VLEKHO-HONIM Apprendre les mathématiques à partir d’exemples abstraits : les résultats de Kaminski sont- ils convaincants ? Dirk De Bock, Johan Deprez,

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1 VLEKHO-HONIM Apprendre les mathématiques à partir d’exemples abstraits : les résultats de Kaminski sont- ils convaincants ? Dirk De Bock, Johan Deprez, Wim Van Dooren, Michel Roelens, Lieven Verschaffel texte : Losanges dias : www.ua.ac.be/johan.deprez > Documenten

2 VLEKHO-HONIM Johan Deprez ♦ professeur de mathématiques, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL) ♦ professeur/assistent, Agrégation de l'Enseignement Secondaire Supérieur, Universiteit Antwerpen et KULeuven ♦ membre de la rédaction de la revue Uitwiskeling Dirk De Bock ♦ professeur de mathématiques et coordinateur du groupe de recherche Educational Research & Development, Faculteit Economie en Management, HUBrussel (EHSAL) ♦ chercheur au Centrum voor Instructiepsychologie en –technologie (Departement Pedagogische Wetenschappen, KULeuven)

3 VLEKHO-HONIM Les mathématiques abstraite s’apprennent mieux que les exemples pratiques Est-ce que les mathématiques à l’école s’occupent des trains qui meuvent, …, des paysans qui sèment ? Ou d’équations abstraites contenant des x et y et des fractions et des carrés ? Et lesquelles des deux fonctionnent le mieux ?

4 VLEKHO-HONIM Les exemples sont mauvais pour l’apprentissage des mathématiques (25 avril 2008)

5 VLEKHO-HONIM

6 Introduction articles sont inspirés par thèse de doctorat Kaminski, J. A. (2006). The effects of concreteness on learning, transfer, and representation of mathematical concepts. série d’articles dans des revues scientifiques … Kaminski, J. A., Sloutsky, V. M., & Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320, 454–455. …

7 VLEKHO-HONIM Kaminski et ses collaborateurs ont mis en doute la conviction comme quoi l’apprentissage des maths se déroule du concret à l’abstrait “Instantiating an abstract concept in concrete contexts places the additional demand on the learner of ignoring irrelevant, salient superficial information, making the process of abstracting common structure more difficult than if a generic instantiation were considered” (Kaminski, 2006, p. 114) série d’expériences contrôlées avec (principalement) des étudiants bacheliers en psychologie

8 VLEKHO-HONIM Kaminski et ses collaborateurs conclusion principale “If the goal of teaching mathematics is to produce knowledge that students can apply to multiple situations, then representing mathematical concepts through generic instantiations, such as traditional symbolic notation, may be more effective than a series of “good examples”.” (Kaminski et al., 2008, p. 455)

9 VLEKHO-HONIM Réactions critiques de collègues chercheurs dans le Educational Forum et les e-letters de Science : ♦ Cutrona, 2008 ♦ Mourrat, 2008 ♦ Podolefsky & Finkelstein, 2008 ♦ … research commentary par Jones dans le Journal for Research in Mathematics Education (2009) dans des médias moins formels ♦ McCallum, 2008 ♦ Deprez, 2008

10 VLEKHO-HONIM Cette présentation 1.Introduction 2.Groupe commutatif d’ordre 3 3.L’étude de Kaminski et ses collaborateurs 4.Quelques éléments importants de critique 1.Une comparaison injuste 2.Qu’est-ce que les étudiants ont vraiment appris ? 3.Transfert à un groupe d’ordre 4 4.Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être généralisés ? 5.Quelques éléments supplémentaires de critique 5.A la recherche d’évidence empirique 6.Considérations finales

11 VLEKHO-HONIM Groupe commutatif d’ordre 3

12 VLEKHO-HONIM Groupe commutatif d’ordre 3 un ensemble G de 3 éléments … exemples : ♦ {0,1,2} ♦ {r 120°, r 240°, r 0° }, où r 120° dénote la rotation de 120° ♦ {a, b, c} où a, b et c ne sont pas précisés muni d’une opération * … ♦ {0,1,2} : addition modulo 3, par exemple : 2+2=1 ♦ {r 120°, r 240°, r 0° } : appliquer les rotations successivement, par exemple : d’abord r 120°, puis r 240° donne r 0° ♦ {a, b, c} : l’opération est décrite par un tableau 3 sur 3 qui remplit certaines conditions :

