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Techniques opératoires au C3 Jacques Le Vot CPC Morlaix.

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1 Techniques opératoires au C3 Jacques Le Vot CPC Morlaix

2 Rappel – Programmes 2008 CE2 Tables de Pythagore + et x +, - et x  Nombre 1 chiffre Problèmes relevant des 4 opérations

3 Rappel – Programmes 2008 CM1 Tables de Pythagore + et x + et – de 2 décimaux x décimal par un entier  euclidienne 2 entiers  décimale 2 entiers Problèmes relevant des 4 opérations (1 ou x étapes)

4 Rappel – Programmes 2008 CM2 Tables de Pythagore + & x +, - et x de 2 entiers ou décimaux  décimal par un entier Problèmes relevant des 4 opérations de + en + complexes

5 Techniques opératoires au C3 introduire l’opération en résolvant des problèmes. (donner du sens aux opérations) Avant d’étudier une technique opératoire, il est nécessaire d’introduire l’opération en résolvant des problèmes. (donner du sens aux opérations) Petit phare CM2 - Hachette

6 Techniques opératoires au C3 difficultés potentielles Bien évaluer les difficultés potentielles que l’élève va rencontrer. Les questions à résoudre : ExpliciteImplicite Explicite ? Implicite ? Petit phare CM2 - Hachette

7 Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération Opération Connaissance des tables + & x Connaissance des critères de divisibilité Technique de l’opération Rôle de la virgule et repérage de l’unité

8 Connaissance des tables + & x Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération  Maîtrise des tables de Pythagore  Commutativité 10,  Multiplier / diviser un entier ou un décimal par 10, 100, 1000

9 Connaissance des critères de divisibilité Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération  Par 2, 3, 4, 5 et 9

10 Technique de l’opération Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération  Maîtrise d’une technique opératoire afin de pouvoir réaliser des calculs de plus en plus complexes (irréalisables en ligne ou en calcul mental)

11 Rôle de la virgule et repérage de l’unité Techniques opératoires au C3 Les points « clés » pour effectuer une opération le positionnement de l’unité  Bien comprendre que dans un nombre la virgule indique précisément le positionnement de l’unité et ceci quel que soit l’unité proposée  14,5 km / 132,26 € / 1,823 t / 12,5 kg

12 La multiplication Techniques opératoires au C3 d’après les travaux de D. Pernoux

13 Technique posée de la multiplication 1°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre : a) Combien vaut 3 fois 42 ? c’est : 4 dizaines et 2 unités Premier rappel 4 x 64 × 60 Si on sait combien vaut 4 x 6, alors on sait calculer 4 × 60 : 4 fois 60 4 fois six paquets de 10 4 fois 60 c’est 4 fois six paquets de 10 4 fois paquets de 10 donc 4 fois 60 c’est 24 paquets de 10 Deuxième rappel : 4 × 60 donc 4 × 60 vaut paquets de dix 120 c’est 12 paquets de dix 23paquets de dix paquets de dix s’écrit 230 « Règle du zéro » Si4 × 6 = 24 alors 4 × 60 = 240 Si 4 × 6 = 24 alors 4 × 60 = 240 Et, bien sûr, 60 × 4 = 240 « Règle du zéro » Si4 × 6 = 24 alors 4 × 60 = 240 Si 4 × 6 = 24 alors 4 × 60 = 240 Et, bien sûr, 60 × 4 = 240

14 3 fois 42 3 fois 42 c’est : Pour calculer 3 × 40 on calcule 3 × 40 3×2 et on calcule 3×2 3 × 4 = 12 donc 3 × 40 = x 40 = × 2 = 6 3 × 42 = = 126 On a utilisé la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. 3 × 42

15 Calcul en ligne rapide : 3 × 42 =3 × 42 =3 × 42 =3 × 42 = 6 12 b) Combien vaut 3 × 45 ? 3 × 5 = 15 3 × 40 = × 45 = Calcul en ligne rapide : 3 × 46 3 × 46 =3 × 46 3 × 46 = × 6 = J’écris 8 et je retiens 1 3 × 4 = × 4 = 12 Avec la retenue ça fait 13 3 × 2 = 6 3 × 4 = 12

16 2°) Multiplication d’un nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres : 34 × 23 Combien vaut 34 × 23 ? 34 × × 23 c’est le nombre de carreaux de ce quadrillage : Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 : On aura donc deux calculs à faire : 4 × × × × = Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les deux résultats trouvés.

17 4 × × 23 4 × 23 = × 23 = 69 donc 30 × 23 = 690

18 Disposition habituelle des calculs : × × ×

19 Calcul posé : 2 3 × × 3 = × 3 = 12 J’écris 2 et je retiens 1 4 × 2 = × 2 = 8 Avec la retenue ça fait par par 3 Maintenant, je devrais multiplier 23 par 30 mais je mets un 0 et je vais pouvoir multiplier 23 par × 3 = × 2 = = = = 18 J’écris 8 et je mets une retenue = 7 1

20 3°) Multiplications avec des nombres comportant plus de deux chiffres 127 × 352 Calcul de 127 × × × × × × × 302 Calcul de 127 × × × × ×

