II- Loi de Biot et Savart

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1 II- Loi de Biot et Savart
La loi de Biot et Savart relie les sources (courant) au champ magnétique crée en tenant compte de la géométrie du système support du courant électrique. Le champ magnétique crée en M est donné par : Unités B en Tesla

2 1ère méthode( intégration)
Spire circulaire Par raison de symétrie de révolution autour de l’axe Ox, le champ magnétique total en M est dirigé selon Ox et dans le sens des x croissants (règle du tire bouchon). Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par : 1ère méthode( intégration) Les deux vecteurs sont orthogonaux et sachant que le champ total est dirigé selon Ox, on ne va retenir que la composante du champ élémentaire selon cet axe :

3 Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .
2ème méthode orienté par le sens du courant dans la spire. Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe . Si on considère une bobine plate constituée de N spires avec un rayon moyen R et de faible épaisseur, le champ magnétique crée par la bobine en un point de son axe est Nx le champ magnétique crée par une spire.

4 Composition des champs magnétiques des deux bobines
Bobines de Helmholtz Utilité : c’est l’un des rare système qui permet de réaliser un champ magnétique constant dans un certaine région de l’espace. La condition repose sur le choix d’un écartement des deux bobines d’une distance égale à leur rayon moyen. Bobines identiques comportant N spires parcourues par un courant I Composition des champs magnétiques des deux bobines

5 Bobines de Helmholtz Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe Ecart par rapport à l’origine

6 Symétrie en Magnétostatique
Le champ magnétique est un champ axial et se transforme par les opérations de symétrie différemment que le champ électrostatique ( champ polaire). Ci-dessous les transformations d’un champ magnétique par des plans de symétrie et d’antisymétrie. Champ magnétique = Champ axial

7 Si (g) n’intercepte pas ©
III. Théorème d’Ampère Enoncé Soit une boucle de courant © parcourue par un courant i. Soit un parcours fermé (g) et orienté de façon arbitraire. si (g) intercepte la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est égale à Si (g) n’intercepte pas la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est nulle. Formulation mathématique Si (g) intercepte © Si (g) n’intercepte pas ©

8 Applications du théorème d’Ampère.
Fil rectiligne infini parcourue par un courant constant Symétrie de révolution implique que le champ magnétique a une norme dépendante uniquement de r. Le sens de B est défini par la règle du tire bouchon - ou la règle du Bonhomme d’Ampère ( couché sur le fil et regardant le point ou on cherche le champ magnétique, sa main gauche indique la direction du champ magnétique). Le sens du parcours (g) est choisi de telle façon que sa normale soit dans le sens de i. Le fil ayant une longueur infini, on peut considérer que c’est une boucle de courant de rayon infini. Le théorème d’Ampère donne :

9 Champ magnétique crée par un solénoïde de longueur infini
1 : n’intercepte pas de courant et il est situé à l’intérieur du solénoide. La circulation de B est nul implique que B est uniforme dans le solénoïde : uniforme dans le solénoïde. 3 : intercepte des courants et la circulation est : 2 : extérieur au solénoïde. La circulation sur ce parcours est nulle et donc B est uniforme à l’extérieur du solénoïde. La valeur de B est nécessairement nulle en dehors du solénoïde.

10 Champ magnétique d’un solénoïde dans le cas où l’on ne tient pas compte des effets de bords (solénoïde de longueur infinie)

11 Conducteur massif de longueur infini parcouru par
un courant i de densité j constante Symétrie : Axe de révolution implique que B ne dépend que de r. Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur Règle du tire Bouchon : fixe le sens de B Symétrie de translation : B indépendant de z.

12 Calcul de B à l’extérieur
Calcule de B à l’intérieur

13 Flux du champ magnétique
Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant. La surface délimité par la spire est orienté positivement par le sens de (i) par la règle du tire-bouchon. Flux du champ magnétique si le champ magnétique est uniforme. L= coefficient d’auto induction (Henry)

14 Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde
Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde : Le flux de B à travers les nl spires se trouvant sur la longueur l est : L’inductance d’une longueur l d’un solénoïde est : Unité (H : Henry)

15 Coefficient d’induction mutuelle entre deux portions
de deux solénoïdes de même section  Le flux du solénoïde (1) à travers n2l spires du solénoïde (2) est : Donc le coefficient de mutuelle-induction est M=L21=L12, son signe est positif si les courants sont orientés dans le même sens sinon , il est négatif.

16 Inductance propre d’une bobine torique de N spires
rectangles ((b-a),c) parcourues par i Montrer que le champ magnétique est donné par : En calculant le flux, en déduire que l’inductance est de la forme: