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Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux d’étude en analyse 2ème partie Maggy Schneider Université de Liège.

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1 Autour des limites de fonctions, des études de fonctions et des divers niveaux d’étude en analyse 2ème partie Maggy Schneider Université de Liège

2 2 La piste de la modélisation fonctionnelle Suites d’objets proposées aux élèves 123

3 La piste de la modélisation fonctionnelle  Question sur le nombre d’objets à une étape éloignée, à n’importe quelle étape  Question sur le numéro d’étape à laquelle on a un nombre donné d’objets  Exemples qui se prêtent à plusieurs « programmes de calcul » équivalents  Question sur les similitudes et regroupement d’exemples : premiers paramétrages Permet de distinguer d’emblée équation, identité, modèle fonctionnel y compris paramétré

4 Suites de nombres et fonctions Etape1234…n Nombre … 1+2+…n Etape123…nNombre149… n2n2n2n2 Régularité itérative » et/ou régularité fonctionnelle : variable vis-à-vis de laquelle tous les modèles ne sont pas sur pied d’égalité

5 Suites de nombres et fonctions  Particularité des suites arithmétiques et géométriques : l’étude de la régularité itérative conduit à la régularité fonctionnelle; suites basiques qui trouvent un prolongement dans le programme  Le contexte peut jouer un rôle dans l’apprentissage : objets intermédiaires, intuitions fausses, …

6 Le besoin de prouver Une suite géométrique de raison strictement comprise entre 0 et 1 converge vers 0. Même si la raison est très proche de 1 ? (C. Hauchart). Impact de 1/2 ?

7 Une intuition mise à mal On part d’un carré, à l’intérieur duquel on construit un octogone en divisant les côtés du carré en 3, puis ceux de l’octogone pour obtenir un 16- gone, et ainsi de suite Tous les polygones successifs ont même apothème : leurs aires tendent vers celle du disque inscrit (C. Hauchart) Une suite positive décroissante ne converge pas forcément vers 0

8 Les fonctions s’étudient aussi à plusieurs niveaux Le concept de fonction peut être vu comme concept unificateur au niveau des fondements des mathématiques, c’est-à-dire dans une praxéologie de « déduction », mais aussi, à un niveau plus « élémentaire », comme outil de catégorisation de phénomènes extra ou intra-mathématiques et donc dans une praxéologie de type « modélisation » : l’exemple du calcul intégral

9 Des problèmes qui relèvent de la même catégorie fonctionnelle

10 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même s’ils relèvent tous deux de la méthode d’exhaustion Pour nous, c’est le même problème : primitive d’une fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la nature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVII e siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres » (Bourbaki)

11 Les fonctions sont des outils de classement des problèmes  Une classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation…  Possibilité d’une initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. l’ingénierie relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Thèse de Krysinska)  Rôle des ostensifs algébriques, en amont d’une définition générale du concept de fonction dans un projet de fondement

12 Les fonctions dans un projet de fondement des mathématiques  Organisation déductive de toutes les mathématiques à partir des notions d’ensembles et de relations entre ensembles  Elargissement du concept de fonction pour prendre en compte les relations fonctionnelles dans tous les domaines mathématiques  Apparition, à des fins didactiques, de représentations sans grande valeur instrumentale et d’exemples de peu d’intérêt

13 Étude de graphiques ou modélisation fonctionnelle ?  Un objectif commun : établir des liens entre des expressions analytiques et des types de graphiques  Des accents différents : sens du parcours privilégié dans les exercices : de l’expression vers le graphique ou le contraire, étude complète des fonctions une par une ou étude des principales classes paramétrées en privilégiant les outils les plus adaptés à chaque classe  Importance des paramètres

14 Etude de la classe des fonctions homographiques  Une entrée privilégiée pour introduire le calcul des limites dans le cas où ce calcul correspond à des asymptotes ?  Retombées d’une étude de la classe paramétrée?  Faire comprendre aux élèves ce que cette étude signifie en faisant appel à leurs expériences antérieures relatives aux fonctions du premier ou second degré

15 Etude de la classe des fonctions homographiques  Les élèves veulent une formule ou une technique (une « recette »). Soit, mais ils doivent payer le prix de l’intelligibilité. Sinon, il n’y a aucun apprentissage et on tombe dans les effets pervers du contrat didactique  Une marge de négociation : à eux de trouver la technique (collectivement) et de pouvoir la justifier (individuellement). Dans ce cas, ils sont autorisés à l’utiliser pour se faciliter la vie

16 Le phénomène de réticence didactique  Exemple des suites de nombres et des fonctions homographiques  Préserver le caractère « inédit » et « complexe » des « problèmes »

