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Cours du 25 octobre Exceptionnellement, le cours prévu pour le mercredi 25 octobre se donnera Mardi le 24 octobre de 18h30 à 20h20 à la salle 2751 du Pavillon.

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1 Cours du 25 octobre Exceptionnellement, le cours prévu pour le mercredi 25 octobre se donnera Mardi le 24 octobre de 18h30 à 20h20 à la salle 2751 du Pavillon Adrien-Pouliot

2 •Solution itérative de systèmes linéaires. –Méthodes de Jacoby et de Gauss-Seidel. •Application à l’infographie. Rappel... Mx (k+1) = (M - A)x (k) + b, k = 0, 1, 2,…

3 Aujourd’hui •Sous-espaces de R n : –Définition; –Sous-espaces associés à une matrice; –Bases; –Coordonnées; –Dimension; –Rang.

4 8. Sous-espaces de R n • Espaces et sous-espaces vectoriels. • Sous-espaces: souvent liés à une matrice A. • Nous donnent des indications sur l’équation Ax = b.

5 Définition: sous-espace de R n Un sous-espace de R n est un ensemble H dans R n ayant les trois propriétés: a. Le vecteur zéro est dans H. b. Pour chaque u et v dans H, la somme u + v est dans H. c. Pour chaque u dans H et chaque scalaire c, le vecteur cu est dans H.

6 Soit une matrice A m  n, l’espace des colonnes (ou image) de A est l’ensemble, dénoté Col A, de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A. En langage mathématique, on écrit Définition: espace des colonnes Col A = {b| et b = Ax pour un quelconque }

7 b est-il dans Col A? • Il faut déterminer si le système Ax = b a une solution (i.e. s’il est compatible). • Méthode: matrice augmentée [A b] et réduction sous forme échelon.

8 Définition: noyau de A Soit une matrice A m  n, le noyau de A est l’ensemble, dénoté Nul A, de toutes les solutions de l’équation matricielle homogène Ax = 0. En langage mathématique, on écrit Nul A = {x| et Ax = 0}

9 Noyau d’une matrice Le noyau d’une matrice A m  n est un sous-espace de R n. De même, l’ensemble de toutes les solutions d’un système Ax = 0 de m équations linéaires homogènes à n inconnues est un sous-espace de R n.

10 x est-il dans Nul A? • Facile! • On fait Ax. Si Ax = 0, alors x est dans Nul A.

11 Nul A et Col A • Nul A: définition implicite, on doit vérifier chaque vecteur. • Col A: définition explicite, on peut construire les vecteurs en combinant linéairement les colonnes de A.

12 Définition: base Une base pour un sous-espace H de R n est un ensemble linéairement indépendant dans H qui engendre H.

13 Base pour Col A Les colonnes pivot d’une matrice A forment une base pour Col A.

14 Définition: coordonnées B de x Supposons que l’ensemble B = {b 1,..., b p } soit une base d’un sous-espace H. Pour chaque x dans H, les coordonnées de x relativement à la base B (ou les coordonnées B de x) sont les coefficients c 1,..., c p tels que x = c 1 b 1 +... + c p b p,

15 Coordonnées B de x (suite) est appelé le vecteur de coordonnées de x relativement à la base B. et le vecteur dans R p

16 Définition: dimension La dimension d’un sous-espace non-nul H, dénotée dim H, est le nombre de vecteurs dans une base quelconque de H. La dimension du sous-espace zéro, {0}, est définie comme étant égale à 0.

17 Définition: rang d’une matrice Le rang d’une matrice A (Rang A) est la dimension de l’espace des colonnes de A.

18 Rang d’une matrice Les dimensions des espaces des colonnes et des espaces des lignes d’une matrice A m  n sont égales. Cette dimension commune, le rang de la matrice A, est aussi égale au nombre de positions pivot de A et satisfait l’équation rang A + dim Nul A = n

19 Théorème sur les bases Soit H un sous-espace de R n de dimension p. Tout ensemble linéairement indépendant contenant exactement p éléments dans H est automatiquement une base pour H. Également, tout ensemble de p éléments de H qui engendre H est automatiquement une base pour H.

20 Prochain cours... •Déterminants: –définition; –propriétés; –règle de Cramer; –calcul de l’inverse d’une matrice; –aire et volume; –transformations linéaires.


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