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Les concepts dopérations du CP au CM2 du sens aux techniques Stage départemental mathématiques 205 « Nombres et calculs en école élémentaire Cycles 2 et.

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1 Les concepts dopérations du CP au CM2 du sens aux techniques Stage départemental mathématiques 205 « Nombres et calculs en école élémentaire Cycles 2 et 3 » Sandrine Micoud et Fabien Vallier CPC La Tour du Pin et BJ1 D'après un document de Christophe Clanché IEN La Tour du Pin

2 Plan de la journée Quelle place et quels enjeux donnés à lapprentissage du calcul posé à lécole élémentaire ?

3 Nombres et calcul au cycles 2 et 3 : ce qui vous questionne ou met en difficulté Faut-il insister sur le sens lors de lapprentissage dune technique opératoire ? Enseigner seulement la technique durant un temps dédié ? Comment aider les élèves à faire le lien entre les connaissances sur les nombres et les opérations et leur utilisation dans la résolution de problèmes ? – Comment faire acquérir les tables de multiplication aux élèves qui « bloquent » ? – Technique opératoire de la division – Situations relevant de la soustraction Comment aider certains élèves qui nont pas encore certains automatismes simples ? Quels outils pour les élèves les plus en difficulté ?

4 Les constats : Evaluations CE1 – 2011 : exemple dune circonscription (La Tour du Pin) 3 items les plus échoués (moins d1/3 des élèves en réussite) dans le même domaine …. … en CALCUL ! Cest également dans ce domaine que lécart avec le reste du département est le plus important.

5 Circo. Tour du Pin Isère Effectuer 3 divisions 33 % 37,6 % Effectuer 2 multiplications 32 % 40 % 18 : 2 20 : 5 60 : 2 52 x x 5 Problème de partage 21 % 24,9 % Problème soustractif 47,7 %50,7 % Problème multiplicatif 50 %56,3 % x 4 Partage de 75 en 3

6 Item 89

7 Item 79

8

9 Item 92 Seulement un élève sur 5 a trouvé la bonne réponse.

10 Deux exercices réussis par moins dun élève sur 2

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12 Évaluations CM2 – Isère 13 items – 5 compétences pas de problème particulier pour : C % et 81.5% de réussite) C5 74,5% de réussite 1313i j j j C1 hh

13 C2 : environ 52% de réussite 8,3 x 5 = ? ? = 500 Des résultats quasi identiques Multiplication : Problème de retenue : nécessité de lécrire – pb à retenir Problème de virgule : oubli

14 C2 Calculer mentalement Problème de technique 8 X 5

15 C2 Calculer mentalement addition à trou ( ) (500 – 280) réponse : ère étape bien réalisée mais écrite et erreur de retenue Incompréhension de laddition à trou (complément) Erreurs de calcul : autres propositions : 150 – 293 –

16 C3 – Poser et effectuer une addition : 64,5% de réussite Bons résultats Erreur sur la partie décimale : oubli de la virgule

17 bbbbbb C3 – Poser et effectuer une addition Erreurs de disposition / dalignement :

18 C3 – Poser et effectuer une addition Les nombres sont transformés :

19 C3 – Poser et effectuer une soustraction : 74% de réussite placer la virgule Notion décart constant :

20 C3 – Poser et effectuer une multiplication : 81% de réussite avec le même résultat

21 C3 – Poser et effectuer une multiplication (Nombre décimal X entier à 1 chiffre) : 51% de réussite 14 X 30 nombre détapes place/rôle de la virgule pb de numération

22 C4 : quotient entier (79% de réussite ) quotient avec 1 partie décimale (43%)

23 Nombre de chiffres au quotient partie décimale

24 C6 : 71% trouvent la bonne opération mais seulement 25% le résultat

25 La théorie des concepts Les problèmes qui peuvent être résolus à laide du concept Les résultats, algorithmes, procédures qui sont à mémoriser, automatiser ou qui pourront être élaborés Les éléments langagiers qui permettent dévoquer le concept (langage verbal et symbolique) Les propriétés utilisables

26 Les problèmes : 2 types de multiplication : la multiplication combinaison (Cf. tableau à 2 entrées, produit de mesure) la multiplication transformation : prendre plusieurs fois une grandeur (additions réitérées) Le langage : « scolaire » : fois, multiplié par, multiplicateur, multiplicande, produit, multiple « en situation » : Faire des paquets de, des piles de, des rangées de, des colonnes de, des groupes de… prendre autant de fois reporter… fois Le langage symbolique : à lécole seulement a x b = c ou x c a b au collège : a.b = c ou ab=c Le concept de multiplication

