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1 RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN Luc Trouche Institut National de Recherche Pédagogique,

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1 1 RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN Luc Trouche Institut National de Recherche Pédagogique, France Tercer Encuentro Internacional sobre la Enseñanza del Cálculo Novembre 2009, Mexico

2 2 Problèmes de traduction… Toujours complexes pour rendre les nuances de concepts en cours de développement… EnglishProfessor Calculus FrançaisProfesseur Tryphon Tournesol EspagnolProfesor Silvestre Tornasol Merci à François Pluvinage pour son aide et à lassistance pour sa compréhension !

3 3 RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN 1.Nouveaux contextes technologiques : des outils mathématiques individuels à des outils multifonctions en réseau 2.Nouveaux contextes curriculaires : de la salle de classe à la métaphore du laboratoire 3.Nouveaux contextes de développement professionnel : de la thématique des technologies à la thématique des ressources

4 La pratique des calculs, depuis toujours assistée par un ensemble doutils Les outils du mathématiciens: structurés, embarquant des connaissances (Trouche 2004) Une tablette de 10cm x 10 cm, contenant 250 problemas (Nippur, ) 1. Nouveaux contextes technologiques

5 5 Une évolution conjointe des outils et des mathématiques La combinaison doutils anciens et nouveaux, une autre caractéristique du travail mathématique Calcul avec des chiffres / avec des jetons (1400) Règle à calcul dun côté, calculatrice de lautre (1970)

6 6 1. Nouveaux contextes technologiques Les calculatrices, laboutissement dun processus de miniaturisation et de rassemblement doutils sous une même enveloppe Lapparition des écrans et des images animées, un élément important pour donner à voir un ensemble de représentations des objets mathématiques Des effets sur la pratique des mathématiques (zapping) et la conceptualisation (Guin et al. 2005)

7 7 1. Nouveaux contextes technologiques Un fait majeur, le développement des réseaux Réseau, pour une personne donnée, entre un ensemble doutils : cest le même logiciel qui est implémenté sous différentes enveloppes qui communiquent (Aldon et al. 2008) Réseau, pour un ensemble dacteurs, entre un ensemble doutils pour traiter un problème donné Des outils communiquants (tableau blanc interactif, Internet) Complexité des orchestrations à concevoir (Drijvers et Trouche 2008), Réseau calculatrice/ordinateur Réseau dans la classe

8 8 1. Nouveaux contextes technologiques Un premier exemple Le contexte : une classe équipée dun tableau blanc interactif et dune connexion Internet ; une multiplication à réaliser Le premier réflexe : utiliser Google pour avoir le résultat Même technique, pour recherche le résultat dune opération, ou la capitale de la Transylvanie, ou…

9 9 De nouveaux moyens pour soutenir les discussions collectives dans la classe TI-Navigator, réseau de calculatrices Gestion des données et des écrans des élèves par le professeur Plusieurs configurations possibles : mosaïque décran ; repère commun ; consultation rapide… Exploitation possible en physique ou biologie (capteurs), ou en mathématiques 1. Nouveaux contextes technologiques

10 10 Deuxième exemple : ABC est un triangle isocèle, AB = AC = 10 cm, quelle est laire de ce triangle ? - objectif : le concept de fonction - manipulation doutils « anciens » (règle, compas), mesures - envoi des données sur lécran - un objet se constitue, création personnelle, mais détaché de soi ; - recherche dune formule, co-élaboration dun objet mathématique qui modélise un problème donné ; - de nombreux problèmes se posent (incertitudes de mesure ou erreurs de calcul, courbe ou nuage de points, etc.) A B C 1. Nouveaux contextes technologiques

11 11 Choix didactiques complexes pour le professeur : du point de vue de lorchestration (afficher, ou non, les noms des élèves auteurs, repère commun ou mosaïque décrans) ; du point de vue plus général de la gestion de la situation (comment gérer le débat scientifique, quand et comment dégager des significations?) Une viabilité assurée par un intérêt institutionnel et le travail collaboratif dune équipe (Hoyles et al., 2009) 1. Nouveaux contextes technologiques