17 Etude de la classe des fonctions homographiques Comment organiser cette découverte à l’aide de la calculatrice graphique ? Inventaire de plusieurs « variables didactiques »:  Faire constater aux élèves la position des asymptotes sur plusieurs cas; des cas évidents ou douteux ?; en faisant varier plusieurs paramètres à la fois ?; en bloquant tous les paramètres sauf un ?  Se contente-t-on de leur faire constater ou leur demande-t-on d’expliquer pourquoi ?  Demande-t-on aux élèves de prévoir préalablement : la position du graphique à partir de l’expression analytique ou cette dernière à partir du graphique ? Constater n’est pas forcément comprendre

18 Etude de la classe des fonctions homographiques  Cette activité est-elle précédée de la formulation du projet plus global de l’étude de la classe paramétrée?  Y a-t-il une phase d’exploration plus sauvage au cours de laquelle les élèves sont amenés d’eux- mêmes à ne faire varier qu’un paramètre à la fois (ou à le bloquer) ?  Le professeur mise-t-il ou non sur le travail fait antérieurement à propos de la fonction y = 1/x et de ses transformés graphiques ?  Attend-on des élèves une conjecture sur le nombre de graphiques possibles ? (deux « idéogrammes »: y = 1/x et y = - 1/x à un « changement de repère près »)

19 Etude de la classe des fonctions homographiques  Le professeur joue-t-il sur les deux écritures : avant et après division, ou sur une seule ?  En quoi consiste la justification : le transport des asymptotes lors des translations ou l’une ou l’autre expérimentation numérique ? La justification est-elle transférable à d’autres fonctions ? (par exemple des fonctions rationnelles qui ne sont pas homographi- ques)  Le choix de la fenêtre est-il à charge des élèves; leur donne-t-on à analyser des cas où ils devront vraisem- blablement ajuster la fenêtre pour y voir clair ? Au total, quelle est la part d’initiative de l’élève? Où sont ses risques et que peut-il en apprendre?

20 Etude de la classe des fonctions homographiques  La double écriture des fonctions homographiques prouve qu’il ne leur correspond que deux idéogrammes graphiques  Le tracé préalable de y = 1/x montre que la connaissance des asymptotes (plus l’image d’un point) suffit pour dessiner le graphique d’une fonction homographique; pourquoi donc faire une étude complète qui va à l’encontre d’une recherche d’économie de pensée et d’action ? Ou continuer à exploiter les images de graphiques par des transformations ?  Peut-on imaginer d’étudier d’autres fonctions en les groupant en classes paramétrées et en privilégiant certains outils d’investigation ? Quelles sont les fonctions importantes qui ne sont pas des transformées des fonctions de référence ?

21 Exemple d’une application des fonctions homographiques : un phénomène de saturation Le code de la route stipule que, sur une route à bonne visibilité et dans de bonnes conditions, il faut que « deux secondes séparent deux voitures ». Les responsables des tunnels comme celui du Saint Bernard ou celui du Mont Blanc souhaitent que les voitures respectent cette « distance » de sécurité et que le nombre de voitures qui traversent le tunnel soit maximal. Supposons que la longueur moyenne des voitures est de quatre mètres et que leur vitesse constante est la même. Évaluer le plus grand nombre possible de voitures qui peuvent passer le tunnel par minute. Et à quelle vitesse ?

22 Exemple d’une application des fonctions homographiques : un phénomène de saturation Soit f(v) le nombre de voitures par minute en fonction de la vitesse : f(v) = 30v / (v + 2)

23 Expliquer et justifier les effets graphiques de transformations géométriques Variété d’approches :  Faire intervenir les transformations au fur et à mesure des besoins rencontrés dans l’étude des classes de fonctions OU voir toutes les transformations d’emblée en les illustrant sur une fonction de référence OU plusieurs  Jouer sur des tableaux numériques ou non mais lesquels ?  Interpréter dans des situations « concrètes »  Préciser plus ou moins en quoi consistent les transformations; les définir et comment (éventuelle référence aux vecteurs)  Décrire ou non leurs effets sur les coordonnées

24 Certains tableaux sont plus difficiles à faire que d’autres Exemple des translations « horizontales »

25 Certains tableaux sont plus difficiles à faire que d’autres

26 Expliquer et justifier les effets graphiques de transformations géométriques  Une justification utilisant l’ostensif f (x) : « Analytiquement, en notant g(x) = f (x+k), si un point (x,y) appartient au graphe de f, alors le point (x - k, y) appartient au graphe de g car g (x - k) = f(x) »  Une autre plus limitée mais plus facile ? : La translation envoie M (x,y) sur M’(x+k, y) y = x 2 ; x’ = x+k; y’ = y. Donc y’ = (x’ - k) 2

27 Expliquer et justifier les effets graphiques de transformations géométriques Il y a ici un changement de registre : Il y a ici un changement de registre :  Registre géométrique pour les transformations  Registre algébrique pour les fonctions Le trait d’union vient d’une caractérisation algébrique des transformations, voire d’une définition algébrique

28 Travaux sur les classes de fonctions  Fonctions du second degré et fonctions du troisième degré (avec calculatrices graphiques)  Fonctions sinusoïdales  Fonctions exponentielles et logarithmiques

29 A mûrir …


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