ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur

Présentation au sujet: "ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur"— Transcription de la présentation:

1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes itératives : Jacobi, Gauss Seidel, relaxation

2 Résoudre un système linéaire

3 Résoudre un système linéaire en itérant
Si Ax n’est pas encore égale à b, on recommence !

4 Osons itérer ! méthode de Jacobi
Soit D la diagonale de la matrice A, et G le reste : A = D+G

5 Gauss Seidel

6 méthode de Gauss-Seidel
Soit E la triangulaire inférieure et F la supérieure de la matrice A : A = D+E+F

7 La relaxation Démo de Gauss Seidel
il faut repasser par la formelu sur les xi

8 Résumé « algorithmique »
Démo de Gauss Seidel il faut repasser par la formelu sur les xi

9 Convergence Principes généraux Éléments de démonstration
- x* est un point fixe de l’algorithme -

10 Normes matricielles Définition
Soit A une matrice nxm, étant donnée une norme vectorielle, on appelle norme matricielle subordonnée, la norme matricielle définie par : Conséquence :

11 Exemples à utiliser pour le calcul ! Illustration 2d x1 x2 x2 x1

12 Calculez les valeurs propres de
Et ses vecteurs propres ? Burben p 438

13 Rayon spectrale d’une matrice
Définition : on appelle rayon spectrale d’une matrice carrée A, le nombre réel r(A) tel que : Théorème : soit A une matrice nxm, alors : Corollaire : si A est une matrice carrée symétrique nxn, alors : Remarque : en général, le rayon spectrale n’est pas une norme :

14 Convergence : le retour
Principes généraux Théorème : les points suivants sont équivalents : C est une matrice convergente, (i.e. Ck tend vers 0) r(C)<1

15 Résumé « algorithmique »
Démo de Gauss Seidel il faut repasser par la formelu sur les xi

16 Convergence Théorème : Si A est une matrice à diagonale strictement dominante, alors la méthode de Jacobi converge. Démonstration Remarque : il en est de même pour la méthode de Gauss-Seidel

17 Convergence Théorème : soit une méthode itérative :
Si A est une matrice symétrique définie positive telle que si A = M-N alors M+N’ est définie positive Alors la méthode itérative est convergente Démonstration Théorème : Si A est une matrice symétrique définie positive, la méthode de la relaxation converge pour :

18 Influence de w clear n = 10;A = rand(n,n);A=A'*A;%A = A+eye(n);
xs = ones(n,1);b = A*xs; t=cputime;xg = A\b;tt = cputime-t; D = diag(diag(A)); E = tril(A,-1); F = triu(A,1); max(max(A-D-E-F)) w = 0.005:0.01:2; m = length(w) for i = 1:m unsurw = 1/w(i); M = unsurw*D+E; N = (unsurw-1)*D-F; vp = eig(inv(M)*N); rho(i) = max(conj(vp).*vp); end figure(1); subplot(2,1,1) h = plot(w,rho); set(h,'LineWidth',4); set(gca,'FontSize',14,'FontName','Times','XTick',[0 2],'YTick',[0 1],'Box','on');ylabel('\rho(M^{-1}N)') title('rayon spectral de la matrice M^{-1}N') ax = axis; axis([0 2 ax(3) (1+(1-ax(3))/8)]) grid xlabel('\omega')

19 Remarques pratique : pas de preuve de convergence généralisée,
on préfère la relaxation avec différents tests pour w, on préfère les méthodes directes, voir les méthodes semi directes pour les problèmes de grande taille (cf les méthodes « multigrilles »),

20 Conditionnement d’un système linéaire
Deux vecteurs très différents donnent des solutions très proches x2 1 x1 1 3

21 Conditionnement : influence du second membre

22 Un problème est dit « bien conditionné » si c(A) est proche de 1,
Conditionnement Définition : on appelle conditionnement d’une matrice carrée A, relatif à une norme subordonnée, le nombre réel c(A) : Remarque : Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière) Perturbation du second membre Perturbation de la matrice Un problème est dit « bien conditionné » si c(A) est proche de 1, il est dit « mal conditionné » si c(A) est grand (et mal posé si c(A) est infini)

23 Conditionnement Remarque : si A est symétrique, si on note ses valeurs propres li Dans l ’exemple,

24 Comment améliorer le conditionnement ?
Ajouter un « chouia » sur la diagonale

25 Itérations ! A = randn(n); b= ones(n,1); x = A\b; err = A*x-b;
norm(err) ans = e-013 dx = A\err; err2 = A*(x-dx)-b; norm(err2) ans = e-014

26 TP - la relaxation Le but du TP est d’écrire un programme matlab résolvant un système linéaire par la méthode de la relaxation x = relax(A,b,w,nite,err) Pour ce faire, il faut étudier l’évolution du rayon spectal - mettez vous par binôme - rédigez une page : recto : ce que vous avez fait verso ce que vous en pensez - a rendre pour le 8 décembre à 17h30 (publication du corrigé) Indices : créer un problème test, les fonction cputime et flops tril et triu pourraient vous simplifier la vie et diag(diag()) et eig aussi

27 Propriétés Définition : on appelle quotient de Rayleigh la fonction qA(x) Soit A une matrice carrée, on appelle polynôme caractéristique de A le polynôme défini par : Les n racines li de ce polynôme sont les valeurs propres de A, vi est un vecteur propre de A. Il existe n vecteurs vi tels que : li est une valeur propre de A, vi est un vecteur propre de A. Théorème : si A est symétrique,