27 Procédures et résultats : procédure de calcul mental : Commuter Décomposer / associer / distribuer Compenser algorithme écrit : décomposer : les tableaux la technique française décortiquer dautres techniques les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à lenvers » Les propriétés : la commutativité lassociativité lélément neutre : 1 lélément absorbant : 0 chaque nombre différent de 0 a un symétrique (appelé inverse) : a x 1/a = élément neutre la distributivité Le concept de multiplication

28 La multiplication : par où commencer ? Laddition réitérée ou Les quadrillages ???

29 Historiquement… Les Grecs mettaient toujours en relation le numérique et le géométrique : Un nombre représenté par une longueur 5 cm X X Un produit de 2 nombres représenté par laire dune surface

30 8 multiplié par 5 8 x 5 = (5 fois 8) 8 x 5 = Mais 8,2 x 1,7 = ??? Les limites de laddition réitérée

31 Alors que … 5,4 x 6,3 Et même… ? 6,3 cm 5,4 cm

32 Les propriétés à acquérir La commutativité : 3 x 25 = 25 x 3 Absolument nécessaire pour la multiplication posée: 2 x 327 se pose en fait en 327 x 2 Pas évident si lon reste sur le sens « additions réitérées » 5 paquets de 6 mais 6 paquets de 5 ??? 3 barres de 6 carreaux ou 6 barres de 3 carreaux

33 Les propriétés à acquérir La distributivité (à droite et à gauche) 3 x 15 = (3 x 10) + (3 x 5) et 15 x 3 = (10 x 3) + (5 x 3) Indispensable pour introduire la technique opératoire. Avec laddition réitérée : 5 paquets de 6 billes, cest 2 paquets de 6 billes plus 3 paquets de 6 billes. Avec le produit de mesures : 6 rangées de 3 carreaux cest 2 rangées de 3 carreaux plus 4 rangées de 3 carreaux.

34 Activités préparatoires à mener au CP, au CE1 : rappels EN VRAC OU ORGANISES ?

35 3 2 6 RÉALISONS DES COUPLES ET DÉNOMBRONS-LES !

36 Retrouvons le bon rectangle

37 La table de multiplication À construire et à analyser avec les élèves

38 Les tables de multiplication Leur donner du sens, une nécessité ! Jean Simon travaille rue Albert Guillaume Jean Paul travaille rue Guillaume Albert Paul Roger travaille rue Jean Roger Essayez de mémoriser cela en 30 secondes

39 Les tables de multiplication Leur donner du sens, une nécessité ! 3 X 4= 12, 3 X 7= 21 7 X 5= 35 1 Albert 2 Guillaume 3 Jean 4 Simon 5 Roger 7 Paul Jean Simon travaille rue Albert Guillaume Jean Paul travaille rue Guillaume Albert Paul Roger travaille rue Jean Roger

40 Les tables de multiplication

41 Une progression basée sur la réflexion : Après la table de 2, les tables de 4 et de 8 peuvent être reconstruites. Même remarque après la table de 3 pour 6 et 9. La seule n'ayant aucun lien avec les autres, donc a priori la plus difficile à mémoriser, c'est la table de 7. Mais, en réalité, il ne reste alors que 7 x 7 à apprendre. Tous les autres peuvent être retrouvés par commutativité (Exemple : 7 x 8 et 8 x 7 ….)

42 Les tables de multiplication Les cowboys Les chaises mu…ltiplicatives Des activités : du Pour les élèves en difficultés travailler les résultats qui ne sont pas connus ! A vous de jouer A vous de jouer !!!!

43 Les tables de multiplication : avec des jeux Des jeux à fabriquer : en fabriquant 1 jeu de chaque, toute la classe peut jouer en même temps ! * le jeu des mariages * le jeu de mémory * le jeu de la table * le jeu de Pythagore * les 50 cases * le jeu des multiples

44 Les mariages

45 Jeu de mémory Jeu de rapidité

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47 Jeu de Pythagore

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50 A vous de poser : 34 X 23

51 La technique opératoire Un préalable la décomposition des nombres car …

52 La technique opératoire

53 Multiplication dun nombre à deux chiffres par un nombre à deux chiffres : Combien vaut 34 × 23 ? 34 × 23 cest le nombre de carreaux de ce quadrillage : Pour trouver le nombre de carreaux du quadrillage, on décompose 34 : On aura donc deux calculs à faire : 4 × × 23 Et pour trouver combien vaut 34 × 23 on ajoutera les deux résultats trouvés × × =

