7 mai 2010 laboratoire André Revuz 1 Notions de Milieu et de Situation fondamentale Laboratoire André Revuz Université Paris 7 7 mai 2010.

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1 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 1 Notions de Milieu et de Situation fondamentale Laboratoire André Revuz Université Paris 7 7 mai 2010

2 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 2 1. Les diverses organisations didactiques des théories mathématiques

3 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 3 a) Des connaissances Mathématiques aux Théories  Les mathématiques d’experts sont par fonction, ésotériques  Elles sont un magma d’énoncés vrais en même temps, des « théories » au sens de la théorie des modèles, localement structuré par des déductions.  Chaque spécialiste connaît directement un très grand nombre de résultats (folklorisés) qu’il utilise indépendamment et directement pour produire les effets dont il a besoin, sans avoir l’obligation de les justifier autrement  Ex.: les Pythagoriciens, les scribes de l’Égypte ancienne et … les élèves, et dans une certaine mesure les mathématiciens!  Les connaissances intervenant dans la pratique des mathématiciens sont aussi par nature ésotériques  Réf (Réthymon)

4 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 4  Les théories Mathématiques sont des présentations didactiques de mathématiques d’experts, destinées au contrôle et à la diffusion.  Elles sont par fonction exotériques  Des théories Mathématiques équivalentes, mais distinctes par le choix des axiomes, par l’ordre et par l’importance des énoncés ont des propriétés didactiques différentes. Sont-elles en général des « transpositions » les unes des autres?  Les nécessités des communications réduisent à la fois le nombre des théories de référence et leurs capacités didactiques et culturelles. Existerait-t-il une présentation optimale universelle dont les autres seraient une image dégradée?

5 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 5 b) Des théories et des théorèmes, aux problèmes  Un des objets de la didactique est l’étude des propriétés didactiques des théories mathématiques et la production de théories satisfaisant des conditions didactiques déterminées.  L’objet de l’enseignement des mathématiques est d’acculturer les élèves aux pratiques mathématiques de la société, et à celles des mathématiciens  La méthode traditionnelle consiste à «transmettre» aux étudiants les textes de mathématiques, et à les initier à leur vérification et à leur usage.  Le moyen est de les enseigner comme un texte sacré

6 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 6  Pour initier les élèves à l’usage et à la production de pensées mathématiques, cette méthode doit ménager des problèmes et des exercices.  Exercices et problèmes sont des théorèmes secondaires dissociés en question et réponse par divers procédés.  L’élève doit (re)produire le texte initial inconnu de lui et /ou sa preuve.

7 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 7 c) Des problèmes aux activités mathématiques  Un exposé didactique d’une théorie mathématique crée donc dans cette théorie quatre catégories d’énoncés vrais (assertions) : –les Axiomes, énoncés acceptés textes de –les théorèmes, énoncés démontrées référence –les problèmes, propositions étudiés, mais qui ne seront pas des références –Les propositions ignorées par cet exposé  Les problèmes suscitent chez les élèves une activité mathématique, mais cette activité ne demande officiellement de leur part jamais ni question, ni hésitation, ni difficulté d’une autre origine supposée que « l’insuffisance humaine ».  Quelles sont les autres limitations?

8 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 8 i. La reconstitution d’un texte mathématique  Le contrat didactique fait du professeur le responsable de la validité de ce qui apparaît publiquement dans la classe.  Le professeur ne peut pas, sans prendre de grands risques, échapper a ce contrat  Les seules manifestations d’activité mathématiques qui sont recevables selon ce contrat, sont donc des énoncés exacts et utiles. Les autres sont des erreurs et elles doivent être tôt ou tard réprimées  Les seules manifestations publiques permises en principe aux élèves doivent donc être constituées comme des textes de mathématiques.

9 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 9  Le modèle de l’activité mathématique que la pratique des problèmes tend à utiliser et à développer chez les élèves est donc celui de l’écriture d’un texte : La pensée « vraie » ne serait construite exclusivement qu’avec des énoncés « vrais » et que directement.  D’une part ce modèle ne réussit qu’avec une faible partie des élèves : ceux qui sont capables de développer une activité mathématique autonome et de n’en manifester le résultat que dans la forme voulue.  Il conduit à recourir massivement à l’apprentissage behavioriste des textes. Cette méthode ne s’est jamais montrée très performante.  Il ne réussit, avec la plupart des élèves, que pour certaines parties seulement des mathématiques (algorithmes, définitions…)

10 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 10 ii. La modélisation de l’activité des mathématiciens?  D’autre part l’activité réelle des mathématiciens n’est pas conforme à ce modèle.  La pensée « formelle » est précédée, accompagnée et suivie, de formes de « connaissances » qui ne sont pas « de référence », ni même « textuelles »: énoncés incomplets, énoncés bien formés mais de valeur incertaine, théorèmes dont l’utilité est douteuse, hypothèses provisoires, intuitions, formes rhétoriques variées (ex. métaphores)…  Cette activité est elle un bon modèle pour les activités mathématiques des élèves et des non mathématiciens ?

11 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 11  L’objet de mes expériences sur l’enseignement de toutes les connaissances mathématiques utiles à l’école primaire, était de mettre à l’épreuve les possibilités de susciter les apprentissages de mathématiques par des activités simulant mieux celles des mathématiciens en faisant intervenir les diverses fonctions des connaissances.  Il était clair dès l’origine qu’il fallait d’autres conceptions épistémologiques et didactiques que les approximations rationalistes et empiristes qui triomphent aujourd’hui.

12 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 12 2. L’extension de la notion de « problème »

13 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 13 Problèmes Problèmes  Un problème ouvre une « incertitude institutionnelle » que l’élève doit réduire avec ses connaissances et son invention.  Face aux difficultés ou aux échecs des élèves, le professeur tente d’adapter et de réduire cette incertitude par un éventail de stratagèmes  (les effets du contrat) - la plupart sont illégitimes -  … avant de devoir communiquer la réponse  Attendue  … puis, éventuellement, de l’enseigner comme un texte de référence…  cf. les paradoxes du contrat didactique.

14 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 14 Milieu et situation  l’idée : faire intervenir un troisième système – un milieu – qui réduira l’incertitude de l’élève en réponse à ses tentatives, sans solliciter le contrat didactique. Le milieu joue le rôle d’une réalité susceptible de recevoir les propositions de l’élève (sous forme de décisions, de formulations, ou de tentatives de preuves), et de leur opposer des conséquences observables et indiscutables, qui ne soient pas l’expression d’une intention didactique « arbitraire ».  Cette idée conduit à replacer l’activité de l’élève dans une situation qui généralise la notion de problème en favorisant la production et la mise à l’épreuve par les élèves de connaissances et de savoirs appropriés

15 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 15  Une situation est composée :  d’un milieu - qui peut être matériel ou non - sur lequel l’élève dispose de moyens d’action: les décisions qui modifient le milieu  Ces moyens d’action sont délimités par des règles convenues, explicites  Le milieu réagit à ces actions suivant ses propres règles et cette réaction diminue l’incertitude du sujet, ou lui suggère d’autres actions  Les règles jointes aux savoirs de l’élève doivent/peuvent être insuffisants pour assurer seuls le succès. La production et la manifestation de connaissances personnelles devient permise  …

16 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 16  Un problème est une citation, la reconstitution d’un texte qui (r)établit la légitimité d’un théorème mais qui ne dit rien sur d’autres rapports avec les autres théorèmes.  Une situation tend à représenter les questions auxquelles répondent un énoncé, les « raisons d’être » d’une connaissance, d’une définition ou d’un théorème