13 VLEKHO-HONIM Groupe commutatif d’ordre 3 un ensemble G de 3 éléments … muni d’une opération * … qui remplit certaines conditions : ♦ commutativité : x*y=y*x pour chaque x et y dans G ♦ associativité : (x*y)*z=x*(y*z) pour chaque x, y et z dans G ♦ l’existence d’un élément neutre : G contient un élément n pour lequel x*n=x=n*x pour chaque x dans G ♦ l’existence d’un élément inverse : pour chaque élément x dans G il y a un élément x’ pour lequel x*x’=n=x’*x les deux exemples sont des groupes isomorphes tous les groupes d’ordre 3 sont isomorphes 0 12

14 VLEKHO-HONIM L’étude de Kaminski et ses collaborateurs

15 VLEKHO-HONIM L’expérience de base de Kaminski (80 étudiants bachelier) Phase 1 : Domaine d’instruction étude +test Phase 2 : Domaine de transfert présentation + test T : Jeu pour enfants A : Tablettes d’argile d’un site archéologique C : Gobelets gradués

16 VLEKHO-HONIM Phase 1 instruction : ♦ introduction ♦ présentation explicite des règles par exemples ♦ exercices avec feedback ♦ exemples complexes ♦ résumé des règles test d’apprentissage : 24 questions à choix multiples

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18 Phase 2 présentation ♦ introduction au jeu ♦ “Les règles du système que tu as appris tout à l’heure sont comme les règles du jeu.” ♦ 12 exemples de combinaisons test de transfert 24 questions à choix multiples

19 VLEKHO-HONIM Resultats test d’apprentissage : A = C test de transfert : A > C

20 VLEKHO-HONIM Quelques éléments importants de critique

21 VLEKHO-HONIM 1. Une comparaison injuste Kaminski a contrôlé la “similitude superficielle” (autres) étudiants bacheliers qui uniquement ont lu des descriptions des contextes T-A ou T-C et ils ont indiqué le degré de ressemblance qu’ils percevaient peu de ressemblances pas de différence significative entre T-A vs. T-C critiques : comparaison injuste à cause de similitudes à un niveau plus profond entre T et A (McCallum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008; Jones, 2009a, 2009b; Mourrat, 2008, Podolefsky & Finkelstein, 2009) A C T

22 VLEKHO-HONIM 1. Une comparaison injuste 1.rôle joué par des connaissances préalables A et T : ♦ symboles arbitraires ♦ opérations déterminées uniquement par des règles formelles ♦ message : connaissances préalables sont inutiles ! C : interprétation physique/numérique ♦ … pour les symboles ♦ … pour les opérations ♦ message : connaissances préalables sont utiles ! A est beaucoup plus similaire à T que C A C T

23 VLEKHO-HONIM 1. Une comparaison injuste 2.le concept mathématique appris A et T : groupe commutatif (commutativité, associativité, existence d’un élément neutre, existence des éléments inverses) C : communiqué explicitement (groupe commutatif) vs. communiqué implicitement (addition modulaire) les deux sont des concepts importants en maths … mais il s’agit de concepts différents ! ♦ 2 et 3 éléments : uniquement le groupe déterminé par l’addition modulaire ♦ n éléments, n>3, non-premier : il y a d’autres groupes que le groupe déterminé par l’addition modulaire A et C apprenaient des concepts différents ! le concept appris par A est plus utile pour T A C T

24 VLEKHO-HONIM 1. Une comparaison injuste 3.structure mathématique A : élém. neutre n, 2 générateurs symétriques a et b ♦ {n,a,b}, ♦ (1.1) a+a=b, ♦ (1.2) b+b=a ♦ (1.3) a+b=b+a=n C : symétrie rompue (12), un générateur a ♦ {n,a,b} ♦ (2.1) a+a=b ♦ (2.2) a+a+a=n structures équivalentes … … mais des aspects différents sont accentués A/C apercevaient/ignoraient des aspects différents structure de T = structure de A ≠ structure de C A C T 1+1=2 1+1+1=3