54 4 × × 23 4 × 23 = × 23 = 69 donc 30 × 23 = 690

55 Disposition habituelle des calculs : × × ×

56 Multiplication posée que nous avons retenue 34 X 23 ou

57 Et les décimaux...

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68 La division

69 Les problèmes : de type groupement (quotition) de type partage (partition) de type « fois moins » Proportionnalité Le langage : « scolaire » : diviser/division quotient, reste, dividende, diviseur « en situation » : partager, part faire des paquets de, rassembler par … combien de fois Le langage symbolique : :, /, « potence », barre de fraction Le concept de division

70 Procédures et résultats : procédure de calcul mental : moitié, quart : 10, : 100 utiliser les propriétés algorithme écrit : rechercher le nombre de chiffres du quotient écrire la table du diviseur écrire les soustractions intermédiaires les tables : connaître les tables à lenvers Les propriétés : elle nest pas commutative elle nest pas associative lélément neutre : 1 tout nombre différent de 0 est son propre symétrique (a : a = 1) le quotient dune somme est égal à la somme des quotients (18 + 6) : 3 = (18 : 3) + (6 : 3) 24 : 3 = = 8 diviser par un produit équivaut à diviser par chacun des termes du produit 24 : (2X4) = (24:2 ) : 4 24 : 8 = 12 : 4 =3 Le concept de division

71 La division : les particularités Le symbole « : » ne sert que dans des cas particuliers Exemple : 45 : 5 = 9 Nest valable que comme réciproque de la multiplication Mais 47 : 5= ? 47: 5 = 9 reste 2 est incorrect Donc 47= (9 x 5) + 2

72 Les 2 sens de la division

73 … et un 3 ème ! Dans le catalogue « Vert gazon », on peut acheter 2 chaises de jardin pour 76. Quel est le prix dune chaise ? Japprends les maths Ni partition, ni quotition … mais Proportionnalité (notion de « fois moins ») « Si 2 chaises coûtent 76, une chaise coûtera donc 2 fois moins cher »

74 Quelle progression ? En fonction du type de problème Des procédures différentes Groupement Partage (Quotition) (Partition)

75 Quelle progression ?

76 Partage

77 Quelle progression ? 1 – On commence par des situations de quotition

78 Quelle progression ? 11

79 Quelle progression ? 2 – On continue par des situations de partition

80 A vous de poser : 3750 : 24

81 Division : la technique Seulement au CE2 ! Programmes 2008 : CE1 : il nest jamais fait mention de la technique opératoire de la division « diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier) » « approcher la division à partir dun problème de partage ou de groupements »

82 Division : la technique On utilise dès le début des situations avec reste : pour éviter dinstaller une mauvaise représentation de la division ! Au CE2

83 La division : les particularités Le résultat de la division est composé de deux nombres : le quotient et le reste 47 divisé par 5 a pour quotient 9 et pour reste 2 47 = (9 x 5) + 2 alors que le résultat de toute autre opération est composé dun seul nombre

84 Savoirs et savoir-faire utiles : -Savoir faire la différence entre partages équitables et partages non équitables - Connaître les techniques de laddition, de la soustraction et de la multiplication et les tables de multiplication - Savoir ce quest un multiple et savoir écrire la table des multiples dun nombre donné (exemple : table des multiples de 16)

85 Problèmes précédant le travail sur la technique posée traditionnelle (1 séance) - On peut commencer par une situation de groupement (« Combien de paquets ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra de faire un travail sur les multiples sans aborder encore la technique posée traditionnelle. Exemple : 171 bonbons - des paquets de 25 bonbons - combien de paquets ? 171 = (6 X 25) + 21

86 - On peut continuer par une situation de partage (« Combien dans chaque paquet ? ») avec un quotient à un chiffre qui permettra, elle aussi, de faire un travail sur les multiples toujours sans aborder la technique traditionnelle. Exemple : 213 bonbons - 25 enfants – combien de bonbons chacun ? 213 = (8 X 25) + 13

87 - Problème que les élèves sont amenés à résoudre en utilisant des procédures personnelles Exemple : un géant qui fait des pas de 15 km part de son premier château pour aller vers son deuxième château distant de 3530 km. Combien de pas le géant doit-il effectuer pour atteindre ce deuxième château? La mise en commun permet de faire apparaître les différentes procédures utilisées par les élèves On peut garder sous la forme daffiches des traces des procédures utilisées de façon à pouvoir sy référer lors des séances suivantes. On peut écrire à la fin : 3530 = (235 × 15) + 5 Rappel : Il semble préférable, au niveau mathématique d'avoir dès le départ une division avec reste pour ne pas donner une fausse image de la notion de division …

88 Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle (2 ème séance) Remarque : on peut dabord faire construire la table des multiples de 15 et demander dutiliser cette table pour effectuer des calculs du type 5 × 15, 50 ×15, 500 ×15, 5000 ×15, … Elaborer progressivement la technique posée traditionnelle cest sintéresser parmi les différentes procédures utilisées pour résoudre le problème du géant, à la procédure soustractive quon va améliorer pour le rendre de plus en plus efficace.