17 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 17  Le modèle général des situations est celui d’un « jeu formel » composé:  - d’actants  - d’un milieu, ensemble d’états potentiels, inerte ou actif, objectif ou fictif  - de règles explicites et/ou implicites des actions de l’actant et de l’évolution du milieu  - d’états terminaux recherchés et déterminés  Un modèle d’actant et un milieu forment une expression mathématique du type automate.  Note : La situation peut être proposée formellement  par un tiers (dans une intention didactique par exemple ou pour toute autre raison) ou par l’actant lui-même

18 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 18 Métaphore  Définition de P par un problème :  P  suite d’énoncés antérieurs  Définition de P par une situation :  P est l’objet idoine pour rendre valide (ou optimal ou adéquat…) une expression E (P)

19 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 19 Problème et situation sont des énoncés mathématiques  Une situation est en première approche un ensemble de conditions qui n’est satisfait que par un certain « objet mathématique »: la solution, objet ou relation.  Elle offre à l’actant des possibilités de suites d’actions, de décisions, de discours, de raisonnements dont certaines, « celles qui sont un succès », forment avec les conditions un énoncé mathématique valide et adéquat  Ex. une question, un exercice, un problème sont des situations de types particuliers  Le concept de situation a été introduit pour examiner toutes les conditions qui différencient les problèmes classiques et pour ouvrir des possibilités d’en imaginer de meilleures

20 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 20 Les problèmes aussi présentent un milieu  Si la densité locale de la théorie est suffisante, l’environnement mathématique familier d’un énoncé (les savoirs des élèves) peut constituer un milieu: en mettant certaines assertions en contradiction  Mais quelles propriétés a le milieu, et lesquelles il n’a pas ?

21 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 21 Un effet bien connu du milieu  Ce genre d’expérience assez courant:  1. Considérez le système  a1 x + b1 y = r1  a2 x + b1 y = r2  2. Réalisez le dans une situation qui fasse interpréter ces symboles comme des grandeurs   Suivant la nature de ces grandeurs, et suivant les valeurs attribuées aux paramètres l’organisation des solutions arithmétiques et algébriques les plus favorables changent  3. Observez : Chaque méthode arithmétique induit une démarche différente:

22 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 22  Enoncé A  Zoé fait un échange avec Aglaé. Elle donne 3 disques chers à 7 euros et 5 bon marché contre 2 disques chers, 6 bon marché et 3 €. Quel est le prix d’un disque bon marché ?  Solution arithmétique Les échanges  Enoncé B  Zoé achète 3 disques chers et 5 disques bon marché pour 41 euros. Aglaé achète 2 disques chers et 6 disques bon marché et les paie 38 € Quel est le prix d’un disque bon marché et celui d’un disque cher ?  Solution arithmétique : La double vente  Enoncé C  Le vendeur de disques n’a que deux catégories de prix : les disques « bon marché » à 4 € et les « chers » à 7 euros.  Zoé achète 8 disques pour 41 € Quel est le nombre de disques bon marché et de disques chers achetés par Zoé?  Solutions arithmétiques : la fausse supposition,  la Croix des mélanges

23 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 23  4. décrivez les étapes des différentes solutions par des formules algébriques, comparez ces transformations avec celles utilisées en Algèbre  5. Echangez les grandeurs, ou les valeurs : les méthodes concevables changent. Et naturellement la difficulté de la résolution aussi  Conclusions : ces manifestations prouvent l’existence du milieu en illustrant le rôle qu’il joue

24 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 24  Ex. les 10 démonstrations du théorème de Ptolémée (L. Félix)  Quadrilatère inscriptible dans un cercle : produit des diagonales = la somme des produits des côtés opposé  1. Triangles dont un côté est une diagonale  2. Egalité des angles inscrits  3. Homologie des sinus  4. 5. Le croisillon des diagonales  6. Constructions accessoire, un point, une droite  7. Inversion  8. Appui sur un lemme  9. Aires  10 Dans le plan complexe  Mais en quoi le théorème de Ptolémée est-il « indispensable »

25 7 mai 2010 laboratoire André Revuz 25 Exemples de milieux et de situations