25 VLEKHO-HONIM 2. Qu’est-ce que les étudiants ont vraiment appris ? Questions à choix multiples ne donnent pas d’informations pour savoir comment les sujets ont trouvé la réponse. Qu’est-ce que les étudiants ont réellement appris ? ♦ appliquer un ensemble de règles spécifiques ? ♦ addition modulo 3 ? ♦ propriétés d’un groupe commutatif d’ordre 3 (commutativité, … ) ? ♦…♦… Est-ce que les sujets appliquent les propriétés d’un groupe commutatif de façon consciente ? ♦ Les sujets sont habitués à ces propriétés par leurs expériences dans les systèmes de calcul traditionnels. ♦ En plus, ils ne connaissent pas de systèmes de calculs dans lesquels ces propriétés ne sont pas valables.

26 VLEKHO-HONIM 3. Transfert à un groupe d’ordre 4 une expérience de la thèse de doctorat de Kaminski qui n’est pas rapportée dans Science et les autres revues notre interprétation des résultats de cette expérience un nouveau test de transfert concernant un groupe d’ordre 4 : cf. dia suivant Répondez aux trois premières questions du test !

27 VLEKHO-HONIM Experiment 6

28 VLEKHO-HONIM 3. Transfert à un groupe d’ordre 4 premier domaine d’instruction de cette nouvelle expérience = domaine d’instruction A de l’expérience de base (tablettes d’argile) résultats pour le nouveau test de transfert n’étaient pas bons : statistiquement pas discernables de simples réponses aléatoires transfert à partir du domaine d’instruction A est très limité ! ( titre affirmatif de Kaminski et al dans Science)

29 VLEKHO-HONIM 3. Transfert à un groupe d’ordre 4 deuxième domaine d’instruction de l’expérience nouvelle = domaine d’instruction A de l’expérience de base + ‘diagramme relationnel’ bons résultats au nouveau test de transfert diagramme communique le caractère cyclique du groupe (équivalent à l’addition modulaire)

30 VLEKHO-HONIM 3. Transfert à un groupe d’ordre 4 troisième domaine d’instruction de l’expérience nouvelle est un domaine concret avec une ‘représentation graphique’ bons résultats au nouveau test de transfert bon transfert à partir d’un exemple concret

31 VLEKHO-HONIM 3. Transfert à un groupe d’ordre 4 Cette expérience de Kaminski et ses collaborateurs donne une autre impression que l’expérience de base : pas de transfert à partir du domaine d’instruction abstrait bon transfert à partir d’un domaine d’instruction concret

32 VLEKHO-HONIM 4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être généralisés ? Kaminski et al. dans Science, 2008, p. 455 “Moreover, because the concept used in this research involved basic mathematical principles and test questions both novel and complex, these findings could likely be generalized to other areas of mathematics. For example, solution strategies may be less likely to transfer from problems involving moving trains or changing water levels than from problems involving only variables and numbers.” beaucoup de chercheurs ont exprimé des doutes une question spécifique concernant généralisabilité : Est-ce qu’il est possible de construire un domaine d’instruction dans le style de Kaminski pour des objets mathématiques un petit peu plus complexes, notamment les groupes cycliques d’ordre 4 et plus ?

33 VLEKHO-HONIM 4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être généralisés ? Domaine d’instruction abstrait dans le style de Kaminski pour les groupes cycliques d’ordre 4 et plus ? ordre 3 : él. neutre n, 2 générateurs symétriques a et b ♦ {n,a,b}, ♦ (1.1) a+a=b, ♦ (1.2) b+b=a ♦ (1.3) a+b=b+a=n table de Cayley d’un groupe commutatif d’ordre 3 nab n a b nab nnab aa bb nab nnab aabn bba nab nnab aabn bbna