89 On pourra, par exemple, arriver à une présentation de ce type : Le géant fait 235 pas Il lui reste encore 5 km à parcourir

90 Nouveau problème (problème avec une division-partition alors que le problème du géant était un problème de division-quotition) 24 flibustiers veulent se partager équitablement 3750 pièces dor. Combien auront-ils chacun ? Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle …suite (3ème et 4 ème séances mais qui ne suivent pas nécessairement immédiatement la deuxième séance) [Là encore, il y a un reste … (à ajouter à la part du capitaine, à enterrer en prévision de jours plus difficiles, … ? :-) ]

91 On pourra reprendre une présentation des calculs analogues à celle vue au paragraphe précédent puis laméliorer pour arriver à : × 24 = 24 2 × 24 = 48 3 × 24 = 72 4 × 24 = 96 5 × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = × 24 = 216 On utilise la table des multiples de 24 pour donner le maximum de paquets de 100 pièces, puis le maximum de paquets de 10 pièces puis le maximum de pièces. On peut écrire : 3750 = (156 × 24) + 6

92 Elaboration progressive de la technique posée traditionnelle suite … (5 ème séance mais qui ne suit pas nécessairement immédiatement les précédentes et qui peut ne concerner que le CM2) - Travail sur le nombre de chiffres du quotient : Sans effectuer les divisions, trouver le nombre de chiffres du quotient (indiquer le nombre de chiffres du quotient en mettant – ou – – ou – – – à la place du quotient) et expliquer comment vous faites pour le trouver _ __ _ _

93 15 x 1 < 825 < 15 x x 10 < 825 < 15 x chiffres au quotient

94 - Technique posée traditionnelle :

95 Et les décimaux...

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102 Additions et soustractions

103 Les problèmes : composition de 2 états transformation dun état comparaison de 2 états composition de transformations Le langage : « scolaire » : ajouter, additionner plus somme, addition, total « en situation » : mettre ensemble réunir avancer en tout gagner / perdre Le langage symbolique : a + b = c Le concept daddition

104 Procédures et résultats : procédure de calcul mental : commuter décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : groupement par 10, échange lalgorithme français décortiquer un autre algorithme les tables : construire articuler mémoriser restituer « automatiquement » utiliser « à lenvers » Les propriétés : la commutativité lassociativité lélément neutre : 0 existence dun symétrique : a + (-a) = 0 (non étudié à lécole) Le concept daddition

105 Les problèmes : composition de 2 états transformation dun état comparaison de 2 états composition de transformations Le langage : « scolaire » : ôter soustraire différence écart moins « en situation » : retirer, enlever reculer gagner, perdre le complément, ce qui manque ce qui reste Le langage symbolique : a - b = c Le concept de soustraction

106 Procédures et résultats : procédure de calcul mental : impossibilité de commuter ! décomposer/associer/distribuer compenser algorithme écrit : connaissance dun des trois algorithmes : sans retenue (on casse les classes) avec retenues en bas avec retenues en bas et en haut comparaison des algorithmes les tables : passer de la formulation : « 5 pour aller à 7 2 » à « 7 – 5 = 2 » Les propriétés : elle nest pas associative elle nest pas commutative élément neutre : 0 propriété de lajout simultané : a-b = (a+c) – (b+c) soustraction dune somme (cf. calcul réfléchi) : a-(b+c)= a-b-c soustraction dune différence (cf. calcul réfléchi) a-(b-c)= a-b+c Le concept de soustraction

107 La mémorisation des répertoires additifs et soustractifs

108 Pour faciliter la visualisation des acquis

109 La technique opératoire de laddition Étroitement liée à la numération et aux échanges mais également à la connaissance du répertoire additif. Importance de faire des jeux (le banquier, les enveloppes, les bûchettes...) …. Film sur les bûchettes … …

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117 Et les décimaux...

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120 La technique soustraction Plutôt les techniques ! A vous de poser :

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124 La technique soustraction La technique par « cassage des classes » Elle repose sur la décomposition des nombres : 32 =

125 La technique soustraction Limites de cette dernière : -Quand il y a des zéros … -Elle nest pas la méthode « traditionnelle » ( à la maison, on essaiera de leur apprendre lautre!) -Elle complique la tâche dans les divisions Si elle est utilisée en CE1, il faut programmer sur lécole le passage à la méthode traditionnelle (en France !)

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129 La technique soustraction La technique « traditionnelle » Elle repose sur la notion décart constant.

130 A Avec les décimaux …

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133 En conclusion


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