21 4°) Multiplications de nombres décimaux 12,7 × 35,2 Calcul de 12,7 × 35,2 1 2, 7 × 3 5, 2 3 5, × × × × Tout se déroule comme dans l’exemple précédent Je fais l’opération sans tenir compte de la virgule et je la positionne au résultat En fait, je vais multiplier 12,7 par 10 (idem pour 35,2) Le résultat doit donc être divisé par 100 Tout se déroule comme dans l’exemple précédent Je fais l’opération sans tenir compte de la virgule et je la positionne au résultat En fait, je vais multiplier 12,7 par 10 (idem pour 35,2) Le résultat doit donc être divisé par 100,

22 La division Techniques opératoires au C3 d’après les travaux de D. Pernoux

23 Quelques points de repères concernant la technique opératoire de la division euclidienne (CM) I.Rappels pour l’enseignant a) Notion de division euclidienne ab non nul Effectuer la division d’un entier naturel a par un entier naturel b non nul, c’est qr,quotient reste trouver les deux entiers q et r, appelés respectivement quotient et reste, qui sont représentés sur le schéma suivant : 0 b 2b a qbqb (q+1)b r q qbbr a – qb q est tel que qb soit le plus grand multiple de b inférieur ou égal à a et r est égal à a – qb Traduction a = 13 b =3 Si je divise 13 par 3. a = 13 et b =3 la réponse est 4 et le reste 1 q = 4 et r = 1 4 (q)4x3 (qb) plus grand multiple de 3 13 (a)r = a – qb donc 13 – 12 = 1 4 (q) est tel que 4x3 (qb) est le plus grand multiple de 3 inférieur ou égal à 13 (a) et r = a – qb donc 13 – 12 = 1

24 b) Les deux sens de la division euclidienne partageant équitablement Dans une situation où on fabrique des « paquets » en partageant équitablement des objets.  La division peut servir à trouver combien il y a d’objets dans chaque « paquet » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre de « paquets »  La division peut servir à trouver le nombre de « paquets » quand on connaît le nombre total d’objets et le nombre d’objets dans chaque « paquet »

25 23 personnes jouent un même ticket et gagnent 4237 €au loto On veut partager équitablement les 4237 € entre les 23 gagnants On peut chercher d’abord le nombre de chiffres du quotient. Ce n'est pas indispensable mais  ça évite de donner un quotient ayant un ordre de grandeur manifestement erroné (malgré tout extrêmement utile)  ça permet également de garder du sens (on sait mieux, à tout moment la somme que va toucher chaque gagnant) et c'est une aide pour éviter certaines erreurs au moment où on met en œuvre la technique de la division elle-même. ) Rappels concernant la signification des différentes étapes de la technique posée traditionnelle c) Rappels concernant la signification des différentes étapes de la technique posée traditionnelle

26 42 est plus grand que 23. On peut donc donner des parts de 100 € à chaque gagnant est plus petit que 23. On ne peut pas donner 1000 € à chaque gagnant. millierscentainesdizainesunités centaines Le quotient sera donc un nombre à trois chiffres.

27 On cherche combien de parts de 100 € on peut donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 … Parts totales de On peut donner 1 part de 100 € à chacun des 23 gagnants Après avoir donné 1 fois100 € à chaque gagnant, il reste 1937 €. Part individuelle de 100 On a donné en tout 23 × 100 soit 2300 €...

28 On cherche combien de fois 10 € on peut encore donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 = On peut encore donner 8 fois10 € à chaque gagnant Après avoir donné 1 part de 100 € puis 8 parts de 10 € à chaque gagnant, il reste 97 € parts de On peut donc encore donner en tout 23 × 80 € soit 1840 € parts de 10

29 On cherche combien d’euros on peut encore donner à chaque gagnant : 23×1 = 23 23×2 = 46 23×3 = 69 23×4 = 92 23×5 =115 23×6 =138 23×7 =161 23×8 =184 23×9 = On peut encore donner 4 € à chaque gagnant On a pu donner 184 € à chaque gagnant (le quotient est égal à 184) Il reste 5 € (qu’on ne peut pas partager) On peut encore donner 23 × 4 soit 92 € euros isolés

30 II.Remarques sur la division euclidienne a)Savoirs et savoir-faire utiles :  savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables  connaître les techniques de l’addition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication  savoir ce qu’est un multiple et savoir écrire la table des multiples d’un nombre donné (exemple : table des multiples de 23) b)Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle  On peut commencer par une situation de regroupement («Combien de paquets ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. combien de paquets ? Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ?  On peut continuer par une situation de partage («Combien dans chaque paquet ?») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. combien de bonbons chacun ? Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ?

31  Les élèves sont amenés à résoudre ces problèmes en utilisant des procédures personnelles (additives, multiplicative…) Pour arriver à 171 = (25 x 6) + 21 (situation 1) et 213 = (25 x 8) + 13 (situation 2)

32  Travail sur le nombre de chiffres du quotient : Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver

33 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces d’or. Combien auront-ils chacun ? 1 × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = 216 On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6 c.Apprentissage de la technique posée traditionnelle _ _ _

34 - Remarque : Il peut être éventuellement envisageable de travailler avec certains élèves la « technique dépouillée » mais il ne semble pas souhaitable d’exiger que tous les élèves sachent utiliser cette technique. Cette technique exige une très bonne connaissance des tables de multiplication. Aussi bien : 9 x 4 = 36 que 36 = 4 x Le résultat de la division de 3750 par 24 est 156 et il reste 6

35 _ d.Apprentissage de la technique posée traditionnelle (division décimale) , Le reste de cette division décimale est bien 12 centièmes (0,12) 375 = (15,62 x 24) + 0,12 00,


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