12 12 La métaphore des laboratoires mathématiques pour pratiquer, apprendre, enseigner les mathématiques, une métaphore régulièrement visitée depuis 1908 (Maschietto et Trouche, online) « Les lycées pourraient abriter des laboratoires de sciences mathématiques à côté de ceux de sciences physiques. Elèves et professeurs y trouveraient documentation, matériels informatiques, logiciels […] Des créneaux horaires spécifiques pourraient être réservés aux professeurs, pour leur formation continue » (Kahane 2000) Nouveaux programmes de mathématiques en France (2009) les thématiques dexpérimentation largement présentes : « lutilisation de logiciels (calculatrice ou ordinateur), doutils de visualisation et de représentation, de calcul (numérique ou formel), de simulation, de programmation développe la possibilité dexpérimenter, ouvre largement la dialectique entre lobservation et la démonstration et change profondément la nature de lenseignement ». 2. Nouveaux contextes curriculaires

13 13 Un exemple : lépreuve pratique de mathématiques au baccalauréat (12 ème grade), expérimentée depuis 2007 « L'objectif de l'épreuve est d'évaluer les compétences des élèves dans l'utilisation des calculatrices et de certains logiciels spécifiques en mathématiques. Il s'agit d'évaluer chez les élèves, la capacité à mobiliser les technologies de l'informatique et de la communication pour l'enseignement (TICE) pour résoudre un problème mathématique Les sujets proposés aux candidats sont des exercices mathématiques où l'utilisation des TICE (calculatrice graphique programmable, ordinateurs et logiciels spécifiques, logiciels libres de préférence, tableurs, grapheur tableur, géométrie dynamique, calcul formel) intervient de manière significative dans la résolution du problème posé ». 2. Nouveaux contextes curriculaires

14 14 Un exemple Enoncé Soit f la fonction définie sur R par On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal Soit a un réel quelconque, M et N les points de C dabscisses respectives a et –a. 1) Construire la figure à laide dun logiciel de votre choix Appeler lexaminateur pour vérification de la figure 2) Faire varier a et emettre des conjectures concernant respectivement la doite (MN) et lintersection I des tangentes à C en M et N. Appeler lexaminateur pour vérification des conjectures 3) Déterminer en fonction de a les coordonnées des points M et N. Justifier les conjectures émises à la question 2. Production demandée -Visualisation à lécran du lieu du point I -Réponses argumentées à la question 3 2. Nouveaux contextes curriculaires

15 15 Un premier bilan institutionnel Ces innovations ont eu plusieurs conséquences : 2. Nouveaux contextes curriculaires

16 16 Le rapport poursuit : Et pourtant… Pas de généralisation envisagée avant 2013 ! Lévaluation est la clé de voute du système, elle « tire » les évolutions de lenseignement. La difficulté à faire bouger lévaluation est un signe de la complexité de la mise en œuvre contrôlée de démarches expérimentales dans lenseignement des mathématiques… 2. Nouveaux contextes curriculaires

17 17 Le foisonnement doutils de différents niveaux (tableau noir, tableau blanc interactif, logiciels, calculatrices, Internet…) demande une redéfinition de ce quest une technologie Emergence de la thématique des ressources, pour un regard large sur le travail du professeur (Gueudet et Trouche 2009) Ce qui re-source lactivité du professeur 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

18 18 Des ressources essentielles : les outils de calcul, et les résultats quils proposent. Le contrôle des résultats, une attitude et des connaissances à développer, aussi bien chez les élèves que chez les professeurs, en particulier en combinant différents registres de représentation : -est-il vrai que cette fonction dadmet pas de limite ? - est-il vrai que cette équation admet une solution ? 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

19 19 La notion essentielle de contrôle de la qualité des ressources, qui élargit celle de contrôle du résultat donné par un outil de calcul Quelles sont, parmi les ressources proposées, les « bonnes ressources » pour enseigner la dérivée dune fonction ? 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

20 20 Comment assurer la qualité des ressources ? 1) Des répertoires « garantis » : Educnet en France (Ministère de lEducation) Des répertoires peu alimentés, peu consultés, des ressources peu évolutives… 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

21 21 Comment assurer la qualité des ressources ? 2) Par des processus collaboratifs… Sésamath, une association pour discuter, concevoir, partager, faire évoluer des ressources pour lenseignement des mathématiques Beacoup dactivité sur le site : 100 adhérents, 7000 personnes dans des groupes de projet, connexions par jour… 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

22 22 Un des projets phare de lassociation : Mathenpoche, des centaines dexercices librement téléchargeables, que lon peut commenter ou enrichir 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

23 23 LaboMep : une interface « laboratoire » de conception, dexpérimentation, et de mutualisation de ressources, à partir du vivier initial de Mep (Math en poche), une version adaptée pour travailler en réseau dans une classe. 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

