1 Instruments contemporains et apprentissage des mathématiques Luc TROUCHE IREM & LIRDEF Université Montpellier II Séminaire REHSEIS 14-15 juin 2004 Typus.

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1 1 Instruments contemporains et apprentissage des mathématiques Luc TROUCHE IREM & LIRDEF Université Montpellier II Séminaire REHSEIS 14-15 juin 2004 Typus arithmeticae (Bibliothèque municipale, Rouen)

2 2 Entrée en matière « Van Gogh utilise des roseaux, taillés comme une plume d’oie. Le roseau devient l’instrument de ses dessins. Il lui donne la possibilité de creuser ses feuilles et de forcer les contours. Cet outil lui permet d’imiter le geste large des peintres japonais, qui n’utilisent pas le roseau, mais le pinceau. Particulièrement souple, le roseau donne naissance à une manière de faire, que traduit tout un vocabulaire de signes : pointillés, hachurés, arrondis et surtout les tourbillons qui deviennent une des techniques majeures du peintre » (Exposition Van Gogh 2003, Arles)

3 3 Plan 1)Les outils dans l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques, influence et résistances 2)Des artefacts aux instruments du travail mathématique, les genèses instrumentales 3)Une prise en compte didactique nécessaire « Le mot instrument vient du latin instrumentum, qui signifie matériel, outillage ou ressource et qui dérive du verbe instruere. Ce verbe, francisé en enstruire, correspond à disposer, outiller et équiper. Ainsi les mots instrument et instruire renvoient l’un à l’autre ». (Barbin 2004)

4 4 Influence et résistance Mathématiques, calculs et outils « Le calcul est une composante essentielle des mathématiques à tous les niveaux, inséparable des raisonnements qui le guident ou en sens inverse qu’il outille ». ( Kahane 2002 ) Mathematical Cuneiform Texts (Neugebauer & Sachs 1945)

5 5 Influence et résistance Evolutions récentes des outils La combinaison de plusieurs outils, une caractéristique ancienne du travail mathématique Des évolutions notables avec les outils informatiques : le regroupement des outils dans une même enveloppe ; des outils ‘de poche’ ; la multiplication des images ; le changement de paradigme (de la flèche au filet) Une nécessité encore plus grande de coordination et de contrôle des outils du travail mathématique

6 6 Influence et résistance Influence sur les apprentissages Effets sur la production « La géométrie du compas » Effets sur les programmes d’étude De la plume d’oie à la plume de fer (Lavoie 1994) Effets sur les modes de travail des élèves Le phénomène de ‘pêche’ (Artigue 1998) Effets sur la conceptualisation « Une droite est d’autant plus tangente à un cercle qu’elle a plus de points communs avec lui ». (Trouche 1996)

7 7 Influence et résistance ‘Résistances’ des professeurs … : outils secondaires Ponctuels, transitoires, mais non problématiques 1970 : outils refoulés ‘Mathématiques modernes’ Peu d’outils, période de transition 1980 : outils prescrits Plan Informatique pour Tous Irruption des calculatrices Accélération technologique, importation dans les classes par les élèves Difficultés renforcées « Pour le professeur formé aux rigueurs de la discipline mathématique, l’introduction de la règle à calcul dès les classes moyennes peut poser un vrai cas de conscience ». Aristo, Bulletin d’information pour le corps enseignant (Bieber 1971) Des outils de plus en plus présents Des outils de plus en plus complexes Une appropriation rapide par les élèves Les difficultés des professeurs

8 8 Influence et résistance ‘Résistances’ des professeurs Utilisation des tableurs par les professeurs de math. (IREM, Université Montpellier II, 2004)

9 9 Les genèses instrumentales Détour épistémologique « L’ellipse est une ligne courbe que j’ai vu dessiner par les jardiniers dans leurs parterres, où ils la décrivent d’une façon fort grossière, mais qui fait mieux comprendre sa nature ». La Dioptrique, Discours VIII (Descartes 1637) Une double tradition : - le ‘travail abstrait’ de l’esprit (Hegel) ; - le ‘faire industrieux’ (Descartes, Diderot, Marx). Héritier de cette tradition, Vygotski situe tout apprentissage dans un monde de culture où les instruments (matériels et psychologiques) jouent un rôle essentiel. “Nec manus, nisi intellectus, sibi permissus, multum valent: instrumentis et auxiliis res perfectur” (Francis Bacon 1600) « La main et l'intelligence, privées des outils nécessaires, restent assez impuissantes ; ce qui renforce leur puissance, ce sont les outils et les auxiliaires offerts par la culture ».

