime lincertitude sur z si les x et y sont indépendants lerreur sur x a autant de chance dêtre + ou lerreur sur y a autant de chance dêtre + ou

29 Propagation dincertitudes

30 Incertitudes indépendantes x et y sont des variables indépendantes Et x et y sont des erreurs indépendantes Leurs effets sadditionnent quadratiquement

31 Incertitudes indépendantes pour des incertitudes indépendantes

32 Propagation derreurs (sans corrélations)

33 Probabilités et Statistiques

34 Probabilité Probabilité quun événement X se produise Où N = nombre dessais

35 Probabilité On lance un dé 6 résultats possibles Chaque résultat a un p i = 1/6 Normalisation

36 Complément p = la probabilité que X se produise 1 p = la probabilité que X ne se produise pas q = 1 p est le complément de p

37 Calcul de la probabilité 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S 3) p = S/N

38 Calcul de probabilité Probabilité de tirer 3 avec 1 dé 1) N = 6 possibilités 2) S = 1 seule bonne combinaison 3) p = 1/6

39 Calcul de probabilité Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités 2) S = 3(1,3) (2,2) (3,1) 3) p = 3/36 = 1/12

40 Calcul de probabilité Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés 1) N = 36 2) S = 6 (énumérez les) 3) p = 6/36 = 1/6

41 Distribution de probabilité Indique la probabilité de succès pour chaque type dévénement Se présente sous forme graphique

42 Distribution pour 1 dé

43 Somme de 2 dés

44 Distributions Propriétés des distributions –Moyenne, mode, médiane –Valeur attendue –Moments Distributions de probabilité particulières –Binôme, Gauss, Poisson,...

45 2 types de distributions Distributions discrètes Distributions continues

46 Distributions discrètes (comme on a déjà vu) –P(x i ) > 0 pour des x i discrets –P(x i ) = 0 partout ailleurs

47 Somme de 2 dés

48 Distributions continues Le nombre de résultats permis est Chaque résultat a une probabilité = 0 On définit la densité de probabilité f(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre x et x + dx Normalisation:

49 Distribution continue

50 Mode Valeur la plus probable = 7 pour la somme de 2 dés Non défini pour un dé Non défini pour pile ou face

51 Médiane Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales = 7 pour la somme de 2 dés = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)

52 Moyenne Ou valeur attendue Discrète : Continue :

53 Pour une distribution symétrique Moyenne = Mode = Médiane

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55 Valeur estimée Moyenne = –est la valeur attendue (ou estimée) de x –Notée La moyenne de x est la valeur estimée de x La valeur attendue de toute fonction f(x) est

56 Normalisation La normalisation représente la valeur attendue de 1 qui est bien sûr égale à 1

57 Propriétés de la valeur attendue

58 Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? X i = 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non

59 Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe? X i = 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe

60 Moments Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes

61 Moments On peut représenter une distribution par lensemble de ses moments... Normalisation Moyenne

62 Moments centrés On soustrait la moyenne pour recentrer Normalisation Moyenne recentrée = 0 Variance = s...

63 Écart-type Représente la largeur de la distribution = Écart quadratique moyen = Déviation moyenne

64 Mesure et incertitude Je mesure une quantité 5 fois x = 17, 16, 18, 17, 18 Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?

65 Probabilité de N événements Obtenir 25 piles en 35 lancers Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle

66 Distribution binômiale On lance un dé 100 fois La valeur attendue du nombre de 6 est ~17 Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?

67 Toutes les séries (a 1, a 2,..., a 100 ) sont équiprobables La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6 Chaque combinaison de r succès et n r échecs a une probabilité Il y a combinaisons de r succès Probabilité pour r succès et n r échecs =

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70 Désintégration radioactive 1 g de radium = 2,7*10 21 atomes = 1 Ci = 1,7*10 10 désintégrations/s Demi-vie = 5,26 *10 8 min ~ 1000 ans Probabilité quun atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 10 8 µ = np = 5*10 12 désintégrations en 5 minutes

71 Probabilité de r désintégrations = Mais n! est impossible à calculer n est très grand p est très petit np = µ est fini On remplace p par µ/n

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74 Distribution de Poisson

75 n = 10, p = 0,5 µ = 5 n = 100, p = 0,05 µ = 5

76 Propriétés de la distribution de Poisson Normalisation Écart-type

77 Rayons cosmiques 180 rayons cosmiques / (m 2 min) Combien en passe-t-il en 10 secondes ? µ = 180*10/60 = 30 On peut prédire quil passera rayons cosmiques en 10 secondes

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79 Distributions de Poisson Nombre de fautes de frappe dans une page Nombre dindividus vivant plus de 100 ans Nombre de émis par une source Nombre dincendies à Montréal par semaine Nombre de gens tirant le numéro gagnant

80 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

81 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

82 Distribution gaussienne La distribution de Poisson est asymétrique Mais devient plus symétrique pour µ grand Pour µ>30, la distribution est symétrique

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84 Distribution gaussienne Abraham de Moivre 1733 Distribution continue deà Maximum en x = µ Forme en cloche Dapplication très générale –Théorème de la limite centrale Approximation de pour µ grand

85 Distribution gaussienne Taille des individus QI Incertitudes Vitesse des molécules

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87 Distribution gaussienne 2 paramètres : µ et Symétrique autour de µ

88 Additivité x obéit à y obéit à Alors, z = x + y obéit à

89 Distribution normale Distribution gaussienne µ = 0 = 1 Fonction tabulée Fonction standard

90 Distribution normale

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93 Largeur à mi-hauteur

94 Distribution gaussienne

95 Fonction erreur erf(x)

96 Fonction erreur

97 Théorème de la limite centrale Sans démonstration Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne

98 Théorème de la limite centrale Soit x i i = 1,..., n n variables indépendantes Les x i obéissent à des distributions caractérisées par des µ i et des i Alors, est distribuée selon une gaussienne avec

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100 Lorentz Pas de lien avec les autres distributions Phénomènes de résonance Circuits RLC

101 Lorentz est infini On utilise

102 Lorentz


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