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PHY1501 PHY1501 – circuits linéaires Rikard Blunck –

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1 PHY1501 PHY1501 – circuits linéaires Rikard Blunck –

2 PHY1501 PHY Les circuits linéaires RLC •Le but du cours: –Circuit linéaire RLC –Régime transitoire et alternatif –Impédance complèxe ?

3 PHY1501 Le filtre passe-basLes boîtes noires

4 PHY1501 Définitions •chargeqCoulomb1 C •courantiampère1 A = 1 C/s •potentielv, uvolt1V = 1 J/C •tensionv, uvolt1V charge élémentaire e = C

5 PHY1501 Champ électrique de deux charges q et -q F = F = E q test q 1 q 2 4   r 2  = const E

6 PHY1501 Le circuit électrique i = dq/dt +V (  1 ) -V (  2 ) ±Vi Les éléments lineaires: I(2*V) = 2*I(V)

7 PHY1501 Définitions •chargeqCoulomb1 C •courantiampère1 A = 1 C/s •potentielvvolt1 V = 1 J/C •tensionvvolt1 V •source de voltage evolt •source de courantiampère •résistanceROhm1  = 1 V/A •inductanceLHenry1 H = Vs/A •condensateurCFarad1 F = 1 C/V ±V

8 PHY1501 Définitions •chargeqCoulomb1 C •courantiampère1 A = 1 C/s •potentielvvolt1 V = 1 J/C •tensionvvolt1 V •source de voltage evolt •source de courantiampère ±V

9 PHY1501 La résistance R =  l/A avec  : résistance spécifique l : longeur A : surface R = U / I (loi d’Ohm) ±V i R W el = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U 2 /R = I 2 R 1. anneau facteur2. anneautolérance argent or

10 PHY1501 La résistance R =  l/A avec  : résistance spécifique l : longeur A : surface R = U / I (loi d’Ohm) ±V i R W el = U q = U ∫ I dt = U I t P = W/t = U I t/t = U I = U 2 /R = I 2 R

11 PHY1501 Le condensateur Q-Q d E = Q / (  A)  =  0  r  0 = As/Vm Matériel  r Vide Aire Verre4..12 Plexiglas3 Eau81 Bariumtitanat> E +Q-Q V

12 PHY1501 Le condensateur E +Q-Q F F champ = E q W champ = F champ d = E q d W elec = U q W elec = W champ U q= E q d U= E d(E=Q/  A) U= Q d /  A d

13 PHY1501 Le condensateur E +Q-Q U= Q d /  A U  Q La capacité C C= Q / U Farad 1 F = 1 C/V Condensateur de plan C=  A/d d

14 PHY1501 Le condensateur i(t)= dq/dt = d(C v(t))/dt i(t)= C dv(t)/dt v(t) = 1/C ∫i(t) dt V C = Q/V

15 PHY1501 L’inductance : la bobine B = µ = µ 0 µ r (perméabilité magnétique) µ 0 = 1/  0 c 2 = Vs/Am µ q v 4  r 2

16 PHY1501 L’inductance : la bobine Bobine de N tours: B = µ I N / 2  r (Loi de Biot-Savart) u(t) = d(AB)/dt N tours, A=const u(t) = N A dB/dt

17 PHY1501 L’inductance u L (t) = N A dB/dt = N A d / dt (µ i(t) N / 2  r) = N 2 µA/2  r di(t)/dt u L (t)  di(t)/dt u L (t)= L di(t)/dt L: inductance L = N 2 µA/2  r V

18 PHY1501 L’inductance : la bobine

19 PHY1501 Définitions •chargeqCoulomb1 C •courantiampère1 A = 1 C/s •potentielvvolt1 V = 1 J/C •tensionvvolt1 V •source de voltage evolt •source de courantiampère •résistanceROhm1  = 1 V/A •inductanceLHenry1 H = Vs/A •condensateurCFarad1 F = 1 C/V ±V

20 PHY1501 Les lois de Kirchhoff U = R I loi d’Ohm ∑ q k = ∑i k = 0 1. loi de Kirchhoff ∑e k - ∑u k = 0 2. loi de Kirchhoff d dt