34 VLEKHO-HONIM 4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être généralisés ? Domaine d’instruction abstrait dans le style de Kaminski pour les groupes cycliques d’ordre 4 et plus ? table de Cayley pour le groupe cyclique d’ordre 4 (un des deux groupes d’ordre 4) ♦ 16 cellules ♦ 9 cellules à faire après application du règle de l’élément neutre ♦ 3+2+1 = 6 règles spécifiques ♦ 3 cellules en appliquant la propriété de la commutativité nabc n a b c nabc nnabc aa bb cc nabc nnabc aabcn bbna ccb nabc nnabc aabcn bbcna ccnab

35 VLEKHO-HONIM 4. Est-ce que les résultats de Kaminski peuvent être généralisés ? Groupes cycliques d’ordre … ♦ … 5 : 4+3+2+1 = 10 règles spécifiques ♦ … 6 : 5+4+3+2+1 = 15 règles spécifiques ♦ 7, 8, 9, … : 21, 28, 36, … règles spécifiques notre étude empirique : sujets dans le domaine d’instruction abstrait de l’expérience de base de Kaminski appliquaient surtout les règles spécifiques Probablement, un domaine d’instruction abstrait dans le style de Kaminski ne conduira ni à l’apprentissage des groupes cycliques d’ordre 4 et plus ni au transfert réussit. nabc nnabc aabcn bbcna ccnab

36 VLEKHO-HONIM 5. Quelques éléments supplémentaires de critique Transfert dans l’expérience de base de Kaminski est ♦ transfert proche (pour la domaine d’instruction A) ♦ transfert immédiat ( transfert à long terme) ♦ transfert provoqué ( transfert spontané)  transfert dans une situation d’enseignement réelle ! phase d’instruction concrète très éloignée d’un bon cours de mathématiques qui part du monde concret des élèves: ♦ des contextes très artificiels ♦ phase de décontextualisation est totalement absente ♦ règles d’un groupe commutatif d’ordre 3 ne sont pas utiles dans la phase d’instruction concrète et par conséquence elles ne sont pas apprises par les sujets ♦…♦…

37 VLEKHO-HONIM A la recherche d’évidence empirique

38 VLEKHO-HONIM Méthode Participants : 130 étudiants bacheliers en pédagogie Deux phases (1)contexte d’instruction : instruction + test (2)contexte de transfert : présentation + test Quatre conditions expérimentales (A = abstraite, C = concrète) ♦ AA, CA, AC, et CC ♦ AA et CA : « conditions Kaminski » ♦ AC et CC : ajouts importants par nous

39 VLEKHO-HONIM Méthode Élaboration des domaines instruction A : tablettes d’argile d’un site archéologique transfert A : jeu fictif pour enfants instruction C : gobelets gradués transfert C : pizzas (morceaux de pizza qui se comportent de la même façon que les gobelets gradués)

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44 VLEKHO-HONIM Méthode Dans toutes les conditions : Avant de faire passer le test à la fin de la phase d’instruction : présentation d’un aperçu des idées clés.

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46 VLEKHO-HONIM Méthode Le test final de la phase d’instruction ainsi que le test de transfert étaient composés de 24 questions ‘isomorphes’ à choix multiples

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49 VLEKHO-HONIM Méthode Deuxième différence importante avec la procédure de Kaminski : Insertion d’une question ouverte tout de suite après la phase d’instruction P. ex., après la phase d’instruction concrète : Que faut-il mettre à la place du point d’interrogation ? Explique le plus précisément possible comment tu l’as trouvé. ?

50 VLEKHO-HONIM Méthode Ou après la phase d’instruction abstraite : Que faut-il mettre à la place du point d’interrogation ? Explique le plus précisément possible comment tu l’as trouvé. Instruction + tests ♦ individuellement ♦ sans intervalle de temps entre les deux phases ♦ à leur propre rythme ♦ ordinateur ?

