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Mathématiques et Radiosité M. Leblond Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Laboratoire dInformatique du Littoral Université du Littoral Côte.

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1 Mathématiques et Radiosité M. Leblond Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Laboratoire dInformatique du Littoral Université du Littoral Côte dOpale

2 28 janvier 2002GdR ALP2 Cadre de mes travaux Thèse de mathématiques (juin 2001) : « Propriétés des matrices de la radiosité. Application à la résolution du système de la radiosité. » Deux domaines : –mathématiques appliquées : M. Prévost du LMPA –informatique graphique : C. Renaud du LIL Articles : –« H-selfadjoint matrices. Application to radiosity. » M. Leblond Numerical Linear Algebra with Applications (janvier 2002). –« Hybridization techniques for fast radiosity solvers » M. Leblond, F. Rousselle, C. Renaud CGI 2000 Genève. Proceedings in IEEE Computer Society

3 28 janvier 2002GdR ALP3 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

4 28 janvier 2002GdR ALP4 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

5 28 janvier 2002GdR ALP5 Introduction : la radiosité classique Modèle simplifié d'illumination globale (Goral 1984) : –Simulation de tous les échanges d'énergie dans un milieu fermé –Émission et réflexion sont les seuls phénomènes physiques pris en compte –Énergie rayonnant de la surface d'un objet est diffuse

6 28 janvier 2002GdR ALP6 Introduction : la radiosité classique Discrétisation de la scène en n facettes système linéaire (90 % du temps) résolution (10% du temps) base de données illumination

7 28 janvier 2002GdR ALP7 Introduction : le système de la radiosité Φ = I - RF est la matrice des interactions R = diag( 1,…, n ) avec i la réflectance de la i ème facette F est la matrice des facteurs de forme b est le vecteur des exitances énergétiques x est le vecteur inconnu des radiosités x, b et R dépendent de la longueur d'onde F ne dépend pas la longueur d'onde. Elle est uniquement déterminée par la géométrie de la scène Résolution des systèmes pour plusieurs longueurs d'onde

8 28 janvier 2002GdR ALP8 Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) –temps de calcul très long de F

9 28 janvier 2002GdR ALP9 Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) –temps de calcul très long de F –très grande quantité de mémoire pour stocker F

10 28 janvier 2002GdR ALP10 Introduction : résolution numérique du système de la radiosité Les algorithmes numériques classiques (la matrice complète est requise) –temps de calcul très long de F –très grande quantité de mémoire pour stocker F Les algorithmes de radiosité progressive (Cohen 1988) : –à chaque itération une seule ligne de F est calculée La radiosité hiérarchique (Hanrahan 1991) : –discrétisation dynamique de la scène –réduction importante du nombre de facteurs de forme à calculer

11 28 janvier 2002GdR ALP11 Introduction : nos motivations Faire le point sur les propriétés des matrices de la radiosité Identifier des algorithmes efficaces pour résoudre le système de la radiosité quand F peut être stockée Applications possibles des résultats : –accélération de la méthode Group Accelerated Shooting Method (F. Rousselle et C. Renaud EGRW99) –accélération des simulations de transferts radiatifs : (ex : simulation de la croissance des plantes) Préparer des travaux de recherche futurs

12 28 janvier 2002GdR ALP12 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

13 28 janvier 2002GdR ALP13 Matrices H-hermitiennes : introduction La prémultiplication de par H, s.d.p., donne symétrique Soit Pour Généralisation au cas complexe

14 28 janvier 2002GdR ALP14 Matrices H-hermitienne : espace H-hermitien Soit H une matrice hermitienne définie positive : Produit scalaire H-hermitien : H-norme vectorielle : H-norme matricielle : Ensemble H-orthonormal, M matrice H-orthonormale

15 28 janvier 2002GdR ALP15 Matrices H-hermitiennes : définitions et théorème La H-adjointe de, notée, est définie par : Définitions : Théorème fondamental : M est H-hermitienne Ψ=HM hermitienne Θ=H ½ M H -½ est hermitienne M est diagonalisable par une matrice H-orthonormale P et ses valeurs propres sont réelles : M est H-auto-adjointe ou H-hermitienne

16 28 janvier 2002GdR ALP16 Matrices H-hermitiennes : propriétés Théorème : extension du théorème de Courant-Fischer Proposition : soit M H-hermitienne Si M est inversible où plus grande et plus petite valeur propre de Corollaire :

17 28 janvier 2002GdR ALP17 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

18 28 janvier 2002GdR ALP18 Propriétés des matrices de la radiosité F, = I-RF, = H et = H ½ H -½ sont irréductibles symétrique est H-symétrique est diagonalisable et ses valeurs propres sont réelles et symétriques diagonalisables à valeurs propres réelles, et sont des M-matrices (éléments hors diagonaux 0, régulière, inverse non négative)