10 10 Les genèses instrumentales La notion de schème « Par approximations successives, la main trouve le geste juste. L’esprit enregistre les résultats et en tire peu à peu le schème efficace ». (Tchouang-Tseu, in Billeter 2002) Un schème : l’organisation invariante de la conduite pour une classe de situations (Piaget 1936, Vergnaud 1996) Il contient : - des buts et des anticipations ; - des règles d’action ; - des invariants opératoires. Aspect instrumenté et social des schèmes (Rabardel 1995)

11 11 Les genèses instrumentales De l’artefact à l’instrument Les artefacts, des propositions (Béguin & Rabardel 2000) De l’artefact à un instrument Deux processus duaux - instrumentation ; - instrumentalisation. Les instruments : - « un mixte stable d’humain et de naturel » (Simondon 1989) ; - « une entité mixte composée d’une partie de l’artefact et des schèmes d’utilisation ». (Rabardel 1995)

12 12 Les genèses instrumentales Les processus d’instrumentation « Avoir une limite infinie suppose, pour une fonction, d’être croissante à partir d’un certain moment » (Trouche 2000) Un artefact instrumente le sujet, préstructure, relativement, son activité Comprendre ce processus suppose l’étude des contraintes de l’artefact, liées aux contraintes matérielles et aux choix du concepteur Autre exemple : calculatrices au Sénégal calculatrices

13 13 Les genèses instrumentales La transposition informatique La transposition informatique : « Ce travail sur la connaissance qui en permet une représentation symbolique et la mise en œuvre par un dispositif informatique ». (Balacheff 1994) Une typologie des contraintes : - contraintes internes ; - contraintes de commande ; - contraintes d’organisation (cf. les calculatrices ‘graphiques’)

14 14 Les genèses instrumentales Présentation et représentation Un contrôle complexe à exercer… Un même objet, différentes représentations

15 15 Les genèses instrumentales Les processus d’instrumentalisation L’instrumentalisation est un processus de différentiation des artefacts. Exemple des calculatrices : stockage de jeux, de théorèmes, dessins, modification de la barre de menus… Il peut être considéré comme un détournement, ou comme une contribution de l’usager au processus même de conception de l’instrument.

16 16 Les genèses instrumentales Vers des systèmes d’instruments Schèmes sociaux ? Habitus (Bourdieu 1979) Artefacts et instruments Artefact symbolique ou artefact matériel ? Justiciables de l’approche instrumentale, mais des différences profondes 1 artefact  1 instrument ? Praxéologies et usages Environnement(s) Environnement(s) ? Régimes d’action (Boltanski 1990) Les systèmes d’instruments Un enjeu didactique

17 17 Les genèses instrumentales Extraordinaire variété des genèses Pouvoir saisir les données Savoir analyser l’information Savoir organiser l’information Savoir coordonner et comparer Savoir faire appel à des connaissances antérieures Savoir inférer Savoir prouver Savoir contrôler un résultat Calculez la dérivée nième de…

18 18 Les genèses instrumentales Extraordinaire variété des genèses * Développement des instruments, enrichissement et articulation... * … ou affaiblissement des instruments, appauvrissement et cloisonnement. 1) Plus l’environnement est complexe, plus les écarts entre les instruments sont importants Artefacts plus complexes, quelle évolution des instruments ? 2) Grande sensibilité des modes de travail à certains « dispositifs » didactiques institués par le professeur

19 19 Les genèses instrumentales Un point de vue neuronal Deux réseaux neuronaux : - un réseau de traitement composé de processeurs parallèles en compétition ; - un réseau dédié aux fonctions de supervision Le fonctionnement ‘à l’économie’ : En présence d’une multiplicité d’informations, c’est la perception dont le traitement est le plus rapide qui peut être sélectionnée (Houdé 2004) La productivité des réseaux cognitifs intercérébraux « C’est par (…) l’échange de représentations, de concepts et de points de vue que surgit brusquement ce que Hadamard appelle une ‘illumination’ » (Changeux 2002) Une remise en cause du modèle modulariste du fonctionnement cérébral. Traitement parallèle et interactif de l’information par des aires cérébrales différentes. (Changeux, Dehaine, Houdé)

20 20 Une prise en compte didactique Des praxéologies à construire Nouvelles organisations mathématiques : - nouvelles tâches ; - nouvelles techniques ; - nouvelles technologies. Juste distance entre l’ancien et le nouveau. Abrégé d’arithmétique à l’usage des pensionnaires et des écoles chrétiennes (Silvestre 1810)