24 24 Comment assurer la qualité des ressources ? 1) Par des répertoires garantis 2) Par des processus collaboratifs… 3) Par une combinaison des deux… 3. Nouveaux contextes de développement professionnel Le projet Enciclomedia au Mexique (Trigeros et Lozano, en cours) Le projet en France (Gueudet et Trouche 2009)

25 25 Un résultat majeur : pas dappropriation des ressources sans transformation, sans y mettre du sien. Un nouveau regard, pour la recherche, qui considère le travail du professeur comme un fait total (pas seulement en classe, pas seulement son travail individuel) et prend nécessairement en compte trois genèses imbriquées : 1) Genèses de ressources 2) Genèses de communautés denseignants 3) Genèses professionnelles 3. Nouveaux contextes de développement professionnel Résultats dune enquête auprès des membres dune association denseignants, quen retirent-ils comme profit ? « Un nouveau point de vue sur les mathématiques, plus dynamiques » « Je suis devenue un professeur en constant dialogue avec des milliers de collègues », « Le don, la gratuité, le partage, louverture sur le travail des autres », « Cette communauté géante, cette salle des profs immense, cette banque où piocher… »

26 26 Les résultats des processus en jeux ne sont pas donnés davance. Internet, cela peut-être aussi : -de lindividualisme en réseau ; -des ressources clés en main, toutes ficelées ; -un jeu de copier/coller ; -des exercices sous la forme de QCM. Un enjeu qui dépasse les mathématiques… Mais, pour les mathématiques, des ouvertures conjointes : ouverture des problèmes, ouverture des ressources, ouverture des pratiques dans la classe et hors la classe. La métaphore des laboratoires de mathématiques ne vau pas que pour les élèves dans la classes, elle vaut aussi pour le travail des professeurs, ensemble, en présence ou à distance. 3. Nouveaux contextes de développement professionnel

27 27 Bibliographie Aldon G. et al. (2008), Nouvel environnement technologique, nouvelles ressources, nouveaux modes de travail : le projet e-CoLab, Repères-IREM 72, French and English version at CAME, le site de la communauté scientifique internationale Computer Algebra in Mathematics Education actes du colloque 2003 Learning in a CAS Environment: Mind-Machine Interaction, Curriculum & Assessment Drijvers, P., Trouche, L. (2008), From artifacts to instruments: a theoretical framework behind the orchestra metaphor, in K. Heid and G. Blume (eds.), Research on Technology and the Teaching and Learning of Mathematics (pp ), Information Age., Charlotte, NC, Vol. 2. Cases and perspectives Gueudet, G., Trouche, L. (2009), Towards new documentation systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics 71, , Guin, D., Ruthven, K., Trouche, L. (eds.) (2005), The didactical challenge of symbolic calculators: turning a computational device into a mathematical instrument, Springer, New York Hoyles, C., Kalas, I., Trouche, L., Hivon, L., Noss, R., Wilensky, U. (2009), Connectivity and Virtual Networks for Learning, in J.-B. Lagrange, C. Hoyles (eds.), Mathematical Education and Digital Technologies: Rethinking the terrain, Proceedings of the 17th ICMI studies, Springer, New York. Kahane, J.-P. (dir.) (2000), Informatique et enseignement des mathématiques, en lignehttp://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane/RapportInfoMath/RapportInfoMath.pdfhttp://smf.emath.fr/Enseignement/CommissionKahane/RapportInfoMath/RapportInfoMath.pdf Kuntz, G. (dir.) (2007), Démarche expérimentale et apprentissages mathématiques, in Dossiers de la VST, en ligne Maschietto, M., Trouche, L. (online), Mathematics learning and tools from theoretical, historical and practical points of view: the productive notion of mathematics laboratories, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Trigueros, M., Lozano, D. (in progress), Teachers teaching mathematics with Enciclomedia, in G. Gueudet, B. Pepin, L. Trouche (eds.), Mathematics curriculum material and teacher documentation: from textbooks to shared living resources Trouche, L. (2004), Managing Complexity of Human/Machine Interactions in Computerized Learning Environments: Guiding Student's Command Process Through Instrumental Orchestrations, International Journal of Computers for Mathematical Learning 9,

28 28 RECURSOS PARA PROCESAR, APRENDER Y ENSEÑAR EL CÁLCULO: NUEVOS MODOS DE CONCEPCIÓN Y DE DIFUSIÓN Luc Trouche Institut National de Recherche Pédagogique, France Tercer Encuentro Internacional sobre la Enseñanza del Cálculo Novembre 2009, Mexico


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