19 28 janvier 2002GdR ALP19 Propriétés des matrices de la radiosité (suite) et M-matrices symétriques et matrices de Stieltjes et symétriques définies positives conditionnement : En général, en radiosité : cond 2 (Θ) cond 2 (Ψ)

20 28 janvier 2002GdR ALP20 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

21 28 janvier 2002GdR ALP21 Les algorithmes de relaxation Les approximations x k de la solution x * sont définies par : x k+1 = Gx k + c G est appelée matrice ditération –Jacobi : G = J –relaxations successives (SR) et SOR ( > 1) : G = L –Gauss-Seidel (GS) : G = L 1 Convergence (G) < 1. (G) rayon spectral de G Plus (G) est proche de 0, plus rapide est la convergence (nombre ditérations)

22 28 janvier 2002GdR ALP22 Les algorithmes de relaxation : application à la radiosité (L 1 ) (J) < 1 –Gauss-Seidel converge plus vite que Jacobi (L 1 ) M –faible réflectance convergence rapide de GS 0 < 1 (L 1 ) (L ) < 1 –GS converge plus vite que toute méthode SR avec 0 < < 1 –parmi les méthodes SR seule une méthode SOR ( > 1) peut améliorer la vitesse de convergence de GS est une matrice de Stieltjes (théorème dOstrowski) méthode SOR avec 1< 2 converge est une M-matrice [Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences (Berman et Plemmons 1994)]

23 28 janvier 2002GdR ALP23 Méthode du gradient conjugué (GC) Préconditionnements du système de la radiosité : H x = H b x = c H ½ H -½ x= H ½ b z = H ½ b avec z = H -½ x et s.d.p. GC peut être utilisée (GC et GC ) Rappel : plus le 2-conditionnement de la matrice du système est grand plus lente est la convergence de GC cond 2 ( ) cond 2 ( ) GC est plus lente que GC peu sensible aux fortes réflectances GC moins affectée que GS par de fortes réflectances

24 28 janvier 2002GdR ALP24 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

25 28 janvier 2002GdR ALP25 Soit et deux suites convergeant vers Leurs résidus sont notés Hybridation : la méthode (C. Brezinski et M. Redivo Zaglia (1994)) Soit k R. Nous construisons une nouvelle suite : But : minimiser la norme euclidienne du résidu Le bon choix :

26 28 janvier 2002GdR ALP26 Hybridation : propriétés

27 28 janvier 2002GdR ALP27 Les algorithmes d'hybridation durée d'une itération de la méthode hybride = temps de calcul des itérés des deux méthodes + temps de calcul de l'hybride Soit T 1, T 2 les temps de convergence des méthodes 1 et 2 et soit T celui de la méthode hybride Peut-on avoir T < min(T 1, T 2 ) ? Difficile ! Choisir deux méthodes itératives et hybrider leurs itérés

28 28 janvier 2002GdR ALP28 Hybridation : cas 1 Soit {x k } une suite produite par une méthode itérative (par exemple GS) L'hybridation à l'étape k est réalisée avec

29 28 janvier 2002GdR ALP29 Hybridation : cas 2 Choisir une méthode itérative (par exemple GS) À l'étape k : –calculer x k avec cette méthode à partir de z k-1, l'hybridé obtenu à l'étape k-1 –hybrider

30 28 janvier 2002GdR ALP30 Plan de l'exposé Introduction Aspects mathématiques : –Matrices H-hermitiennes –Propriétés principales des matrices de la radiosité Application à la radiosité : –Méthodes itératives de résolution –Accélération de la convergence Quelques résultats expérimentaux Conclusion et perspectives

31 28 janvier 2002GdR ALP31 Résultats expérimentaux : scènes tests Scène (a) 480 ou 8544 facettes Scène (b) 680 facettes

32 28 janvier 2002GdR ALP32 Résultats expérimentaux : courbes Scène (a) 480 facettes Processeur 300 Mhz, 2 Mo de mémoire cache, 2 Go de Ram Critère d'arrêt :

33 28 janvier 2002GdR ALP33 Résultats expérimentaux : courbes Scène (b) 680 facettes

34 28 janvier 2002GdR ALP34 Résultats expérimentaux : courbes Scène (b) 680 facettes Scène (a) 8544 facettes

35 28 janvier 2002GdR ALP35 Conclusion Comparaison de la convergence des méthodes : –mathématiquement Gauss-Seidel est meilleure que Jacobi –la vitesse de convergence de GS est liée à la réflectance maximale –au contraire GC (GC ) semble bien adaptée aux scènes ayant une réflectance moyenne importante et de nombreuses occultations –SOR est meilleure que GS. Mais trouver le paramètre de relaxation optimal est coûteux –HGS1, HGS2 et GC sont de bonnes alternatives à SOR Perspectives : –chercher une formule analytique pour le paramètre optimal de SOR –appliquer lhybridation aux méthodes de radiosité progressive –entreprendre des travaux similaires dans le cadre de la radiosité non classique.

36 28 janvier 2002GdR ALP36 Je vous remercie de votre attention


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