21 21 Une prise en compte didactique Un ensemble d’ingénieries à concevoir Ingénieries des objets informatiques - les EIAH (Environnements Informatiques pour l’Apprentissage Humain) : Cabri-Géomètre, Aplusix, etc. - les environnements informatisés d’apprentissage (Basque et Doré 1998) : Systèmes de Calcul Formel, tableurs… Ingénieries didactiques « Intégration et viabilité des objets informatiques, le problème de l’ingénierie didactique » (Chevallard 1992) Les niveaux du hardware et du software didactiques et la nécessité de penser leur intégration

22 22 Une prise en compte didactique Les orchestrations instrumentales Dans un groupe de jazz, une improvisation musicale émerge d’un va-et-vient continu entre chaque musicien, dans un jeu d’ajustements réciproques permanents, le chef d’orchestre ayant un rôle de mise en forme, en phase de l’ensemble. (Bril 2002) Agencement systématique par un agent intentionnel des éléments (artefacts et humains) d’un environnement… … en vue de mettre en œuvre une situation donnée et de générer certains résultats (aspects sociaux des schèmes, articulation individuelle des systèmes d’instruments). Interne ou externe ? Dialectique gestes-invariants Individuel ou social ? Double aspect des schèmes

23 23 Une prise en compte didactique Orchestrations, zoom out Dispositif d’exploitation didactique Une orchestration s’applique à un environnement et à une situation donnés Elle s’insère dans un scénario d’exploitation didactique Elle vise l’évolution de l’environnement, du point de vue des systèmes d’instruments

24 24 Une prise en compte didactique Orchestrations, zoom in Différents types de configurations Des configurations suivant deux axes L’axe du temps de la genèse, l’axe artefact-sujet Exemple 1 Configuration de l’artefact Exemple 2 Configuration liée aux modes d’action des artefacts Exemple 3 Configuration liée aux méthodes réflexives d’auto-analyse de l’activité Remarques générales Diversité des configurations, de leurs combinaisons et des modes d’exploitation Nécessaire adaptabilité, pour ajuster à des situations et des environnements différents Agencer, c’est nécessairement modifier l’ensemble des artefacts Nécessaire travail sur les traces de l’activité Nécessaire prise en compte du temps, une variable essentielle (« Time to think »)

25 25 Une prise en compte didactique Orchestrations, précisions Orchestrations, conception ? Equipes pluri-disciplinaires Plusieurs types d’ingénierie Orchestrations, mise en oeuvre ? Différents « stades » de mise en œuvre Scénarios d’usage, ‘dispositifs’… Communautés de pratique Environnements d’apprentissage, environnements d’enseignement Dispositif d’exploitation didactique

26 26 Une prise en compte didactique Orchestrations, discussion Situer les orchestrations par rapport à d’autres concepts d’agencements Scaffolding étayage (Hoyles & Noss 1987, Kutzler 1994) Webbing connecting, weaving, threading (Noss & Hoyles 1996) Orchestrations Apprentissage des techniques (skills) Domaine et situations indépendant Conçu indépendamment de la construction active des élèves Champs conceptuels (Vergnaud) Domaines, situations et artefacts dépendant Compréhension émergeant des connexions réalisées par l’élève au cours de son activité + le rôle du professeur, rôle indispensable des agencements conçus et construits par l’institution Des points de vue sur la conceptualisation en mathématique Complexité et variété des processus de conceptualisation The situated, the activity based, the experiential can contain within it the seeds for something more general (Noss & Hoyles 1996) A process of connection rather than ascension (idem), notion de transcontextualisation (Laborde 1998) Etendre la métaphore de Vygotsky aux environnements informatiques, l’ordinateur jouant le rôle assigné normalement à un tuteur humain Connexion et ascension

27 27 Une prise en compte didactique Orchestrations, perspectives Un modèle de ressource pédagogique (Guin, Joab & Trouche 2002) Conception de ressources pédagogiques mathématiques intégrant les TICE Scénarios d’usage et ressources vivantes Conception des artefacts Rigidité et souplesse, contraindre et intégrer les usages Conception de dispositifs de formation continue des maîtres Accompagnement et mutualisation

28 28 Instruments contemporains et apprentissage des mathématiques Vygotski L.S., 1934, Pensée et langage Editions Sociales (1985) Rabardel P., 1995, Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains, Armand Colin Guin D. & Trouche L. (eds.), 2002, Calculatrices symboliques : transformer un outil en un instrument du travail mathématique, un problème didactique Editions La Pensée Sauvage