51 VLEKHO-HONIM Méthode - Analyse Scores aux tests d’instruction et de transfert : analyse statistique (ANOVA + Tukey HSD) après élimination des cas aberrants (selon une même procédure que chez Kaminski) Explications « question ouverte » système de scores développé et appliqué par deux correcteurs indépendants

52 VLEKHO-HONIM Méthode - Analyse Système de scores Unité d’analyse = explication d’un participant Quatre catégories principales : ♦ G (Groupe) ♦ M (Modulo) ♦ R (Règles) ♦ N (Non) Sous-catégories : ♦ G 1, G 2, G 3, G 4 ♦ M 1, M 2 Scores : 2, 1 ou 0

53 VLEKHO-HONIM Méthode - Analyse Système de scores 2 = formulation à un niveau général Exemples ♦ « l’ordre n’a pas d’importance » ♦ « si on combine un drapeau avec un autre symbole, on a toujours l’autre symbole » ♦ « 2 + 2 = 4  3 = 1 » 1 = application non-ambigüe 0 = autrement

54 VLEKHO-HONIM Résultats – Résultats quantitatifs Test d’apprentissage : AC < CA, CC Test de transfert : CA < AA, AC, CC et AC < CC Condition Moyenne et écart type des scores (Max = 24) Test d’apprentissage Test de transfert AA (N = 23)17.1 (3.9)18.1 (3.8) AC (N = 30)15.3 (3.5)17.4 (4.2) CA (N = 28)18.5 (2.9)12.0 (4.3) CC (N = 24)18.3 (3.5)20.2 (2.4)

55 VLEKHO-HONIM Résultats – Résultats quantitatifs Kaminski confirmé (test de transfert : AA > CA) Mais l’inverse se révèle également valable ! (test de transfert : CC > AC) Quoique AC < CX (test d’apprentissage), AC = AA (test de transfert) : étudiants instruits par un contexte abstrait peuvent en quelque sorte « s’apprendre » eux-mêmes « l’addition modulo 3 »

56 VLEKHO-HONIM Résultats – Résultats qualitatifs Répéter (presque) littéralement une des règles de combinaison Formulations de propriétés d’un groupe à un niveau général sont rares (malgré le fait qu’on ait demandé aux participants de motiver leur réponse le plus précisément possible) Domaine d’instruction Score GMRN G1G2G3G4M1M2 A (N = 66) 2060000–– 11643030011 05017666366 455 62

57 VLEKHO-HONIM Résultats – Résultats qualitatifs Application des règles du calcul « modulo 3 » par environ la moitié des participants (pas un but du domaine d’instruction !) Dans quelques cas : sans référence au contexte … Domaine d’instruction Score GMRN G1G2G3G4M1M2 C (N = 52) 2000070–– 113702225514 0394552502347 38

58 VLEKHO-HONIM Résultats – Résultats qualitatifs … Répétitions pures de règles de combinaison sont rares Quelques applications spontanées des propriétés d’un groupe (quoique moins que dans les groupes d’instruction abstraite) Domaine d’instruction Score GMRN G1G2G3G4M1M2 C (N = 52) 2000070–– 113702225514 0394552502347 38

59 VLEKHO-HONIM Conclusions principales Nos résultats confirment les constats de base de Kaminski Le transfert vers un nouveau contexte abstrait est favorisé par un contexte d’instruction abstrait plutôt que par un contexte d’instruction concret. Mais … Le transfert vers un nouveau contexte « concret » est également favorisé par un contexte d’instruction concret plutôt que par un contexte d’instruction abstrait. Doutes sérieux sur ce que les étudiants ont vraiment appris du contexte d’instruction abstrait (propriétés d’un groupe ou l’application des règles formelles de combinaison à des symboles arbitraires). Certains étudiants atteignaient un niveau d’abstraction plus haut à partir du domaine d’instruction concret.

60 VLEKHO-HONIM Considérations finales

61 VLEKHO-HONIM Considérations finales Les résultats de Kaminski  tout comme nos propres résultats  ne sont pas généralisables à l’ensemble de l’enseignement des mathématiques. Même une généralisation aux groupes commutatifs d’ordre 4 n’est pas évident … ‘Comprendre’ un concept mathématique (abstrait) a également une portée épistémologique : d’où vient ce concept et où réside sa puissance ? Ni les exemples concrets ni les exemples abstraits de Kaminski n’éclairent cette question fondamentale.

62 VLEKHO-HONIM