21 PHY1501 Deux résistances en série Diviseur du tension

22 PHY1501 Extension d’échelles des mètres de voltage et courant

23 PHY1501 Série et parallèle R total = ∑R k L total = ∑L k = ∑ 1Ck1Ck = ∑ = ∑C total = ∑C k 1 C total 1 R total 1Rk1Rk 1 L total 1Lk1Lk

24 PHY1501 Courant dans une ampoule

25 PHY1501 Circuit RRC i = i 1 + i 2 E = V + R 1 i V = R 2 i 1 i i1i1 i2i2 V e(t) t continue transitoire continue dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v –E/R 1 C = 0

26 PHY1501 Circuit RRC e(t) t continue transitoire continue dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v –e/R 1 C = 0 équation différentielle homogène: dv/dt + (1/R 2 C + 1/R 1 C) v = 0 v(t) = v 0 e -at + const a = (R 1 +R 2 )/R 1 R 2 C v(t=0) = 0  const = -v 0 v(t=∞) = i R 2 = E R 2 /(R 1 +R 2 ) = const v(t) = E {1-e } (R 1 +R 2 ) t R 1 R 2 C R 2 R 1 +R 2

27 PHY1501 Régime variable u(t) = E 0 t<0 u(t) = E t>0 u(t+T) = u(t) T t=0

28 PHY1501 Le circuit LRC en série Solution: i(t) = e sin(  0 t) avec  0 =(4L/C –R 2 ) 1/2 E0LE0L Rt/2L ded 2 idii dt dt 2 dtC = L +R + e = v L + v R + v C i = i L = i R = i C = Ldi/dt + Ri + Q/C

29 LRC régime transitoire PHY1501

30 Régime variable u(t) = E 0 t<0 u(t) = E t>0 u(t+T) = u(t) T t=0

31 PHY1501 Régime alternatif •sinus •triangle •rectangle •dents de scie =—∑sin(  kt)/k 2π2π

32 PHY1501 Régime alternatif – génération u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(  t)

33 PHY1501 Régime alternatif - génération u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(  t)

34 PHY1501 Le courant alternatif u(t) B t û T = 1/f = 2  /  u(t) = û cos(  t) = û cos(2  f t) = û cos(2  t/T)

35 PHY1501 Le courant alternatif u(t) B t û1û1 u 1 (t) = û 1 cos(  t +  1 ) u 2 (t) = û 2 cos(  t +  2 )  =  2 -  1 11 22

36 PHY1501 Le courant alternatif u(t) B t û1û1 u 1 (t) = û 1 cos(  t +  1 ) u 2 (t) = û 2 cos(  t +  2 )  =  2 -  1 11 22

37 PHY1501 Le circuit LRC en série ded 2 idii dt dt 2 dtC = L +R + e(t) = Ê cos(  t) i(t) = Î cos(  t+φ)

38 PHY1501 Impédance – déphasage résonance  0 =1/(LC) 1/2 Î = Ê/(R 2 +(1/  C -  L) 2 ) ½ tan (φ)= 1/  C -  L R

39 PHY1501 La phase

40 PHY1501 Le condensateur en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) u(t) = e(t) = E cos(  t) i(t) = -  CE sin(  t) =  C E cos(  t +  /2) u(t) = L d/dt i(t) i(t) = 1/L E cos(  t) dt i(t) = E/  L sin(  t) = 1/  L E cos(  t -  /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(  t + 0)

41 PHY1501 Le courant alternatif u(t) B t û1û1 u 1 (t) = û 1 cos(  t +  1 ) u 2 (t) = û 2 cos(  t +  2 )  =  2 -  1 11 22

42 PHY1501 C, L et R en régime alternatif C = Q/U i(t) = C d/dt u(t) u(t) = e(t) = E cos(  t) i(t) = -  CE sin(  t) =  C E cos(  t +  /2) u(t) = L d/dt i(t) i(t) = 1/L E cos(  t) dt i(t) = E/  L sin(  t) = 1/  L E cos(  t -  /2) i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(  t + 0)

43 PHY1501 Impédance complexe u c (t) = Ûe j  t = Û cos(  t) + jÛ sin(  t) (Euler) Re(u C (t)) = Û cos(  t) = u(t) Im(u C (t)) = Û sin(  t) (aucun sens)

44 PHY1501 Impédance complexe u c = Ûe j  = Û cos(  ) + jÛ sin(  ) = Re(u c ) + j Im(u c ) Û = Re(u c ) 2 + Im(u c ) 2 tan(  ) = Im(u c ) Re(u c )

45 PHY1501 Impédance complexe Z e j(  +  /2) = cos(  +  /2) + j sin(  +  /2) = -sin(  ) + j cos(  ) = j (cos(  ) + j sin(  )) = j e j(  ) = d/d  e j(  ) e j(  -  /2) = cos(  -  /2) + j sin(  -  /2) = sin(  ) - j cos(  ) = -j (cos(  ) + j sin(  )) = -j e j(  ) = 1/j e j(  ) = ∫ e j(  ) d 

46 PHY1501 Impédance complexe Z e j(  +  /2) = j e j(  ) = d/d  e j(  ) e j(  -  /2) = -j e j(  ) = 1/j e j(  ) = e j(  ) d  Condensateur: u(t) = 1/C ∫ i(t) dt = 1/C ∫ Î e j  t dt = 1/j  C Î e j  t = 1/j  C i(t) Inductance: u(t)= L di(t)/dt = L d/dt Î e j  t = j  L Î e j  t = j  L i(t)

47 PHY1501 Impédance complexe Z Z = impédance complexe Condensateur: u(t) = 1/j  C i(t)Z = 1/j  C Inductance: u(t)= j  L i(t)Z = j  L Résistance u(t) = R i(t) = R Î e j  t Z = R

48 PHY1501 Impédance complexe Z sérieparallèle Z total = Z 1 + Z 2 1/Z total = 1/Z 1 + 1/Z 2 RR 1 +R 2 = R total 1/R 1 +1/R 2 = 1/R total Lj  L 1 + j  L 2 1/j  L 1 + 1/j  L 2 = j  (L 1 + L 2 )=1/j  (1/L 1 + 1/L 2 ) = j  L total = 1/j  L total C1/j  C 1 + 1/j  C 2 j  C 1 + j  C 2 = 1/j  (1/C 1 + 1/C 2 )= j  (C 1 + C 2 ) = 1/j  C total = j  C total

49 PHY1501 Impédance complexe Z L d’une inductance réelle Z L = R L + j  L |Z L | = R L 2 + (  L) 2 tan (  )= = Z L = |Z L | e j   LIm(Z L ) RRe(Z L )

50 PHY1501 Le circuit LRC en série i c (t) = u c (t) / Z i(t) = Re{i c }= Re{u c (t)/Z} u(t) = E cos(  t) u c (t) = E e j  t Série: Z total = Z c +Z R +Z L = 1/j  C + R + j  L = R + j(  L-1/  C) = |Z| e j  avec|Z|= (R 2 + Z 0 2 ) 1/2 Z 0 =  L – 1/  C  = arctan(Z 0 /R) i c (t) = u c (t)/Z total = E/|Z| e j  t e -j  = E/(R 2 +Z 0 2 ) 1/2 e j(  t-  ) i(t) = Re{i c (t)} = E/(R 2 +Z 0 2 ) 1/2 cos(  t-  )

51 PHY1501 Impédance – déphasage résonance  0 =1/(LC) 1/2 résonance  0 =1/(LC) 1/2

52 Puissance PHY1501

53 Puissance complèxe PHY1501 puissance réelle puissance imaginaire

54 Puissance PHY1501

55 Puissance PHY1501

56 Le filtre passe-bas U e =Û e cos(  t) = Û e e j  t U s =Û s e j(  t+  ) A=U s /U e = ?  = ? Les boîtes noires

57 PHY1501 Le filtre passe-bas

58 PHY1501 Le filtre passe-haut U e =Û e cos(  t) = Û e e j  t U s =Û s e j(  t+  ) A=U s /U e = ?  = ?

59 PHY1501 Le filtre passe-haut

60 PHY1501 Voltages dans une circuit LRC

61 LRC filtre PHY1501

62 LRC filtre PHY1501

63 Le filtre passe-bande U e =Û e cos(  t) = Û e e j  t U s =Û s e j(  t+  ) A=U s /U e = ?  = ?

64 PHY1501 Le filtre passe-bande


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